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2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形与圆》同步能力提高训练（附答案）
一、选择题
1．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（　　）
A．3：2
B．1：
C．1：
D．：
2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．正六边形的边长为2a，则它的面积为（　　）
A．a2
B．a2
C．3a2
D．6a2
4．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（　　）
A．83°
B．84°
C．85°
D．94°
5．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板EFGH制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF的长是（　　）
A．（20+10）cm
B．（30+10）cm
C．（20+20）cm
D．40cm
6．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
7．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）
A．18°
B．30°
C．36°
D．40°
8．如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（　　）
A．3：5
B．2：
C．4：3
D．5：4
9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）
A．厘米
B．5厘米
C．3厘米
D．10厘米
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（　　）
A．60°
B．72°
C．78°
D．144°
13．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
14．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　）
A．cm
B．5cm
C．3cm
D．10cm
15．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连接G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（　　）
A．6≤C≤6
B．3≤C≤3
C．3≤C≤6
D．3≤C≤6
16．如图，点P从点A出发，按逆时针方向沿着正六边形（各边均相等）的边循环运动，当运动280cm后恰好停在点C，则该正六边形的边长可能是（　　）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
17．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（　　）
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
18．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是（　　）
A．30°
B．60°
C．55°
D．75°
19．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度（米）为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．4π
20．边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
21．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BO，则∠OBC的度数是（　　）
A．50°
B．45°
C．65°
D．60°
二、填空题
22．两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为135°，则正方形的边长为
　
　．
23．如图所示，一个边长为3的大正六边形ABCDEF中，铺上六个大小相同的直角三角形，中间围成一个小的正六边形．这个小正六边形A'B'C'D'E′F'的边长为　
　．
24．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长　
　．
25．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P在对角线AC上，∠EDP＝75°，PQ⊥EF于点Q，则PQ的长是　
　；过点Q作QG∥ED交DP于点G，则△PQG的面积为　
　．
26．如图，已知点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为　
　．
27．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1＝　
　°．
28．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝　
　．
29．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连接AM，若⊙O的半径为2，则AM＝　
　．
30．如图两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为　
．
31．已知正方形ABCD的边长为1，对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，DE与AC交于点M，CE交BD于点N，则四边形OMEN的内切圆的半径等于　
　．
32．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面．则需安装这种喷水龙头的个数最少是　
　个．
三、解答题
33．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
34．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
参考答案
1．解：设此圆的半径为R，
它的内接正六边形的边长为R，
则它的内接正方形的边长为R，
内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．
故选：C．
2．解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
3．解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2a，
∴OG＝2a×＝a，
∴S△OAB＝×AB×OG＝×2a×a＝a2，
∴S六边形＝6S△OAB＝6×a2＝6a2．
故选：D．
4．解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
5．解：如图所示：可得MN＝BC＝20cm，
△OWM是等边三角形，边长为10cm，
则它的高为：＝5（cm），
故FG＝20+4×5＝（20+20）cm．
故选：C．
6．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
7．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
8．解：连接BF，AD交于Q，BF交GM于P，
则BF⊥AD，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠AGH＝∠AFQ＝30°，
设正六边形ABCDEF的边长为2a，FP＝x，
∴PG＝x，AQ＝a，
∴GM＝2a+，HG＝2a﹣2x，
∵若图中4块阴影的面积相等，
∴×（2a﹣2x）×（a﹣x）＝（2a++2a）x，
解得：x＝a，
GH＝2a﹣a＝a，GM＝2a+a＝a，
∴该矩形的长与宽之比为＝3：5，
故选：A．
9．解：连接AG、GE、EC，如图所示：
在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，
∴△ABC≌△AHG（SAS），
∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，
∴AC＝CE＝EG＝AG，
∴四边形ACEG是菱形，
∵∠BAC＝∠GAH＝22.5°，∠BAH＝135°，
∴∠CAG＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴∠CAE＝45°，
∴＝，
故选：A．
10．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
11．解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
故选：B．
12．解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：B．
13．解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝，
∴AO⊥BE，故①正确；
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°，
∴∠COD＝72°，
∵∠COD＝2∠CAD，
∴∠CAD＝36°；
连接CD
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝＝＝，
∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，
∴∠CGD＝108°，
∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；
连接AB，AE，
∴∠MBA＝∠MAB＝36°，
∴AM＝BM，
∵∠MAN＝36°，∠ANM＝∠DAE+∠AEB＝72°，
∴AM≠MN，
∴BM≠MN③错误！则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，
∵AB＝AE，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM＝EN＝AM＝AN，
∵∠MAN＝36°，
∴AM≠MN，∴③错误．
故选：A．
14．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
15．解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的．
∵GK的最大值为3，GK的最小值为，
∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为，
∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3≤C≤6．
故选：C．
16．解：设正方形的边长为x，点P运动了n圈，则有6nx+2x＝280，
当x＝4时，n不是整数，不符合题意，
当x＝5时，n＝9，符合题意，
当x＝6时，n不是整数，不符合题意，
当x＝7时，n不是整数，不符合题意，
故选：B．
17．解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，
故选：C．
18．解：连接OB，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOD＝＝120°，
∴∠BPD＝∠BOD＝60°，
故选：B．
19．解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1＝4（米），
设正方形边长是x米，则
x2+x2＝42，
解得：x＝2，
所以正方形桌布的边长是2米．
故选：A．
20．解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，OB＝．
∴⊙O的半径是，
故选：B．
21．解：连接OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
故选：D．
22．解：如图，由题意得，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵BC＝，
∴AB＝1，
∴BD＝AB＝AC＝CE＝1，
∴DE＝2+，
∴正方形的边长为2+，
故答案为：2+．
23．解：∵小正六边形A'B'C'D'E′F'中，∠C′B′A′＝120°，
∴∠AB′B＝60°，
∵∠ABB′＝90°，AB＝3，
∴BB′＝，AB′2＝2BB′＝2，
∵AA′＝BB′＝，
∴A′B′＝AB′﹣AA′＝，
故答案为：．
24．解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
25．解：如图1中，过点E作EJ⊥AC于J，过点D作DK⊥EJ于K，过点Q作QM⊥EJ于M，过点P作PN⊥QM于N，则四边形PNMJ是矩形，四边形DKJC是矩形，设PQ＝m．
∵∠DEF＝∠EDC＝120°，∠EDP＝75°，
∴∠PDC＝45°，
∵∠DCP＝90°，
∴∠CDP＝∠CPD＝45°，
∴CP＝CD＝2，
∵PQ⊥EF，
∴∠PQE＝90°，
∴∠DPQ＝360°﹣75°﹣120°﹣90°＝75°，
∵∠DPN＝45°，
∴∠QPN＝30°，
∴NQ＝m，PN＝MJ＝m，
在Rt△DEM中，∠EDM＝30°，DE＝2，
∴EK＝1，
∵EM+PN＝3，
∴PN＝m，
∵DK＝CJ＝，
∴MN＝PJ＝2﹣，
∴QM＝m+2﹣，
∵∠EQM＝30°，
∴EM＝QM＝（m+2﹣），
∴3＝（m+2﹣）+m，
∴m＝2﹣1，
∴PQ＝2﹣1，
如图2中，过点G作GH⊥PQ于H．
∵QG∥DE，
∴∠QGP＝∠EDP＝75°，
∵∠QPG＝75°，
∴∠QGP＝∠QPG，
∴GQ＝QP，∠GQP＝30°，
∴GH＝QG＝，
∴S△PQG＝?PQ?GH＝×（2﹣1）×＝．
故答案为：2﹣1，．
26．解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝15°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12，
故答案为：12．
27．解：∵正五边形的内角的度数是
×（5﹣2）×180°＝108°，
又∵正方形的内角是90°，
∴∠1＝108°﹣90°＝18°；
故答案为：18．
28．解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，
∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，
∴AD＝BD＝3，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴n＝＝4．
故答案为：4．
29．解：连接AC，OB交于点H．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴＝，
∴OB⊥AC，
∴AH＝HC，∠ABH＝∠CBH＝60°，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝2，
∵∠ACB＝∠BAC＝30°，∠BCD＝120°，
∴∠ACM＝90°，
∵CM＝MD＝1，AC＝2，
∴AM＝＝＝，
故答案为．
30．解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝×2＝．
故答案为：．
31．解：∵四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，
∴AB∥CD，
∵E为AB的中点，
∵AD＝DC＝1，
∴AE＝，
∴DE＝，AC＝，
∴ME＝，AM＝，
∴MO＝AO﹣AM＝＝，
∴四边形MENO的周长为：2×（）＝，
∵S四边形MENO＝2S△MEO，
∵＝＝，S△AEO＝＝，
∴S△MEO＝，
∴S四边形MENO＝，
∴r＝（×）＝，
故答案为：．
32．解：∵正方形的边长为16，
∴正方形的外接圆的半径是8m，
则其外接圆的面积是128πm2，
∵每个喷水龙头喷洒的面积是36πm2，
则128π÷36π≈4．
故答案为：4．
33．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
34．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．

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