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天体运动中的“四类”热点问题
类型1　近地卫星、同步卫星和赤道上物体的比较
1．命题规律
本专题是万有引力定律在天体运动中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星，它与近地卫星都是卫星，遵循万有引力提供向心力，赤道上的物体不是卫星，不满足万有引力提供向心力，但是其与同步卫星具有相同的角速度。此类问题在高考中有时以选择题的形式出现。
2．复习指导
复习过程中，把握其重点和突破口，卫星从万有引力提供向心力进行突破，同步卫星和赤道上的物体从角速度相同进行突破，通过同步卫星将赤道上的物体和近地卫星进行衔接，题型相对比较单一，规律比较简单。
典例　有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有(　　)
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．在相同时间内b转过的弧长最长
C．c在4
h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是20
h
解此题抓住以下两个环节：
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(或周期)；
(2)赤道上的物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。
【自主解答】
B　解析：同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据
a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由
G＝ma，解得a＝，可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，A错误；由v＝ωr知，a的线速度小于c的线速度，由G＝m，解得v＝，可知卫星的轨道半径r越大，线速度v越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，B正确；c是地球同步卫星，周期是24
h，则c在4
h内转过的圆心角是
×4＝，C错误；由开普勒第三定律
＝k，可知卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期
24
h，故D错误。
【核心归纳】
近地卫星、同步卫星和赤道上静止物体的比较
近地卫星(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2
同步卫星的角速度与地球的自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
线速度
由
G＝m
得v＝，故v1>v2
由v＝ωr得v2>v3
v1>v2>v3
向心加速度
由G＝ma得a＝，故a1>a2
由a＝ω2r得a2>a3
a1>a2>a3
类型2　卫星的变轨和能量问题
1．命题规律
卫星变轨问题是万有引力定律在天体运动中的特殊运用，通过控制卫星运行参量的改变，使其做近心或离心运动实现运行轨道的改变，从而对相关联的物理参量进行比较。本部分命题过程中，思路相对单一，解题规律性强，试题常以选择题的形式出现。
2．复习指导
本部分主要以卫星作为载体考查物体做近心运动和离心运动时速度和能量的变化，通常需要借助于开普勒第三定律进行周期的比较。
典例　(2020·泰安模拟)2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器成功软着陆在月球背面的南极——艾特肯盆地冯·卡门撞击坑，成为人类历史上第一个在月球背面成功实现软着陆的人类探测器。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。如图所示，“嫦娥四号”飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。关于“嫦娥四号”飞船的运动，下列说法正确的是(　　)
A．飞船沿轨道Ⅰ做圆周运动时，速度为2
B．飞船沿轨道Ⅰ做圆周运动时，速度为
C．飞船过A点时，在轨道Ⅰ上的动能等于在轨道Ⅱ上的动能
D．飞船过A点时，在轨道Ⅰ上的动能大于在轨道Ⅱ上的动能
在引力不变的情况下，减小卫星运行速度，从而减小运行过程中所需要的向心力，使引力大于向心力而做近心运动，而增大运行速度卫星会做离心运动，实现轨道半径的变化，在圆形轨道上做匀速圆周运动，在椭圆轨道上按照开普勒定律处理。
【自主解答】
D　解析：飞船在轨道Ⅰ上，根据万有引力提供向心力有
＝m，在月球表面，万有引力等于重力，有
＝mg0，解得v＝，故A、B错误；“嫦娥四号”飞船在圆形轨道上运动，到达轨道的A点，点火减速进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，则在轨道Ⅰ上A点的动能大于在轨道Ⅱ上A点的动能，故C错误，D正确。
【技法总结】
卫星变轨问题中参量的比较
(1)速度
①卫星变轨前后在不同轨道上同一位置速度大小的比较：可以根据发动机做功的正负比较，还可以根据变轨后是做近心运动还是离心运动比较。
②卫星在同一轨道不同位置速度的比较：可以根据开普勒第二定律比较，还可以根据万有引力做功的正负比较。
③卫星在变轨前后稳定圆轨道的速度比较：根据v＝
比较。
(2)加速度：根据a＝
比较。
(3)周期：根据开普勒第三定律比较。
(4)能量：机械能变化根据发动机做功情况判断，或者根据引力势能与动能之和的变化判断。
类型3　双星或多星模型
1．命题规律
双星或多星系统是万有引力定律在实际问题中的理想应用，双星或多星系统模型是一个没有中心天体的环绕模型，近几年偶尔在高考中以选择题的形式出现。
2．复习指导
分析清楚双星或多星系统的运动形式、运行过程中遵循的规律和特征，每一个星体受到的合力为其做圆周运动提供向心力，多个星体保持相对静止(具有共同的角速度和圆心)。
题型一　双星模型
典例　(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
(1)明确双中子星合并前为双星系统；
(2)理解双星运动过程中遵循的规律，彼此引力为对方做匀速圆周运动提供向心力；
(3)二者具有相同的角速度。
【自主解答】
BC　解析：两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示，
每秒转动12圈，则角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1
①
＝m2ω2r2
②
l＝r1＋r2
③
由①②③式得
＝ω2l
所以m1＋m2＝
质量之和可以估算，B正确；
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1
④
v2＝ωr2
⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl
速率之和可以估算，C正确；
质量之积和各自的自转角速度无法求解，故A、D错误。
【核心归纳】
双星模型(如图所示)的动力学规律
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星体转动的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体转动的半径与它们之间距离的关系为r1＋r2＝L。
(4)两颗星体到圆心的距离r1、r2与星体的质量成反比，即
＝。
题型二　多星模型
典例　(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【自主解答】
BC　解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得
T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统，根据万有引力和牛顿第二定律得2Gcos
30°＝M·，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为
v＝＝，代入解得v＝··，选项D错误。
【核心归纳】
常见多星模型(以三星模型为例)的动力学规律
(1)三颗星的质量均为m，且位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力：＋＝ma。
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。每颗行星运动所需的向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供：2×cos
30°＝ma，其中L＝2Rcos
30°。
类型4　天体的追及相遇问题
1．命题规律
天体的追及相遇问题是万有引力定律和近心、离心运动相结合的综合应用，在高考中并不是一个常见的知识点，如果出现只会是以选择题的形式进行考查。
2．复习指导
本部分知识复习过程中重点分析清楚“追及”的本质并不是直接在后面追，而是通过变轨来实现跨越式追赶，从而达到相遇的目的。
典例　(多选)2019年7月19日21时06分，“天宫二号”再入大气层，少量残骸落到南太平洋预定安全海域，绝大部分器件在再入大气层过程中，由于空气阻力的作用烧蚀销毁，对航空活动以及地面造成危害的可能性极小。如图所示，a是“天宫二号”飞行器，b、c是地球同步卫星，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，“天宫二号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则(　　)
A．“天宫二号”飞行器a的周期小于24
h
B．卫星b的机械能一定等于卫星c的机械能
C．若“天宫二号”飞行器a在下落的过程中质量保持不变，则“天宫二号”飞行器a的机械能将增加
D．若“天宫二号”飞行器a和卫星b均沿逆时针方向转动，则到下一次相距最近，还需经过时间
t＝
绕同一天体运动且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到第二次相距最近，实际情况就是周期小的比周期大的多转过了
2π
rad
(即一圈)。
【自主解答】
AD　解析：根据G＝mr，解得T＝2π，可知卫星的轨道半径越大，周期越大，因卫星b、c的周期均为24
h，则“天宫二号”飞行器a的周期小于24
h，A正确；卫星的机械能等于其动能与势能之和，因不知道卫星b、c的质量大小关系，故不能确定卫星b、c机械能的大小关系，B错误；若“天宫二号”飞行器a在下落的过程中质量保持不变，但因下落过程中空气阻力做负功，则“天宫二号”飞行器a的机械能将减小，C错误；根据万有引力提供向心力有
G＝mωr，可得“天宫二号”飞行器a的角速度ωa＝，卫星轨道半径越大，角速度越小，“天宫二号”飞行器a、卫星b由相距最近至再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为2π，即ωat－ωt＝2π，可得经历的时间t＝，D正确。
【核心归纳】
卫星的追及相遇问题常见的两种情况
(1)卫星对接、摧毁，最常见的是由低轨道向高轨道正常运行的卫星对接。
(2)绕行方向相同的两卫星和中心天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
①当两卫星都在中心天体同侧时，那么当t满足下列关系式时两卫星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2,3，…)。
②当两卫星在中心天体异侧时，那么当t满足下列关系式时两卫星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0,1,2,3，…)。
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