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第3讲　圆周运动及应用
一、匀速圆周运动
如果物体沿着圆周运动并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
思考辨析
1．匀速圆周运动在任意相等的时间内通过的位移相同。
(×)
2．做匀速圆周运动的物体的线速度是不断变化的。
(√)
二、描述圆周运动的物理量
思考辨析
1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动。
(
)
2．匀速圆周运动的周期、转速都恒定不变。
(
)
3．简述匀速圆周运动的向心加速度与半径的关系。
提示：a＝＝ω2r＝r。
三、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
2．来源：可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
思考辨析
1．匀速圆周运动向心力的大小：F＝ma＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
2．向心力的方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在改变，即向心力是一个变力。
四、离心现象
离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需向心力的情况下，做逐渐远离圆心的运动。
思考辨析
1．做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。
(
)
2．(1)当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动。
(2)当F＝0时，物体沿圆周切线方向飞出。
(3)当F(4)当F>
mω2r时，物体逐渐靠近圆心，做近心运动。
考点1　圆周运动的运动学问题(基础考点)
1．(2018·江苏高考)(多选)火车以60
m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在
10
s
内匀速转过了约
10°。在此10
s时间内，火车(　　)
A．运动路程为600
m
B．加速度为0
C．角速度约为1
rad/s
D．转弯半径约为3.4
km
2．(多选)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．A点与C点的角速度大小相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度大小之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
3．如图所示，B和C是一组塔轮，即B、C两轮半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2。A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘上的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　)
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
常见的三种传动方式及特点
类型
模型
模型解读
皮带传动
皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动
两轮边缘接触，接触点无相对滑动时，两轮边缘的线速度大小相等，即
vA＝vB
同轴传动
绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
考点2　圆周运动的动力学问题(能力考点)
考向1　向心力的来源
典例　(2020·全国卷Ⅰ)如图所示，一同学表演荡秋千，已知秋千的两根绳长均为10
m，该同学和秋千踏板的总质量约为50
kg，绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为
8
m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200
N
B．400
N
C．600
N
D．800
N
(1)秋千运动至最低点时，重力和绳子的拉力的合力提供向心力。
(2)秋千受到两根绳子的拉力。
(3)根据向心力和速度的关系列式求解。
【技法总结】
求解圆周运动问题的“一、二、三、四”
考向2　水平面内圆周运动的临界问题
典例　如图所示，用一根长为l＝1
m的细线，一端系一质量为m＝1
kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取
10
m/s2，结果可用根式表示，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)。
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向间的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解此题注意以下两点：
(1)小球离开锥面的临界条件是小球仍沿锥面运动，受到的支持力为0。
(2)细线与竖直方向间的夹角为60°时，小球离开锥面，做圆锥摆运动。
1.如图所示，一细绳一端系一小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度
h、向心加速度a、线速度v与角速度平方ω2的关系图像正确的是(　　)
　
　　　A　　　　　　　　　　　B
　
　　　C　　　　　　　　　　　D
2．(多选)如图所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2
kg和3
kg的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连。它们到转轴的距离分别为rA＝0.2
m、rB＝0.3
m。A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的k倍，k＝0.4，g取10
m/s2。现极其缓慢地增大圆盘的角速度，则下列说法正确的是(　　)
A．当A达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为12
N
B．当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为5
rad/s
C．当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度为
rad/s
D．在细线上有弹力后的某时刻剪断细线，A将做向心运动，B将做离心运动
3．(2020·青岛模拟)我国改革开放以来，高速公路从无到有，通车总里程达到14.3万公里，位居世界第一。科学研究表明，在过于平坦、笔直的路面上高速行车极易发生车祸，在修建高速公路时要间隔设计弯道，迫使司机集中注意力并控制车辆行驶速度，从而减少车祸的发生。高速公路某处弯道半径为R，路面宽度为d，路面内外侧高度差为h，且路面倾角θ很小，可以认为tan
θ＝sin
θ，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则汽车通过该弯道的最合理速度为(　　)
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h(A点)处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是(　　)
A．小球始终受三个力的作用
B．细绳上的拉力始终保持不变
C．要使小球不离开水平面，角速度的最大值为
D．若小球飞离了水平面，则角速度可能为
考点3　竖直面内的圆周运动(能力考点)
考向1　竖直面内的“轻绳”模型
典例　如图甲所示，用一轻绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时，轻绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T?v2图像如图乙所示，则(　　)
A．轻绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻绳的拉力大小为
－a
D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时，轻绳的拉力差均为5a
根据向心力公式推导出T与v2的关系，结合图像得出结论。
【核心归纳】
球—绳模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
图示
最高点无支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于0
受力示意图
力学特征
mg＋N＝m
临界特征
N＝0，vmin＝
过最高点的条件
v≥
速度和弹力关系的讨论分析
①当v＝
时，恰好可以过最高点，mg＝m，N＝0，绳、轨道对球无弹力②当v>
时，可以通过最高点，N＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力N③当v<
时，不能通过最高点，在到达最高点前，小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
考向2　竖直面内的“轻杆”模型
典例　(多选)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【核心归纳】
球—杆模型
实例
如球与轻杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下、等于0或向上
受力示意图
力学特征
mg±N＝m
临界特征
竖直向上的N＝mg，v＝0
过最高点的条件
v≥0
速度和弹力关系的讨论分析
①当v＝0时，N＝mg，N为支持力，沿半径背离圆心②当0时，mg－N＝m，N背离圆心，随v的增大而减小③当v＝
时，N＝0④当v>
时，mg＋N＝m，N指向圆心，并随v的增大而增大
分析竖直平面内圆周运动问题的思路
1．(2021·东营模拟)如图所示，轻杆一端与一质量为m的小球相连，另一端连在光滑固定轴上，轻杆可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球在运动过程中的任何位置对轻杆的作用力都不可能为0
B．当轻杆运动到水平位置时，轻杆对小球的拉力大小不可能等于mg
C．小球运动到最低点时，对轻杆的拉力可能等于4mg
D．小球运动到最低点时，对轻杆的拉力一定不小于6mg
2．(2020·重庆模拟)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝
通过A点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，重力加速度为g，则(　　)
A．强磁性引力的大小F＝7mg
B．质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为5mg
D．若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为
3．如图所示，一质量为m＝0.5
kg的小球，用长为
0.4
m
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取
10
m/s2，则：
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4
m/s时，轻绳的拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45
N，小球的速度不能超过多大？
圆周运动由于其转动的周期性，和其他形式的运动结合时，往往会出现多解问题，解决此类问题的关键是分析清楚产生多解的原因，从最简单的解入手，找到其中蕴含的规律。
典例　如图所示，在同一竖直平面内有A、B两物体，A物体从a点起以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动，同时B物体从圆心O自由下落，要使A、B两物体在d点相遇，求角速度ω必须满足的条件。
【技法总结】
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移，寻求联系点是解题的突破口。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据圆周运动的周期性，在转过的角度上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
变式如图所示，用薄纸做成的圆筒直径为D，水平放置，绕圆筒轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹重力影响)，沿圆筒的直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响，且认为圆筒没有发生形变)，结果子弹在圆筒上只留下一个洞痕，求子弹的速度。
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