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第1讲
简谐运动及其描述
课标要求
考情分析
1.2.1通过实验，认识简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动。1.2.2通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测量重力加速度的大小。1.2.3通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。1.2.4通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。1.2.5知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。1.2.6通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。
1．新高考例证2020年全国卷Ⅱ第34题(1)考查了单摆实验的振幅、单摆周期。体现了新高考科学探究的学科素养。2．新高考预测机械振动和机械波常以振动图像或波动图像展开考查，两者也常结合在一起考查。波的形成和传播规律结合波速公式是考查的重点，有时涉及多解问题，题型可能为选择题或填空题，也可能为计算题。
知识体系
第1讲　简谐运动及其描述
一、简谐运动
1．简谐运动
(1)定义：物体所受回复力的大小与位移大小成正比，方向总是与位移方向相反。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为0的位置。
(3)回复力
①效果：使物体返回到平衡位置。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(4)简谐运动的特征
①动力学特征：F＝－kx。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
2．简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运动条件
(1)弹簧质量要忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气阻力等(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，摆球机械能守恒
思考辨析
1．弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(√)
2．回复力的方向总是与加速度的方向相反。(×)
3．单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(×)
4．摆钟的结构如图所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
　
提示：调整摆锤下面的螺母，可以改变摆的摆长，从而改变摆的周期，以调整摆的走时快慢。
二、简谐运动的公式和图像
1．表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin
(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω代表简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫作初相。
2．图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin
ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos
ωt，图像如图乙所示。
思考辨析
1．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
2．简谐运动的表达式x＝Asin
(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(√)
3．做简谐运动的物体，其位移随时间做周期性变化。(√)
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。
思考辨析
1．固有频率由系统本身决定。(√)
2．阻尼振动的频率不断减小。(×)
3．驱动力频率越大，振幅越大。(×)
物体做受迫振动的频率一定等于驱动力的频率，但不一定等于系统的固有频率，固有频率由系统本身决定。
考点1　简谐运动的规律(基础考点)
1．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm。若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
D　解析：振子从B经O到C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1
s＝2
s，选项A、B错误；振幅
A＝BO＝5
cm，振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20
cm，所以经过两次全振动，振子通过的路程为
40
cm，选项C错误；3
s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30
cm，选项D正确。
2．如图所示，弹簧振子B上放一物块A，在物块A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于物块A受力的说法正确的是(　　)
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
D　解析：由于物块A与B一起做简谐运动，需要回复力，所以物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力，选项D正确。
3．(2018·天津高考)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时，振子的位移为－0.1
m，t＝1
s时，振子的位移为0.1
m，则(　　)
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
AD　解析：若振幅为0.1
m，则T＝1
s，其中n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝2
s；当n＝1时，T＝
s，当n＝2时，T＝
s，故A正确，B错误。若振幅为0.2
m，振子的运动分4种情况讨论：
第①种情况，设振动方程为x＝Asin
(ωt＋φ)，t＝0时，－＝Asin
φ，解得φ＝－，所以由P点到O点用时至少为
，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为
，即T＝1
s，其中n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝6
s；当n＝1时，T＝
s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为
，周期最大为2
s；第④种情况，周期一定小于
2
s，故C错误，D正确。
简谐运动的五个特征
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
考点2　简谐运动的表达式和图像(能力考点)
典例　(2020·泰安模拟)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C
两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x?t图像，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点所用的时间为1
s
B．弹簧振子的振动方程为y＝0.1sin
m
C．图乙中的P点时刻速度方向与加速度方向都沿x轴正方向
D．弹簧振子在2.5
s内通过的路程为1
m
(1)根据简谐运动的x–t图像可以得出振幅、周期，由ω＝
求出ω，由x＝Asin
(ωt＋φ)写出振动方程。
(2)分析振子通过路程的一般方法，整数周期振子通过的路程为4A的整数倍，
周期内振子通过的路程为2A，而
周期内，只有振子从平衡位置或振幅处为起点的，振子通过的路程才为A。
【自主解答】
D　解析：弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为
次全振动，时间为0.5
s，故A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅为A＝0.1
m，而周期为T＝1
s，则ω＝＝2π
rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻振子的位移为0.1
m，表示振子从B点开始计时，初相为φ0＝，则振子的振动方程为y＝Asin
(ωt＋φ0)＝0.1sin
m，故B错误；题图乙中的P点速度方向为负，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，加速度方向为正，故C错误；因周期T＝1
s，则时间2.5
s和周期的关系为2.5
s＝2T＋，则振子从B点开始振动的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1
m＝1
m，故D正确。
【核心归纳】
1．对简谐运动图像的认识
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图甲、乙所示。
甲
　　
乙
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2．从简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可以根据下一时刻质点的位移变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
1．(2021·张家界模拟)(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系图像如图所示，已知t＝0.1
s时，振子的位移为3
cm。则以下说法正确的是(　　)
A．弹簧振子在第0.4
s末与第0.8
s末的速度相同
B．弹簧在第0.1
s末与第0.7
s末的长度相同
C．弹簧振子做简谐运动的位移表达式为
x＝6sin
πt
cm
D．第0.5
s末到第0.8
s末弹簧振子通过的路程大于6
cm
ACD　解析：由题图知，弹簧振子在第0.4
s
末与第
0.8
s末的振动方向均沿x轴负方向，且弹簧振子在第0.4
s末与第0.8
s末的位移大小相同，则弹簧振子在第0.4
s末与第0.8
s末的速度相同，故A项符合题意；由题图知，弹簧振子在第0.1
s末与第0.7
s
末的位移方向相反，则弹簧在第0.1
s末与第0.7
s末的长度不同，故B项不符合题意；由题图知，简谐运动的周期T＝1.2
s，则简谐运动的圆频率ω＝＝
rad/s＝
rad/s，t＝0.1
s时，振子的位移为3
cm，则根据x＝Asin
ωt，可得3
cm＝Asin，解得弹簧振子的振幅A＝6
cm，则弹簧振子做简谐运动的位移表达式为x＝6sin
πt
cm，故C项符合题意；t＝0.6
s时，弹簧振子运动到平衡位置，速度最大，弹簧振子振动的周期T＝1.2
s，则第0.5
s末到第0.8
s末的
T时间内，弹簧振子通过的路程大于振幅
6
cm，故D项符合题意。
2．(多选)如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k＝10
N/m，振子的质量为0.5
kg，白纸移动的速度为2
m/s，弹簧弹性势能的表达式为Ep＝ky2(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦。在一次实验中，得到弹簧振子如图所示的图线，则下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的振幅为1
m
B．该弹簧振子的周期为1
s
C．该弹簧振子的最大加速度为10
m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2
m/s
BC　解析：弹簧振子的振幅为振子偏离平衡位置的最大距离，所以该弹簧振子的振幅为A＝0.5
m，A错误；由题图所示振动曲线可知，白纸移动距离
x＝2
m
时，弹簧振子振动一个周期，所以弹簧振子的周期为T＝＝1
s，B正确；该弹簧振子所受最大回复力为F＝kA＝10×0.5
N＝5
N，最大加速度为
a＝＝10
m/s2，C正确；根据题述弹簧弹性势能的表达式Ep＝ky2，不计一切摩擦，弹簧振子振动过程中机械能守恒，则有
mv＝kA2，可得该弹簧振子的最大速度为vm＝A＝
m/s，D错误。
考点3　单摆及其周期公式(基础考点)
1．(2019·全国卷Ⅱ)如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a，细绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方
l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正方向。下列图像能描述小球在开始一个周期内的x?t关系的是(　　)
A
B
C
D
A　解析：摆长为l时，单摆的周期T1＝2π
，振幅A1＝lsin
α(α为摆角)；摆长为
l时，单摆的周期T2＝2π
＝π
＝，振幅A2＝lsin
β(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cos
α)＝mg·(1－cos
β)，利用cos
α＝1－2sin2，cos
β＝1－2sin2
，以及sin
α＝tan
α＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝A1，故选项A正确。
2．如图所示，房顶上固定一根长2.5
m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点)。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6
m，不计空气阻力，g取10
m/s2，则小球从最左端运动到最右端的最短时间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0.2π
s　　B．0.4π
s　　C．0.6π
s　　D．1.2π
s
B　解析：小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期T1＝2π
＝π
s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π
＝0.6π
s，故小球从最左端运动到最右端所用的最短时间为t＝＝0.4π
s，B正确，A、C、D错误。
1．单摆的特征(以图示单摆为例)
(1)条件：θ≤5°，空气阻力可以忽略，摆线为不可伸长的轻细线。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin
θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
(3)周期：T＝2π
，其中l为摆长。
(4)向心力：细线的拉力和摆球的重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F＝F拉－mgcos
θ。
①当摆球在最高点时，F＝m＝0，F拉＝mgcos
θ。
②当摆球在最低点时，F＝m，F最大，F拉＝mg＋m。
2．周期公式T＝2π
的两点说明
(1)l为等效摆长，是从悬点到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l＝r＋Lcos
α，图乙中的小球(可视为质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l＝R。
(2)g为当地重力加速度。若单摆处于特殊的物理环境，即在其他星球、处于超重、失重状态等，g为等效重力加速度。
考点4　受迫振动与共振(基础考点)
1．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f，则(　　)
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/
cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A．f＝60
Hz　　　　　
B．60
Hz＜f＜70
Hz
C．50
Hz＜f≤60
Hz　
D．以上三个都不对
C　解析：
从如图所示的共振曲线可判断出驱动力的频率f与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以看出f越接近f固，振幅的变化越慢。比较题表中各组数据知f在50～60
Hz范围内时，振幅较大且变化最小，因此
50
Hz＜f固≤60
Hz，故C正确。
2．如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B摆的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现(　　)
A．C摆的频率最小
B．D摆的周期最大
C．B摆的摆角最大
D．B、C、D摆的摆角相同
C　解析：由A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆的振动周期跟A摆相同，频率也相等，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误。
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
　
　
　振动类型项目　　
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力作用
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T或固有频率f
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T或f驱＝f
振动能量
振动物体的机械能守恒
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f越接近，振幅A越大；当f＝f时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界有能量交换。
PAGE第1讲
简谐运动及其描述
课标要求
考情分析
1.2.1通过实验，认识简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动。1.2.2通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测量重力加速度的大小。1.2.3通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。1.2.4通过观察，认识波的特征。能区别横波和纵波。能用图像描述横波。理解波速、波长和频率的关系。1.2.5知道波的反射和折射现象。通过实验，了解波的干涉与衍射现象。1.2.6通过实验，认识多普勒效应。能解释多普勒效应产生的原因。能列举多普勒效应的应用实例。
1．新高考例证2020年全国卷Ⅱ第34题(1)考查了单摆实验的振幅、单摆周期。体现了新高考科学探究的学科素养。2．新高考预测机械振动和机械波常以振动图像或波动图像展开考查，两者也常结合在一起考查。波的形成和传播规律结合波速公式是考查的重点，有时涉及多解问题，题型可能为选择题或填空题，也可能为计算题。
知识体系
第1讲　简谐运动及其描述
一、简谐运动
1．简谐运动
(1)定义：物体所受回复力的大小与位移大小成正比，方向总是与位移方向相反。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为0的位置。
(3)回复力
①效果：使物体返回到平衡位置。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(4)简谐运动的特征
①动力学特征：F＝－kx。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
2．简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运动条件
(1)弹簧质量要忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气阻力等(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，摆球机械能守恒
思考辨析
1．弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(
)
2．回复力的方向总是与加速度的方向相反。(
)
3．单摆回复力的方向总是指向悬挂位置。(
)
4．摆钟的结构如图所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？
　
二、简谐运动的公式和图像
1．表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin
(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω代表简谐运动的快慢，ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ叫作初相。
2．图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin
ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos
ωt，图像如图乙所示。
思考辨析
1．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(
)
2．简谐运动的表达式x＝Asin
(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(
)
3．做简谐运动的物体，其位移随时间做周期性变化。(
)
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。共振曲线如图所示。
思考辨析
1．固有频率由系统本身决定。(
)
2．阻尼振动的频率不断减小。(
)
3．驱动力频率越大，振幅越大。(
)
物体做受迫振动的频率一定等于驱动力的频率，但不一定等于系统的固有频率，固有频率由系统本身决定。
考点1　简谐运动的规律(基础考点)
1．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5
cm。若振子从B到C的运动时间是1
s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1
s，振幅是10
cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20
cm
D．从B开始经过3
s，振子通过的路程是30
cm
2．如图所示，弹簧振子B上放一物块A，在物块A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于物块A受力的说法正确的是(　　)
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
3．(2018·天津高考)(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时，振子的位移为－0.1
m，t＝1
s时，振子的位移为0.1
m，则(　　)
A．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
B．若振幅为0.1
m，振子的周期可能为
s
C．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为4
s
D．若振幅为0.2
m，振子的周期可能为6
s
简谐运动的五个特征
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
考点2　简谐运动的表达式和图像(能力考点)
典例　(2020·泰安模拟)如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C
两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x?t图像，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点所用的时间为1
s
B．弹簧振子的振动方程为y＝0.1sin
m
C．图乙中的P点时刻速度方向与加速度方向都沿x轴正方向
D．弹簧振子在2.5
s内通过的路程为1
m
(1)根据简谐运动的x–t图像可以得出振幅、周期，由ω＝
求出ω，由x＝Asin
(ωt＋φ)写出振动方程。
(2)分析振子通过路程的一般方法，整数周期振子通过的路程为4A的整数倍，
周期内振子通过的路程为2A，而
周期内，只有振子从平衡位置或振幅处为起点的，振子通过的路程才为A。
【核心归纳】
1．对简谐运动图像的认识
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图甲、乙所示。
甲
　　
乙
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2．从简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可以根据下一时刻质点的位移变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
1．(2021·张家界模拟)(多选)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系图像如图所示，已知t＝0.1
s时，振子的位移为3
cm。则以下说法正确的是(　　)
A．弹簧振子在第0.4
s末与第0.8
s末的速度相同
B．弹簧在第0.1
s末与第0.7
s末的长度相同
C．弹簧振子做简谐运动的位移表达式为
x＝6sin
πt
cm
D．第0.5
s末到第0.8
s末弹簧振子通过的路程大于6
cm
2．(多选)如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在B、C两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为k＝10
N/m，振子的质量为0.5
kg，白纸移动的速度为2
m/s，弹簧弹性势能的表达式为Ep＝ky2(y为弹簧的形变量)，不计一切摩擦。在一次实验中，得到弹簧振子如图所示的图线，则下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的振幅为1
m
B．该弹簧振子的周期为1
s
C．该弹簧振子的最大加速度为10
m/s2
D．该弹簧振子的最大速度为2
m/s
考点3　单摆及其周期公式(基础考点)
1．(2019·全国卷Ⅱ)如图所示，长为l的细绳下方悬挂一小球a，细绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方
l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正方向。下列图像能描述小球在开始一个周期内的x?t关系的是(　　)
A
B
C
D
2．如图所示，房顶上固定一根长2.5
m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点)。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6
m，不计空气阻力，g取10
m/s2，则小球从最左端运动到最右端的最短时间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0.2π
s　　B．0.4π
s　　C．0.6π
s　　D．1.2π
s
1．单摆的特征(以图示单摆为例)
(1)条件：θ≤5°，空气阻力可以忽略，摆线为不可伸长的轻细线。
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝－mgsin
θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反。
(3)周期：T＝2π
，其中l为摆长。
(4)向心力：细线的拉力和摆球的重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F＝F拉－mgcos
θ。
①当摆球在最高点时，F＝m＝0，F拉＝mgcos
θ。
②当摆球在最低点时，F＝m，F最大，F拉＝mg＋m。
2．周期公式T＝2π
的两点说明
(1)l为等效摆长，是从悬点到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l＝r＋Lcos
α，图乙中的小球(可视为质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l＝R。
(2)g为当地重力加速度。若单摆处于特殊的物理环境，即在其他星球、处于超重、失重状态等，g为等效重力加速度。
考点4　受迫振动与共振(基础考点)
1．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f，则(　　)
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/
cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
A．f＝60
Hz　　　　　
B．60
Hz＜f＜70
Hz
C．50
Hz＜f≤60
Hz　
D．以上三个都不对
2．如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B摆的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现(　　)
A．C摆的频率最小
B．D摆的周期最大
C．B摆的摆角最大
D．B、C、D摆的摆角相同
1．简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
　
　
　振动类型项目　　
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力作用
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T或固有频率f
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T或f驱＝f
振动能量
振动物体的机械能守恒
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f越接近，振幅A越大；当f＝f时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界有能量交换。
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