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2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步培优提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，扇形AOB中，OA＝2，C为上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为平行四边形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣
B．π﹣
C．﹣
D．﹣
3．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π
B．
C．
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是（　　）
A．8﹣4π
B．8﹣π
C．16﹣2π
D．8﹣2π
5．如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交DA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．πm2
B．πm2
C．πm2
D．πm2
二．填空题（共11小题）
7．如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为　
　．
8．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的矩形ODCE的顶点C在弧AB上．若OD＝3，OE＝4，则阴影部分图形的周长是　
　（结果保留π）．
9．如图，四边形ABCD是边长为3正方形，四边形CEFG是边长为正方形，点G在CD上，连接AF，点P为AF的中点，以点G为圆心，GF的长为半径画弧，图中阴影部分面积为
　
　．
10．如图，AB是⊙的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于C，D两点，∠C＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积是
　
　．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为　
　，图中阴影部分面积为　
　．
12．如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为　
　．（结果保留π）
13．如图，已知BC＝6，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，又以AC为直径作半圆，圆心为O，过点O作AC的垂线，分别交弧AB、弧AC于点M、N，则阴影部分的面积是　
　．
14．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为　
　．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为
　
　．
16．已知AD为⊙O的直径，ABCD为平行四边形，BC与⊙O交于点B、E，若AO＝AB＝2，则图中阴影部分的面积为　
　．
17．一个扇形的面积是3πcm2，它的弧长为2πcm，则这个扇形的圆心角大小为　
　度．
三．解答题（共3小题）
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
19．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，AB＝2．
求：（1）的长；
（2）∠D的度数．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵四边形AOBC是平行四边形，OA＝OB，
∴四边形AOBC为菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO＝2，
∴AD＝．
∴S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC＝﹣2××2×＝﹣2．
故选：D．
2．解：连接OD交BC于点E．
∴扇形的面积＝×（2）2π＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝EC＝1，OC⊥BD．
在Rt△OBE中，∠OBC＝30°．
∴BD＝，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形OBCD的面积
＝π﹣?BD?OC＝π﹣．
故选：B．
3．解：连接OC交DE于点F，连接CE，如右图所示，
∵OA＝2，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OC⊥DE且OC平分DE，OD＝OE＝1，
∴DE＝＝＝，
∴OF＝DE＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣，
∴S阴影DEBC＝S△CDE+S阴影CEB＝+＝+＝，
故选：B．
4．解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝4，
∴AC＝2，S△ABC＝×4×4＝8，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
三个扇形的面积和＝＝2π，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积＝S△ABC﹣三个扇形的面积和＝8﹣2π．
故选：D．
5．解：连接OC，过C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB与H，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝30°，
∵OC＝，
∴HC＝OC＝，
∵CF∥OA，
∴∠CFB＝∠AOB＝60°，
∵CD∥OB，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∵CD∥OB，CF∥OA，
∴四边形CDOF是菱形，
∴OF＝OD＝CF＝1，
∴BF＝OB﹣OF＝﹣1，
∵OA＝OB，
∴AD＝BF，
∴S阴影＝S四边形BECF＝BF?CH＝（﹣1）＝．
故选：B．
6．解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．
7．解：根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为BD，
连接BD，OD，由题意可知，∠COD＝∠ABC＝60°＝∠BCD，
∵OC＝OD，∠DCO＝60°，
∴OC＝OD＝CD＝1，
∴BC＝2OC＝2，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD＝?BC＝，
又弧CD的长为＝，
所以阴影部分周长的最小值为BD+弧CD长，即+，
故答案为：+．
8．解：连接OC，
∵四边形DOEC是矩形，OD＝3，OE＝4，
∴EC＝OD＝3，∠OEC＝90°，OE＝CE＝4，
∴OC＝＝＝5，
∴阴影部分图形的周长是：AD+DC+CE+BE+＝（5﹣3）+4+3+（5﹣4）+＝+10，故答案为：+10．
9．解：如图，连接AC，CF．
∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠ACD＝∠FCG＝45°，AC＝BC＝6，CF＝CE＝2，
∴∠ACF＝90°，
∵AP＝PF，
∴S△PCF＝S△ACF＝××2×6＝3，
∵S扇形GCF＝＝，S△FCG＝××＝1，
∴S阴＝S△PCF+（S扇形GCF﹣S△GCF）＝2+，
故答案为：2+．
10．解：连接OC、AD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵CD垂直平分OA，
∴四边形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC＝2，
∴阴影部分面积＝＝π．
故答案为：．
11．解：∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的长度为＝π；
∴图中阴影部分面积
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC
＝π×AD2﹣π×AC2
＝π（196﹣100）
＝16π．
故答案为：π；16π．
12．解：如图，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥BD，
∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∴OD＝OA＝OB，
∴S弓形OA＝S弓形OB，
∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC＝π×42﹣＝4π﹣8，
故答案为4π﹣8．
13．解：连接CM，如图，
在Rt△OCM中，OC＝AC＝3，CM＝CB＝6，
∴∠OCM＝60°，OM＝OC＝3，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACM﹣S扇形AON﹣S△OCM
＝﹣﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
14．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
由题意得，△ACB≌△ADE，∠BAE＝45°，
则图中阴影部分的面积＝S△AED+S扇形EAB﹣S△ACB＝S扇形EAB＝＝2π，
故答案为：2π．
15．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB＝1，PF＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
16．解：连接BD，DE，过B作BQ⊥AD于Q，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AO＝OD＝AB＝2，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝30°，
∴∠A＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC＝∠A＝60°＝∠C
∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC＝EC＝AB＝2，
∵AB＝2，∠BQA＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABQ＝30°，
∴AQ＝AB＝，
BQ＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴点D到BC的距离是3，
∴阴影部分的面积S＝S△DEC＝2×3＝3，
故答案为：3．
17．解：设扇形圆心角的度数为n，半径为rcm，
∵扇形的面积是3πcm2，它的弧长为2πcm，
∴3π＝×2πr，解得r＝3（cm）．
∵＝2π，
∴n＝120°．
故答案为：120．
18．解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOC＝＝π．
即可得阴影部分的面积为π．
19．解：（1）∵∠AOC＝130°，AB＝2，
∴＝＝＝；
（2）由∠AOC＝130°，
得∠BOC＝50°，
又∵∠D＝∠BOC，
∴∠D＝×50°＝25°．
20．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝3π﹣．

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