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第三讲
立方根
【学习目标】
1.
了解立方根的含义；
2.
会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.
【知识结构】
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【考点总结】
一、立方根的概念及表示方法
1、立方根的概念：
如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．
如23＝8，那么2就叫做8的立方根，
由于＝－，所以－叫做－的立方根．
2、立方根的表示方法：
a的立方根可表示为“”，
读作“三次根号a”，其中“3”是根指数，“a”是被开方数．
【注意】这里的根指数“3”不能省略．
例如：2的立方根可表示为.
二、立方根的性质
1、立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
2、开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．
三、立方根的化简公式
＝；＝a；()3＝a.
如果x3＝a，那么x就是a的立方根，
即x＝，
所以x3＝()3＝a.同样，
根据定义，a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a，即＝a.
设x3＝a，则(－x)3＝－x3＝－a.
根据立方根的定义可知，x＝，－x＝.＝－.
要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式．
四、灵活利用立方根与平方根解题
平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误．21cnjy.com
(1)区别：
①定义不同．
平方根：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．
立方根：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．
②表示方法不同．
正数a的平方根记为±，数a的立方根记为.
表示平方根时，根指数2一般省略不写，
但是用根号表示立方根时，根指数3绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了．
③读法不同．
正数a的平方根±，读作“正、负根号a”．
数a的立方根读作“三次根号a或a的立方根”．
④被开方数的取值范围不同．
在平方根±中，被开方数a是非负数，即a≥0.
但在中，a可以是任意的数．
⑤根的个数不同．
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，
负数没有平方根．
任何数都存在立方根，
一个正数有一个正的立方根，
一个负数有一个负的立方根，
0的立方根是0.
(2)联系：
求平方根与立方根的运算都是开方运算，
开平方与平方互为逆运算，
开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算．
【例题讲解】
【类型】一、立方根的概念
例1、
下列语句正确的是（
）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
【思路点拨】根据立方根的定义判断即可.
【答案】D；
【解析】A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；
B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；
C．负数有立方根，故错误；
D．正确.
【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义.
【训练】下列结论正确的是（
）
A．64的立方根是±4
B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1
D．
【答案】D.
【类型】二、立方根的计算
例2、求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案与解析】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.
【训练】计算：（1）______；（2）______；
（3）______．（4）______.
【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.
【类型】三、利用立方根解方程
例3、（x﹣2）3=﹣125．
【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．
【答案与解析】
解：（x﹣2）3=﹣125，
可得：x﹣2=﹣5，
解得：x=﹣3．
【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体．
【训练】求出下列各式中的：
（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；
（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．
【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．
【类型】四、立方根实际应用
例4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？21世纪教育网版权所有
【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.
【答案与解析】
解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为，可列方程解得
设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长
4
.
【总结升华】应该熟悉体积公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.21教育网
【训练】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗)21·cn·jy·com
【答案】　.
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精品试卷·第
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页
（共
2
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