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第2讲　宇宙航行
一、卫星运行规律
1．卫星绕地球运转过程中，受到的地球的引力提供其做圆周运动所需的向心力。
2．地球同步卫星的六个“一定”
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h。
(3)高度一定：根据G＝mr，解得卫星离地面的高度
h＝r－R≈5.6R。
(4)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(5)速率一定：v＝ωr＝3.08
km/s。
(6)绕行方向一定：与地球自转方向一致。
思考辨析
1．同步卫星可以定位于济南上空。(
)
2．绕地球运行的卫星，其轨道半径越大，线速率
，向心加速度
，周期
，角速度
，引力势能
。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度(7.9
km/s)
(1)人造卫星最小的发射速度；
(2)人造卫星最大的环绕速度。
2．第二、三宇宙速度　时空观
(1)第二宇宙速度(11.2
km/s)，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(2)第三宇宙速度(16.7
km/s)，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
(3)经典时空观：在经典力学里，物体的质量是不随运动状态而改变的；同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
(4)相对论时空观：在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
思考辨析
1．发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(
)
2．同步卫星的速度一定大于第一宇宙速度。(
)
3．如何求解某一星体的第一宇宙速度？
不同星体的第一宇宙速度是不同的，一般情况下不加说明的第一宇宙速度指的是地球的第一宇宙速度。
考点1　人造卫星运行问题(能力考点)
考向1　卫星运行参数的比较
典例　北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)
A．周期大
B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
【技法总结】
人造卫星的运动规律
考向2　同步卫星的特点及规律
典例　利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1
h　　B．4
h　　C．8
h　　D．16
h
1．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火
B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金　　
D．v火>v地>v金
2．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，运送嫦娥五号探测器至地月转移轨道。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，若探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动，探测器的(　　)
A．周期为
B．动能为
C．角速度为
D．向心加速度为
3．(2020·浙江高考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为
∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
考点2　宇宙速度(能力考点)
典例　(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【技法总结】
1．第一宇宙速度由星体的质量和半径决定。
2．发射卫星不脱离地球，则发射速度不能达到第二宇宙速度；脱离地球但仍在太阳系内，发射速度介于第二和第三宇宙速度之间。
1．(2021·青岛模拟)2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器月面点火，3
000
N发动机工作约6
min后，顺利将携带月壤的上升器送入到预定环月轨道，成功实现中国首次地外天体起飞。已知月球的质量约为地球的
，半径约为地球的
，地球上第一宇宙速度约为7.9
km/s，则“嫦娥五号”最小的“起飞”速度约为(　　)
A．1.8
km/s
B．2.6
km/s
C．3.9
km/s
D．4.5
km/s
2．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的
倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
典例　某行星的自转周期为T，行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的
时间内有
的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为(　　)
A．
B．
C．
D．
【核心归纳】
人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。求解此类问题时，要根据题中情境，由光沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需要的向心力列式求解。
变式　如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ
，则卫星A、B的线速度之比为(　　)
A．sin
θ
B．
C．
D．
PAGE第2讲　宇宙航行
一、卫星运行规律
1．卫星绕地球运转过程中，受到的地球的引力提供其做圆周运动所需的向心力。
2．地球同步卫星的六个“一定”
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h。
(3)高度一定：根据G＝mr，解得卫星离地面的高度
h＝r－R≈5.6R。
(4)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(5)速率一定：v＝ωr＝3.08
km/s。
(6)绕行方向一定：与地球自转方向一致。
思考辨析
1．同步卫星可以定位于济南上空。(×)
2．绕地球运行的卫星，其轨道半径越大，线速率越小，向心加速度越小，周期越长，角速度越小，引力势能越大。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度(7.9
km/s)
(1)人造卫星最小的发射速度；
(2)人造卫星最大的环绕速度。
2．第二、三宇宙速度　时空观
(1)第二宇宙速度(11.2
km/s)，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(2)第三宇宙速度(16.7
km/s)，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
(3)经典时空观：在经典力学里，物体的质量是不随运动状态而改变的；同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
(4)相对论时空观：在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
思考辨析
1．发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(×)
2．同步卫星的速度一定大于第一宇宙速度。(×)
3．如何求解某一星体的第一宇宙速度？
提示：由
＝，解得v＝，此时的v即为该星体的第一宇宙速度。
不同星体的第一宇宙速度是不同的，一般情况下不加说明的第一宇宙速度指的是地球的第一宇宙速度。
考点1　人造卫星运行问题(能力考点)
考向1　卫星运行参数的比较
典例　北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)
A．周期大
B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
(1)地球静止轨道卫星与近地卫星运行过程中都是由万有引力提供向心力。
(2)二者的轨道半径不同，根据各物理量与半径之间的关系可得出结论。【自主解答】
A　解析：卫星由万有引力提供向心力，有
G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可解得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，可知半径越大，线速度、角速度、加速度都越小，周期越大，则与近地卫星相比，地球静止轨道卫星的周期大，故A正确，B、C、D错误。
【技法总结】
人造卫星的运动规律
考向2　同步卫星的特点及规律
典例　利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1
h　　B．4
h　　C．8
h　　D．16
h
【自主解答】
B　解析：设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示。由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径
r＝2R。设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T＝4
h，选项B正确。
1．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火
B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金　　
D．v火>v地>v金
A　解析：由万有引力提供向心力得G＝ma，可知，轨道半径越小，向心加速度越大，A正确，B错误；由G＝m，得v＝，可知，轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。
2．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，运送嫦娥五号探测器至地月转移轨道。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，若探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动，探测器的(　　)
A．周期为
B．动能为
C．角速度为
D．向心加速度为
A　解析：探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝mr，解得周期T＝，A正确；由G＝m
知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mω2r得，角速度ω＝，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
3．(2020·浙江高考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为
∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
C　解析：由周长公式可得，C地＝2πr地，C火＝2πr火，则火星公转轨道周长与地球公转轨道周长之比为＝＝，A错误；由万有引力提供向心力，可得
＝ma＝＝mω2r，则有a＝，v＝，ω＝，可得
＝＝，＝＝，＝＝，B、D错误，C正确。
考点2　宇宙速度(能力考点)
典例　(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【自主解答】
A　解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有
＝，解得第一宇宙速度为v＝，所以火星的第一宇宙速度为v火＝v地＝v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；万有引力近似等于重力，则有＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝·g地＝g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
【技法总结】
1．第一宇宙速度由星体的质量和半径决定。
2．发射卫星不脱离地球，则发射速度不能达到第二宇宙速度；脱离地球但仍在太阳系内，发射速度介于第二和第三宇宙速度之间。
1．(2021·青岛模拟)2020年12月3日23时10分，“嫦娥五号”上升器月面点火，3
000
N发动机工作约6
min后，顺利将携带月壤的上升器送入到预定环月轨道，成功实现中国首次地外天体起飞。已知月球的质量约为地球的
，半径约为地球的
，地球上第一宇宙速度约为7.9
km/s，则“嫦娥五号”最小的“起飞”速度约为(　　)
A．1.8
km/s
B．2.6
km/s
C．3.9
km/s
D．4.5
km/s
A　解析：设地球的质量和半径分别为M1、R1，月球的质量和半径分别为M2、R2，根据题意，则有M1∶M2＝81∶1,
R1∶R2＝4∶1
，物体绕星体表面做匀速圆周运动的速度为第一宇宙速度，有＝，可得第一宇宙速度为v＝，故地球与月球的第一宇宙速度之比为＝＝，又地球第一宇宙速度v1＝7.9
km/s，故月球第一宇宙速度v2＝1.8
km/s。故选A。
2．经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的
倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　解析：设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力有
G＝m，得太阳的第一宇宙速度为v＝；由题意可知，第二宇宙速度大于等于光速，第二宇宙速度是第一宇宙速度的
倍，得c＝v；又根据太阳演变成一个黑洞后的质量为M＝ρ·πR3，联立解得ρR2＝，故B正确，A、C、D错误。
典例　某行星的自转周期为T，行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的
时间内有
的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为(　　)
A．
B．
C．
D．
【自主解答】
A　解析：设行星质量为M，半径为R，密度为ρ，卫星质量为m，如图所示，发现日落的
时间内有
的时间看不见此卫星，则θ＝＝60°，故φ＝60°，r＝＝2R，根据
G＝m·2R，M＝ρ·πR3，解得ρ＝，选项A正确。
【核心归纳】
人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。求解此类问题时，要根据题中情境，由光沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需要的向心力列式求解。
变式　如图所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ
，则卫星A、B的线速度之比为(　　)
A．sin
θ
B．
C．
D．
C　解析：由题图可知，当A、B连线与B所在的圆周相切时，A、B连线与A、O连线的夹角θ最大，由几何关系可知，sin
θ＝
；根据G＝m
，可知v＝，故
＝＝
，选项C正确。
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