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2020-2021学年山东省潍坊市寒亭区、奎文区、潍城区、坊子区、高新区、滨海区八年级（下）期末数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．要使二次根式有意义，则x的值不可以为（　　）
A．0
B．3
C．4
D．
3．若m＞n，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．m+1＞n+2
B．﹣am＜﹣an
C．ma2＞na2
D．1﹣m＜1﹣n
4．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD
B．
C．AC2＝BC?CD
D．∠DAC＝∠ABC
5．已知点A（2，y1），B（，y2）在一次函数y＝（﹣m2﹣1）x﹣7（m为常数）的图象上，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2
B．y1＝y2
C．y1＞y2
D．无法判断
6．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠1＝23°，则∠BAA1的度数是（　　）
A．70°
B．67°
C．60°
D．55°
7．在△ABC中，点D，F，E分别在边BC，AB，AC上，BE与DF交于点G，AB∥DE，AC∥DF，CD＝3BD，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）
A．32
B．34
C．36
D．38
二、多选题（本题共4小题，共12分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法正确的是
　
　．
A．﹣4是16的平方根
B．5的平方根是
C．的算术平方根是
D．﹣27的立方根是3
10．已知一次函数y＝kx+5k+3，且当x＝1时，y＜0，则y关于x的函数图象可能经过
　
　．
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是
　
　．
A．＝
B．×＝1
C．÷＝﹣b
D．（）2＝﹣ab
12．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是
　
　．
A．BC的长为5
B．AB的长为3
C．当x＝2时，△BEF的面积为
D．当4≤x≤5时，△BEF的面积不变
三、填空题（本题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）
13．计算：＝　
　．
14．如图，函数y＝mx+n与y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则不等式mx+n＜﹣2x的解集为
　
　．
15．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为　
　．
16．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，则边BC的长为
　
　cm．
17．若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是
　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2021的坐标为　
　．
四、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．计算：
（1）++（﹣）2；
（2）（3+﹣4）÷；
（3）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点和点D均在格点上．
（1）若将△ABC平移，使点A的对应点为点D，点B，C的对应点分别为点E，F．请画出平移后的△DEF；连接AD，CF，则这两条线段之间存在什么关系？请直接写出结论；
（2）将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1，若点D是坐标原点，点A的坐标为（﹣6，2）．请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标．
21．如图，平面直角坐标系xOy中，过点A（0，﹣）的直线l1与直线l2：y＝﹣2x+4相交于点P（m，﹣2），直线l2与x轴相交于点B．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）连接AB，求△ABP的面积．
22．某城市的一个区域原来有12个A型和10个B型垃圾预处理点位，恰好能将该区域每天生产的910吨生活垃圾当日处理完．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理8吨生活垃圾．
（1）求一个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理7吨生活垃圾．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
23．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE，易得△ACE≌△BCD．
（1）求证：①AE∥BC；
②△ADF∽△BCD；
（2）若AB＝3BD＝6，求的值．
24．某地摊小商贩计划从水果批发市场购进葡萄和大枣共100箱出售，购进葡萄的箱数不少于购进大枣的箱数的．已知小商贩每卖出3箱葡萄和5箱大枣共可获利润87元；每卖出5箱葡萄和2箱大枣共可获利润69元．
（1）求小商贩每卖出一箱葡萄和一箱大枣分别可获利润多少元？
（2）设小商贩购进葡萄t箱，且所购进的两种水果能全部卖出，获得的总利润为w元，求该小商贩如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
（3）水果批发市场开展优惠让利活动，将葡萄每箱的批发价下调m元（0＜m＜4），大枣的批发价不变，但限定小商贩购进葡萄的箱数不能多于购进大枣的箱数，小商贩卖出两种水果的销售单价均不变．若小商贩将购进的两种水果全部卖出后获得最大利润是1225元，请求出m的值．
25．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1．求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC的中点，如图2．求证：四边形BEDF是平行四边形；
（3）当AB＝2时，连接AE，AD，设△ADE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
2．要使二次根式有意义，则x的值不可以为（　　）
A．0
B．3
C．4
D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的取值范围，判断即可．
解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
∴当x＝4时，分式无意义，
故选：C．
3．若m＞n，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．m+1＞n+2
B．﹣am＜﹣an
C．ma2＞na2
D．1﹣m＜1﹣n
【分析】利用特殊值对A、B、C进行判断；利用不等式的基本性质（3）、（1）对D进行判断．
解：A．当m＝0，n＝﹣1，则m+1＝n+2，所以A选项不符合题意；
B．当a＝0，则﹣am＝﹣an，所以B选项不符合题意；
C．当a＝0，则ma2＝na2，所以C选项不符合题意；
A．m＞n，则﹣m＜﹣n，1﹣m＜1﹣n，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD
B．
C．AC2＝BC?CD
D．∠DAC＝∠ABC
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
5．已知点A（2，y1），B（，y2）在一次函数y＝（﹣m2﹣1）x﹣7（m为常数）的图象上，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2
B．y1＝y2
C．y1＞y2
D．无法判断
【分析】根据一次函数的增减性可求y1，y2的大小关系．
解：∵k＝﹣m2﹣1＜0，b＝﹣7＜0，
∴一次函数y＝（﹣m2﹣1）x﹣7（m为常数）的图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小，
又∵2，
∴y1＜y2，
故选：A．
6．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠1＝23°，则∠BAA1的度数是（　　）
A．70°
B．67°
C．60°
D．55°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A1C，然后判断出△ACA1是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA1＝45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，
∴AC＝A1C，
∴△ACA1是等腰直角三角形，
∴∠CA1A＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠CA1B1＝22°＝∠BAC，
∴∠BAA1＝∠BAC+∠CAA1＝22°+45°＝67°，
故选：B．
7．在△ABC中，点D，F，E分别在边BC，AB，AC上，BE与DF交于点G，AB∥DE，AC∥DF，CD＝3BD，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可得BC＝4BD，再由AB∥DE，AC∥DF，可得到△BDG∽△BCE，△BDF∽△BCA，利用相似三角形的性质即可判断．
解：∵CD＝3BD，
∴BC＝4BD，
∵AC∥DF，
∴∠BDG＝∠C，∠BGD＝∠BEC，
∴△BDG∽△BCE，
∴，故A正确；
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴，，
∴，故B正确；
∵AC∥DF，
∴∠BDF＝∠C，∠BFD＝∠A，
∴△BDF∽△BCA，
∴，
∴，故C正确；
∵AB∥DE，AC∥DF，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠FBG＝∠DEG，
∴AF＝DE，
∵∠BGF＝∠EGD，
∴△BGF∽△EGD，
∴，
即，
∴，故D错误．
故选：D．
8．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　）
A．32
B．34
C．36
D．38
【分析】根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值．
解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），
第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），
a＝24+45÷3.75＝36．
故选：C．
二、多选题（本题共4小题，共12分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列说法正确的是
　AC　．
A．﹣4是16的平方根
B．5的平方根是
C．的算术平方根是
D．﹣27的立方根是3
【分析】根据平方根、算术平方根与立方根的概念对各选项分析判断后利用排除法．
解：A．﹣4是16的平方根，故本选项符合题意；
B．5的平方根是±，故本选项不符合题意；
C．＝3，3的算术平方根是，故本选项符合题意；
D．﹣27的立方根是﹣3，故本选项不符合题意．
故答案为：AC．
10．已知一次函数y＝kx+5k+3，且当x＝1时，y＜0，则y关于x的函数图象可能经过
　BD　．
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【分析】首先根据x＝1时，y＜0求出k的取值范围，然后分情况讨论即可．
解：∵当x＝1时，y＜0，
∴y＝k+5k+3＝6k+3＜0，
解得k＜﹣，
此时5k+3可能为正，也可能为负，也可能为0，
当5k+3为正时，一次函数经过第一、二、四象限；
当5k+3为负时，一次函数经过第二、三、四象限；
当5k+3为0时，一次函数经过第二、四象限，
故答案为：BD．
11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是
　BC　．
A．＝
B．×＝1
C．÷＝﹣b
D．（）2＝﹣ab
【分析】根据有理数的加法法则、乘法法则得到a＜0，b＜0，根据二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法法则判断即可．
解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴无意义，A选项错误；
×＝1，B选项正确；
÷＝＝﹣b，C选项正确；
（）2＝ab，D选项错误；
故选：BC．
12．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，直线l⊥AB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示．则下列结论正确的是
　A，C　．
A．BC的长为5
B．AB的长为3
C．当x＝2时，△BEF的面积为
D．当4≤x≤5时，△BEF的面积不变
【分析】当4≤x≤5时，即当BE＝4，BE经过点A，EF＝2；当BE＝5时，EF经过点C，可得BC＝5，AB＝＝2；当x＝2时，根据面积比等于相似比的平方或运用三角函数求出面积．
解：从图2知：
∵当4≤x≤5时，y的值不变，
∴相应的对应图1是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，EF的值不变，
即当BE＝4，BE经过点A，当BE＝5时，EF经过点C，
∴BC＝5，
∴A正确；
从图1，
BE1＝4，E1F1＝2，∠BF1E1＝90°，
∴AB＝＝2，
∴B不正确；
由△BEF∽△BE1F1，
∴＝＝，
∴S△BEF＝××2×2
＝，
∴C正确；
如图3，
S△BEF＝BE?FH，
∵FH不变，BE变化，
∴，△BEF的面积变化，
∴D不正确，
故答案是A、C．
三、填空题（本题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）
13．计算：＝　3﹣　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：＝3﹣．
故答案为：3﹣．
14．如图，函数y＝mx+n与y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则不等式mx+n＜﹣2x的解集为
　x＜﹣2　．
【分析】把A（a，4）代入y＝﹣2x求得a的值，得出A（﹣2，4），然后根据图象即可求得．
解：∵y＝﹣2x的图象过点A（a，4），
∴4＝﹣2a，解得a＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
∵函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（﹣2，4），
∴不等式mx+n＜﹣2x的解集为
x＜﹣2，
故答案为x＜﹣2．
15．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为　（0，2）　．
【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．
解：如图，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）．
16．如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，则边BC的长为
　10　cm．
【分析】由折叠的性质得EF＝DE＝CD﹣CE＝AB﹣CE＝8﹣3＝5（cm），AD＝AF＝BC，再由勾股定理得出CF＝4，最后利用勾股定理和等量代换求出BC即可．
解：由折叠的性质和矩形的性质可得，EF＝DE＝CD﹣CE＝AB﹣CE＝8﹣3＝5（cm），AD＝AF＝BC，
∴CF＝＝＝4（cm），
∵AF2＝AB2+BF2，
即BC2＝AB2+（BC﹣CF）2，
∴BC2＝82+（BC﹣4）2，
解得BC＝10，
故答案为：10．
17．若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是
　﹣3＜a≤1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数得到关于a的不等式组，解之即可．
解：解不等式x＞x﹣1，得：x＜3，
解不等式4x+1≥a，得：x≥，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴整数解为2、1、0，
∴﹣1＜≤0，
解得﹣3＜a≤1，
故答案为：﹣3＜a≤1．
18．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2021的坐标为　（21010，21011）　．
【分析】写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
解：观察，发现规律：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，
∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n为自然数）．
∵2021＝1010×2+1，
∴A2021的坐标为（（﹣2）1010，2（﹣2）1010）＝（21010，21011）．
故答案为：（21010，21011）．
四、解答题（本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。）
19．计算：
（1）++（﹣）2；
（2）（3+﹣4）÷；
（3）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）化简二次根式、三次根式，计算二次根式的乘方，然后合并即可；
（2）先化简，再类比多项式除以单项式的方法计算；
（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：（1）＝＝．
（2）＝＝2．
（3），
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤1．
将不等式①②的解集表示在数轴上如图：
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点和点D均在格点上．
（1）若将△ABC平移，使点A的对应点为点D，点B，C的对应点分别为点E，F．请画出平移后的△DEF；连接AD，CF，则这两条线段之间存在什么关系？请直接写出结论；
（2）将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到△A1B1C1，若点D是坐标原点，点A的坐标为（﹣6，2）．请画出△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标．
【分析】（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点B，C的对应点E，F得到△DEF，然后根据平移的性质判断AD与CF的关系；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可．
解：（1）如图，△DEF为所作；
AD∥CF，AD＝CF；
（2）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标（2，6）．
21．如图，平面直角坐标系xOy中，过点A（0，﹣）的直线l1与直线l2：y＝﹣2x+4相交于点P（m，﹣2），直线l2与x轴相交于点B．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）连接AB，求△ABP的面积．
【分析】（1）先求出P点，再将点A与P代入y＝kx+b即可求解；
（2）设直线l1与x轴的交点为C，求得B、C的坐标，然后根据S△ABP＝S△PBC﹣S△ABC即可求得．
解：（1）∵点P（m，﹣2）在l2上，
∴﹣2＝﹣2m+4，
∴m＝3，
∴P（3，﹣2）．
设l1为y＝kx+b，
∵点，P（3，﹣2）在l1上，
∴
∴
∴l1的函数表达式为．
（2）设l1与x轴的交点为C，
∴C（﹣1，0）．
∵点B为l2与x轴的交点，
∴B（2，0）．
∴BC＝3，，点P到x轴的距离h＝2．
∴，
，
∴．
22．某城市的一个区域原来有12个A型和10个B型垃圾预处理点位，恰好能将该区域每天生产的910吨生活垃圾当日处理完．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理8吨生活垃圾．
（1）求一个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《城市生活垃圾管理条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理7吨生活垃圾．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【分析】（1）设每个A型点位每天处理生活垃圾x吨，每个B型点位每天处理垃圾y吨，根据“一个A型点位比一个B型点位每天多处理8吨生活垃圾，12个A型和10个B型垃圾预处理点位每天除了910吨生活垃圾”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出一个A型、B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由现在每个点位每天将少处理7吨生活垃圾可求出现在每个A型、B型点位每天处理生活垃圾的吨数，设需要增设m个A型点位，则需要增设（5﹣m）个B型点位，利用每天处理生活垃圾的总吨数＝现在每个A型点位每天处理生活垃圾的吨数×A型点位的数量+现在每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数×B型点位的数量，结合每天处理至少910吨生活垃圾，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出至少需要增设1个A型点位．
解：（1）设每个A型点位每天处理生活垃圾x吨，每个B型点位每天处理垃圾y吨，
依题意得：，
解得：．
答：每个B型点位每天处理生活垃圾37吨．
（2）现在A型点位每天处理垃圾45﹣7＝38（吨），B型点位每天处理垃圾37﹣7＝30（吨）．
设需要增设m个A型点位，则需要增设（5﹣m）个B型点位，
依题意得：38（12+m）+30[10+（5﹣m）]≥910，
解得：m≥．
又∵m为整数，
∴m的最小值为1．
答：至少需要增设1个A型点位．
23．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE，易得△ACE≌△BCD．
（1）求证：①AE∥BC；
②△ADF∽△BCD；
（2）若AB＝3BD＝6，求的值．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据△ACE≌△BCD得出∠EAC＝∠DBC，等量代换得到∠EAC＝∠ACB，根据内错角相等，两直线平行证明结论；
②根据等边三角形的性质得到∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°，根据三角形内角和定理得到∠ADF＝∠BCD，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据△ADF∽△BCD列出比例式，把已知数据代入比例式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC；
②∵△ABC和△EDC为等边三角形，
∴∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF+∠BDC＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDC+∠BCD＝120°，
∴∠ADF＝∠BCD，
∴△ADF∽△BCD；
（2）解：∵AB＝3BD＝6，△ABC是等边三角形，
∴BD＝2，AC＝BC＝AB＝6，
∴AD＝4，
∵△ADF∽△BCD，
∴＝，即＝，
解得：AF＝，
∴CF＝6﹣＝，
∴＝＝．
24．某地摊小商贩计划从水果批发市场购进葡萄和大枣共100箱出售，购进葡萄的箱数不少于购进大枣的箱数的．已知小商贩每卖出3箱葡萄和5箱大枣共可获利润87元；每卖出5箱葡萄和2箱大枣共可获利润69元．
（1）求小商贩每卖出一箱葡萄和一箱大枣分别可获利润多少元？
（2）设小商贩购进葡萄t箱，且所购进的两种水果能全部卖出，获得的总利润为w元，求该小商贩如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．
（3）水果批发市场开展优惠让利活动，将葡萄每箱的批发价下调m元（0＜m＜4），大枣的批发价不变，但限定小商贩购进葡萄的箱数不能多于购进大枣的箱数，小商贩卖出两种水果的销售单价均不变．若小商贩将购进的两种水果全部卖出后获得最大利润是1225元，请求出m的值．
【分析】（1）设小商贩每卖出一箱葡萄可赚利润x元，一箱大枣可赚利润y元．根据等量关系列方程即可．
（2）根据利润＝葡萄利润+大枣利润，得w＝9t+12（100﹣t）＝﹣3t+1200，有一次函数的性质，w随t的增大而减小．即可求得最大值．
（3）根据利润＝葡萄利润+大枣利润，得w＝（9+m）t+12（100﹣t）＝（m﹣3）t+1200，由题中限定葡萄箱数，40≤t≤50．分类讨论①当0＜m＜3时，w随t的增大而减小，②当3＜m＜4时，w随t的增大而增大，③当m＝3时，w＝1200，不合题意，舍去．
解：（1）设小商贩每卖出一箱葡萄可赚利润x元，一箱大枣可赚利润y元．
根据颗意，得
解得
答：小商贩每卖出一箱葡萄可赚利润9元，一箱大枣可赚利润12元．
（2）根据题意，得w＝9t+12（100﹣t）＝﹣3t+1200．
∵，t≥40．
∴w随t的增大而减小．
∴当t＝40时，w有最大值为1080元
（3）根据题意，得w＝（9+m）t+12（100﹣t）＝（m﹣3）t+1200
∵t≤100﹣t，
∴t≤50，
又∵t≥40，
∴40≤t≤50．
①当0＜m＜3时，w随t的增大而减小，
∴当t＝40时，w有最大值，∴40（m﹣3）+1200＝1225，
∴，不合题意，舍去．
②当3＜m＜4时，w随t的增大而增大，
∴当t＝50时，w有最大值，
∴50（m﹣3）+1200＝1225，
∴m＝3.5．
③当m＝3时，w＝1200，不合题意，舍去．
综上所述，将葡萄每箱的批发价下调3.5元，小商贩将购进的两种水果全部卖出后获得最大利润是1225元．
25．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1．求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC的中点，如图2．求证：四边形BEDF是平行四边形；
（3）当AB＝2时，连接AE，AD，设△ADE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转知：CA＝CD，∠ACD＝30°即可求出∠ADE的度数；
（2）根据旋转60°可知，△BCE为等边三角形，得BE＝EC，再通过SAS证明△CFD≌△DEC，得DF＝EC，根据点F是边AC的中点，可证BF＝AB，而AB＝DE，通过两组对边分别相等是四边形是平行四边形即可；
（3）根据线段DE为定值，则点A到DE的距离最大时，△ADE的面积有最大值．可采取动静互换解决问题，得出点A的运动路径为圆，从而求出最大面积．
解：（1）如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴在Rt△ABC中，，
∵∠ACB＝30°，
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠EDC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF＝FC，△BCE为等边三角形，
∴BE＝EC，
∴在△CFD和△DEC中，
∴△CFD≌△DEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE，
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（3）S的最大值为．
∵线段DE为定值，
∴点A到DE的距离最大时，△ADE的面积有最大值．
∴可看成DE不动，点A绕点C旋转，
当点A'，C，E共线时，S有最大值．
∵AB＝2，，
∴AC＝4，DE＝2，
在Rt△ABC中，，
∴．
当点A'，C，E共线时，A'E＝EC+A'C＝2+4，
∵∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴△ADE的面积有最大值．

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