资源简介

第1讲
开普勒定律
万有引力定律及应用
课标要求
考情分析
2.2.4
通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。2.2.5
会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。2.3.1
知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。2.3.2
初步了解相对论时空观。2.3.3
关注宇宙起源和演化的研究进展。
1．新高考例证2020年山东高考卷第7题，2020年北京高考卷第5题，均以火星着陆器为载体，考查星体表面重力加速度的计算。该类题型体现了新高考中对学生应用所学知识解决综合问题能力的考查。2．新高考预测仍会以选择题的形式考查万有引力定律的具体应用，以及宇宙航行中各环绕天体相关物理参量的比较，应该特别注意国家在航天方面的成就。
知识体系
第1讲　开普勒定律　万有引力定律及应用
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
思考辨析
1．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(
)
2．开普勒行星运动定律只适用于行星绕太阳运动。(
)
3．开普勒行星运动定律适用于其他天体吗？例如绕地球运行的月球或绕月球运行的“嫦娥号”。
各定律的适用对象不同
(1)开普勒第二定律针对的是同一个行星在运行过程中的规律。
(2)开普勒第一、三定律针对的是绕太阳运行的不同行星的运行规律。
二、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量的乘积m1m2成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两物体的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
思考辨析
1．地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(
)
2．两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。(
)
3．在匀质球层空腔内的任意位置处，质点受到的球壳的万有引力的合力为多少？
考点1　开普勒行星运动定律(基础考点)
1．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则(　　)
A．v1>v2，v1＝
B．v1>v2，v1>
C．v1D．v1
2．2019年10月28日，发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线上，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为(　　)
A．R0
B．R0
C．R0
D．R0
3．(2021·安阳模拟)2020年6月15日，中国科学院宣布，中国首颗量子科学实验卫星“墨子号”在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是(　　)
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
应用开普勒行星运动定律的几点注意
(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律；
(2)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
(3)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运行。
考点2　万有引力定律及其应用(能力考点)
考向1　对万有引力定律的理解
典例　(2020·山东高考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到0的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m
B．m
C．m
D．m
(1)不考虑星体自转造成的影响，万有引力等于物体所受重力。
(2)根据地球表面重力加速度和两星体之间质量、半径的关系确定火星表面的重力加速度。
(3)根据着陆器的运动情况确定加速度，根据牛顿第二定律确定合外力，从而确定制动力。
【核心归纳】
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg；二是提供物体随地球自转的向心力F′，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋
mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)星体表面附近的重力加速度g(不考虑星体自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在星体上空距离球心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。
考向2　万有引力定律的应用
典例1　(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109
kg/m3
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
典例2　
(多选)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞“照片”。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为
＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
【核心归纳】
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，而不能估算环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有卫星在天体表面附近时，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3
中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24
h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
1．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。你能计算出(　　)
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求出月球、地球及太阳的密度
2．假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星开始时不自转，若该行星开始以角速度ω自转时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的
，已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为(　　)
A．
B．
C．
D．
典例　如图所示，铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的小球B的球心与铅球球心的距离为d。若在铅球A内挖一个半径为
的球形空腔，空腔的表面与铅球球面相切，且空腔的中心在A、B两球球心的连线上，则A、B之间的万有引力为多大？
【技法总结】
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
变式1　如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为
的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0)(　　)
A．G　　B．0　　C．4G　　D．G
变式2　如图所示，一个质量为M的匀质实心球体，半径为2R，如果从该球体的正中心挖去一个半径为R的球体，放在距离为d的地方，则两部分之间的万有引力是多大(引力常量为G)?
PAGE第1讲
开普勒定律
万有引力定律及应用
课标要求
考情分析
2.2.4
通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。2.2.5
会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。2.3.1
知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。2.3.2
初步了解相对论时空观。2.3.3
关注宇宙起源和演化的研究进展。
1．新高考例证2020年山东高考卷第7题，2020年北京高考卷第5题，均以火星着陆器为载体，考查星体表面重力加速度的计算。该类题型体现了新高考中对学生应用所学知识解决综合问题能力的考查。2．新高考预测仍会以选择题的形式考查万有引力定律的具体应用，以及宇宙航行中各环绕天体相关物理参量的比较，应该特别注意国家在航天方面的成就。
知识体系
第1讲　开普勒定律　万有引力定律及应用
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
思考辨析
1．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
2．开普勒行星运动定律只适用于行星绕太阳运动。(×)
3．开普勒行星运动定律适用于其他天体吗？例如绕地球运行的月球或绕月球运行的“嫦娥号”。
提示：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统。
各定律的适用对象不同
(1)开普勒第二定律针对的是同一个行星在运行过程中的规律。
(2)开普勒第一、三定律针对的是绕太阳运行的不同行星的运行规律。
二、万有引力定律及其应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量的乘积m1m2成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两物体的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
思考辨析
1．地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)
2．两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。(×)
3．在匀质球层空腔内的任意位置处，质点受到的球壳的万有引力的合力为多少？
提示：在匀质球层的空腔内，任意位置的质点受到的球壳的万有引力的合力为0。
考点1　开普勒行星运动定律(基础考点)
1．(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G，则(　　)
A．v1>v2，v1＝
B．v1>v2，v1>
C．v1D．v1
B　解析：由远地点运动到近地点，重力势能转化为动能，因此卫星的线速度变大，有v1>v2；若卫星以线速度v1做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
G＝m，化简可得v1＝
，但是卫星在此时做离心运动，因此万有引力不足以提供向心力，有G，故B项正确，A、C、D项错误。
2．2019年10月28日，发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线上，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为(　　)
A．R0
B．R0
C．R0
D．R0
A　解析：由开普勒第三定律可知
＝，所以
R＝R0。
3．(2021·安阳模拟)2020年6月15日，中国科学院宣布，中国首颗量子科学实验卫星“墨子号”在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是(　　)
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
C　解析：根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律可知
＝C，其中C为常数，a为椭圆半长轴，选项C正确，D错误。
应用开普勒行星运动定律的几点注意
(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律；
(2)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
(3)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运行。
考点2　万有引力定律及其应用(能力考点)
考向1　对万有引力定律的理解
典例　(2020·山东高考)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到0的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m
B．m
C．m
D．m
(1)不考虑星体自转造成的影响，万有引力等于物体所受重力。
(2)根据地球表面重力加速度和两星体之间质量、半径的关系确定火星表面的重力加速度。
(3)根据着陆器的运动情况确定加速度，根据牛顿第二定律确定合外力，从而确定制动力。
【自主解答】
B　解析：忽略星体的自转，万有引力等于重力，G＝mg，则
＝·＝0.1×＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得
a＝，对匀减速过程，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋)，A、C、D错误，B正确。
【核心归纳】
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg；二是提供物体随地球自转的向心力F′，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋
mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)星体表面附近的重力加速度g(不考虑星体自转)：mg＝G，得g＝。
(2)在星体上空距离球心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝。
考向2　万有引力定律的应用
典例1　(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109
kg/m3
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
【自主解答】
C　解析：万有引力提供向心力，G≥mR；天体的密度公式ρ＝＝；联立可得ρ≥＝5×1015
kg/m3，可知C正确。
典例2　
(多选)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞“照片”。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为
＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
【自主解答】
BC　解析：本题主要考查万有引力定律在天体运动中的应用。由万有引力提供向心力可得G＝m，则
M＝，故A错误，B正确；质量M与半径R的关系满足
＝，可得R＝，故C正确，D错误。
【核心归纳】
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，而不能估算环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有卫星在天体表面附近时，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3
中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24
h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
1．(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。你能计算出(　　)
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求出月球、地球及太阳的密度
AB　解析：对地球表面上的一个质量为m0的物体来说，应有
m0g＝，所以地球的质量m地＝，A项正确；对地球绕太阳的运动来说，有＝m地L2，则
m太＝，B项正确；对月球绕地球的运动来说，能求地球的质量，但不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，故无法求出月球的质量和密度，C、D项错误。
2．假定太阳系中一颗质量均匀、可看作球体的小行星开始时不自转，若该行星开始以角速度ω自转时，该行星表面“赤道”上的物体对行星的压力减为原来的
，已知引力常量为G，则该行星的密度ρ为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　解析：该行星不自转时，其表面“赤道”上的物体对行星的压力为FN＝G；该行星的自转角速度为ω时，有
G－FN＝mω2R；该行星的密度
ρ＝，解得ρ＝，故选C。
典例　如图所示，铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的小球B的球心与铅球球心的距离为d。若在铅球A内挖一个半径为
的球形空腔，空腔的表面与铅球球面相切，且空腔的中心在A、B两球球心的连线上，则A、B之间的万有引力为多大？
【自主解答】
解析：假设将铅球A内的空腔重新填满，设所填部分球O1的质量为m′，则有
＝＝，即m′＝
球O1对小球B的万有引力为
F1＝G
填满空腔后的铅球A对小球B的万有引力为
F2＝G
根据叠加原理有F2＝FAB＋F1
所以带有空腔的铅球A与小球B之间的万有引力大小为
FAB＝G－G
＝GMm。
答案：GMm
【技法总结】
补偿法的应用技巧
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
变式1　如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为
的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0)(　　)
A．G　　B．0　　C．4G　　D．G
D　解析：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的引力等于完整大球体对O处质点的引力与挖去小球体对O处质点的引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为0，则大球体剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；将完整大球体分为以大球体球心为中心的半径为
的球以及剩余均匀球壳，可知半径为
的球的质量为
M，剩余均匀球壳对O处质点的万有引力为0，故大球体剩余部分对O处质点的万有引力
F＝Geq
\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2))))＝G，故D正确。
变式2　如图所示，一个质量为M的匀质实心球体，半径为2R，如果从该球体的正中心挖去一个半径为R的球体，放在距离为d的地方，则两部分之间的万有引力是多大(引力常量为G)?
解析：设被挖去的球体质量为m，根据补偿法可得左侧球体填满时两球体间的万有引力为
F＝G
填补的半径为R的球体对右侧被挖去球体的万有引力为
F1＝
其中被挖去的球体质量m＝
则两部分之间的万有引力
F2＝F－F1＝。
答案：
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