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9.12
完全平方公式典型题练习
【知识点讲解】
1.
完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们
积的两倍，即：(x
±
y)2
=
x2
±
2xy
+
y2
2.
完全平方公式的特点：
①左边是一个二项式的完全平方;
②右边是一个二次三项式;
其中，有两项是左边括号内二项式中每一项的平方;
中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定.
3.
口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，符号跟随二倍项.
【考点1】完全平方公式的定义及运用
1．(2019秋?松江区期中)下列多项式中，能用完全平方公式计算的是(　　)
A．(a+1)(a+1)
B．(a+b)(ba)
C．(a+b)(ab)
D．(ab)(a+b)
2．(2019秋?闵行区校级月考)下列各式中，能用完全平方公式计算的是(　　)
A．(2m3n)(
2m3n)
B．(2m3n)(2m+3n)
C．(2m3n)(2m+3n)
D．(2m+3n)(3m+2n)
3．(2019秋?黄浦区校级月考)代数式(x+2y)24(x+2y1)的值是(　　)
A．大于零或等于零
B．小于零
C．等于零
D．大于零
4．(2020秋?奉贤区期末)若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是(　　)
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．无法判断
【考点2】利用图形证明完全平方公式及应用
1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a
>
b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（
）
A.
a2
+
b2
=(ab)(a+b)
B.
a2b2
=(ab)(a+b)
C.
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
D.
(ab)2
=
a22ab+b2
2.
如图，验证了一个等式，这个等式是（
）
A.
a2b2
=(ab)(a+b)
B.
(ab)2
=
a22ab+b2
C.
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
D.
(a+2b)(ab)=
a2ab2b2
3．(2018秋?崇明区期中)教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca作说明，那么其中用来表示b2的是(　　)
A．区域①的面积
B．区域⑤的面积
C．区域⑥的面积
D．区域⑧的面积
4．(2020秋?青山区期末)贾老师用四个大小、形状完全相同的小长方形围成了一个大正方形，如果大正方形的面积为3，且m＝3n，那么图中阴影部分的面积是　　．
【考点3】完全平方公式的应用(知二求二)
1．(2019秋?黄浦区校级月考)已知a2+b2＝3，a+b＝2，那么ab的值(　　)
A．
B．
C．﹣2
D．2
2．(2020秋?普陀区期中)如果xy＝4，xy＝2，那么(x+y)2＝　
　．
3．(2018秋?闸北区期中)已知a+b＝m，ab＝n，则(ab)2等于(　　)
A．m2n
B．m2+n
C．m2+4n
D．m24n
4．(2020秋?普陀区期中)已知(x+y)2＝16，(xy)2＝4，求x2+y2和3xy的值．
5．已知x，y满足x2+y2，xy，求下列各式的值．
(1)(x+y)2；
(2)x4+y4；
(3)x2y2．
【考点4】倒数型(形如“x”与“x”)
①x，②x，③x2这三个代数式只要知道其中一个，根据完全平方公式(x±)2=
x2，则可以求出另外两个代数式的值.
1．已知x=6，求x2的值为　
　．
2.
已知x=3，求(x)2和x4的值.
3.
已知a23a1=0，求：a2
和a4的值.
【考点5】利用完全平方公式求参数的值
1．①若x2+kx+4是完全平方式，则k＝　
；
②若x218xy+m是完全平方式，则m＝　
　；
③若x214x+m2是完全平方式，则m＝　
　；
④若9x2+6xy+m是完全平方式，则m＝　
　．
⑤(2020秋·西南模范月考)若9x23(k1)x+16是关于x的完全平方公式，则k=
.
2．(2019春?徐汇区校级月考)若对任意的x，均有(7xa)2＝49x2bx+9(a、b为常数)，则a+b＝　
　．
【考点6】完全平方公式的基础计算
1．计算：
(1)(2+m)2；
(2)(m3n2)2；
(3)(4a+3b)2；
(4)(3+y)2(3y)2；
(5)(a2b+3c)2．
2．(2021春?黄浦区校级月考)计算：(x+y)2x2＝　
　．
3．(2019秋?嘉定区期末)计算：(x)(x)＝　　
．
4．(2020秋?嘉定区期末)计算：2(ab)2(a+6b)(a2b)．
【考点7】简便运算
1.
简便计算
(1)
2022
(2)
10.32
(3)
(100)2
2.
简便计算
(1)
2010240202011+20112
(2)99210298
【考点8】完全平方公式的综合运用
1.
(2020秋·西南模范月考)若x2+2x+y26y=10，则xy=
.
2.
(2020秋
?
浦东新区期中)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，
所以(a+b)2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1
所以a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
(2)填空：
①若(4x)x＝3，则(4x)2+x2＝　
　．
②若(4x)(5x)＝8，则(4x)2+(5x)2＝　
　．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
3.
(2018秋
?
玉华中学期中)阅读：将代数式x2+2x+3转化为(x+m)2+k的形式，(其中m，k为常数)，则x2+2x+3
=x2+2x+11+3=(x+1)2+2，其中m=1，k=2
.
(1)
仿照此法将代数式x2+6x+15化为(x+m)2+k的形式，并指出m，k的值；
(2)若代数式x26x+a可化为()21的形式，求ba的值.
4.
你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5，即求(10n+5)2的值(n为正整数).请你分析n=1，n=2，···这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论(在下面的横线上填写你探索的结果)，通过计算探索规律：
152=225
可写成1001(1+1)+25
252=625
可写成1002(2+1)+25
352=1225
可写成1003(3+1)+25
452=2025
可写成1004(4+1)+25···
752=5625
可写成
852=7225
可写成
;
(2)
从第(1)题的结果归纳、猜想得：(10n+5)2=
;
(3)根据上面的归纳、猜想，请算出：19952=
.
参考答案
【考点1】完全平方公式的定义及运用
1.
【分析】根据完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab+b2，得出能用完全平方公式计算必须两式相等，分别观察得出即可．
【解析】A．(a+1)(
a+1)＝(1+a)(1a)＝(1a2)，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
B．(a+b)(ba)＝(b+a)(ba)＝(b2a2)，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
C．(a+b)(ab)＝(ab)(ab)，两式可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；
D．(ab)(a+b))＝(a2b2)，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
故选：C．
2.
【分析】利用完全平方公式对A、C进行判断；利用完全平方公式对B进行判断；利用多项式乘法对D进行判断．
【解析】(2m3n)(2m3n)＝(2m3n)(2m+3n)＝(4m29n2)＝4m2+9n2；
(2m3n)(2m+3n)＝(2m+3n)2＝4m212mn9n2；
(2m3n)(2m+3n)＝4m29n2；
(2m+3n)(3m+2n)＝6m2+13mn+6n2．
故选：B．
3.
【分析】原式整理后，利用完全平方公式变形，判断即可．
【解析】原式＝(x+2y)24(x+2y)+4＝(x+2y2)2≥0，即大于零或等于零，
故选：A．
4.
【分析】直接利用乘法公式将b变形，进而得出答案．
【解析】a＝2020×2021+1，
b＝202022020×2021+20212
＝(20202021)2+2020×2021
＝2020×2021+1，
故a＝b．
故选：B．
【考点2】利用图形证明完全平方公式及应用
1.
【分析】分别表示出两个图形的面积，两个图形的面积相等即可列出一个等式.
【解析】图1部分的阴影面积=a2b2，图2部分为梯形，面积=(2a+2b)(a-b)，所以，a2b2=(2a+2b)(a-b)，化简后得：a2b2
=(ab)(a+b)
故选B.
2.
【分析】整个图形可以看作边长为(a+b)
的正方形，也可以看作四个图形相加，两个图形的面积相等即可列出一个等式.
【解析】整体来看，大图形是一个边长为(a+b)的正方形，面积为：(a+b)2，同时，正方形的面积也可以用四个图形相加来表示，即：a2+b2+
ab+
ab=
a2+2ab+b2，所以(a+b)2=
a2+2ab+b2
故选C.
3.
【分析】观察图形，找出边长为b的正方形即可．
【解析】由图形可知，区域⑥是边长为b的正方形，
所以，用来表示b2的是区域⑥的面积．
故选：C．
4.
【分析】由大正方形的面积为3，可得(m+n)2＝3，再根据m＝3n，求出m、n的值，最后由拼图可得阴影部分的正方形的边长为(mn)，进而求出面积．
【解析】由题意得，(m+n)2＝3，m＝3n，
解得，m，n(取正值)，
阴影部分是边长为(mn)的正方形，其面积为(mn)2＝()2，
故答案为：．
【考点3】完全平方公式的应用(知二求二)
1.【分析】把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式化简，将a2+b2＝3代入计算即可求出ab的值．
【解析】把a+b＝2两边平方得：(a+b)2＝4，即a2+b2+2ab＝4，
把a2+b2＝3代入得：3+2ab＝4，
解得：ab，
故选：B．
2.
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解析】∵xy＝4，xy＝2，
∴(x+y)2
＝(xy)2+4xy
＝42+4×2
＝16+8
＝24．
故答案为：24
3.
【分析】先根据完全平方公式变形(ab)2＝(a+b)24ab，然后把a+b＝m，ab＝n代入计算即可．
【解析】(ab)2
＝(a+b)24ab
＝m24n．
故选：D．
4.
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求．
【解析】由题意可知x2+2xy+y2＝16①，x22xy+y2＝4②，
①+②得：2x2+2y2＝20，
∴x2+y2＝10，
①②得：4xy＝12，
∴xy＝3，
∴3xy＝9．
5.
【分析】(1)先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
(2)先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
(3)先求出x+y和xy的值，再根据平方差公式分解因式，最后代入求出即可．
【解析】(1)∵x2+y2，xy，
∴(x+y)2＝x2+y2+2xy
2
；
(2)∵x2+y2，xy，
∴x4+y4＝(x2+y2)22x2y2
＝()22×()2
；
(3)∵x2+y2，xy，
∴(xy)2＝x2+y22xy2，
∴xy，
∵(x+y)2，
∴x+y
当xy，x+y时，x2y2＝(x+y)(xy)；
当xy，x+y时，x2y2＝(x+y)(xy)；
当xy，x+y时，x2y2＝(x+y)(xy)；
当xy，x+y时，x2﹣y2＝(x+y)(xy)；
即x2y2．
【考点4】倒数型(形如“x”与“x”)
1.
【分析】把x6两边平方后化简整理解答即可．
【解析】将x6两边平方，
可得：，
解得：，
故答案为：38．
2.
【分析】把x3两边平方后化简整理解答即可．
【解析】将x3两边平方，
可得：9，
解得：7，
所以，(x)22=72=5；
因为，()272=49
所以，x42=49
解得：x4=47
3.
【分析】把a23a1=0两边同时除以a，整理得：a=3，把a=3两边平方后化简整理解答即可．
【解析】
∵
a23a1=0，两边同时除以a，整理得：a=3
∴()232=9
∴
a22=9
∴
a2=7
∴(a2)2=72
∴
2=49
∴=47
【考点5】利用完全平方公式求参数的值
1.
【分析】①这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，故k＝±4；
②先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可；
③先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可；
④先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．
⑤这里首末两项是3x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和2的积的2倍，故k＝5或3.
【解析】①中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，
故k＝±4；
②中间项为两数乘积的2倍，即：18xy＝2?x?9y，
而首项为x的平方，
所以尾项为(9y)2，
故m＝81y2；
③∵x2﹣14x+m＝x2﹣2?x?7+m2，
∴m2＝72，
∴m＝±7；
④∵9x2+6xy+m＝(3x)2+2?3x?y+m，
∴m＝y2．
⑤∵9x23(k1)x+16=(3x)23(k1)x+42=(3x±2)2
∴3(k1)x=±12x
∴k1=4，k1=4
∴k=5，k=3
故答案为±4；81y2；±7；y2；5或3．
2.
【分析】运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．
【解析】因为(7xa)2＝49x2bx+9，
所以a＝±3，b＝±42，
所以a+b＝±39，
故答案为：±39
【考点6】完全平方公式的基础计算
1.【分析】(1)根据完全平方公式展开即可；
(2)根据完全平方公式展开即可；
(3)根据完全平方公式展开即可；
(4)根据平方差公式解答即可；
(5)根据完全平方公式展开即可．
【解析】(1)(2+m)2．
＝4+4m+m2；
(2)(m3n2)2．
＝m26mn2+9n4；
(3)(4a+3b)2．
＝16a224ab+9b2；
(4)(3+y)2(3y)2．
＝(3+y+3y)(3+y3+y)
＝12y；
(5)(a2b+3c)2．
＝(a2b)2+2(a2b)·3c+(3c)2
＝a24ab+4b2+6ac12bc+9c2
＝a2+4b2+9c24ab+6ac12bc
.
2.
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
【解析】(x+y)2x2
＝x2+2xy+y2x2
＝2xy+y2，
故答案为：2xy+y2．
3.
【分析】原式利用完全平方公式计算即可求出值．
【解析】原式＝(x)2x+x2，
故答案为：x+x2
4.
【分析】先利用完全平方公式和多项式乘多项式计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【解析】原式＝2(a22ab+b2)
(a2+4ab12b2)
＝2a24ab+2b2a24ab+12b2
＝a28ab+14b2．
【考点7】简便运算
1.
【解析】
(1)
原式=(200+2)2=2002+22002+22=40000+800+4=40804
(2)
原式=(10+0.3)2=102+2100.3+0.32=100+6+0.09=106.09
(3)
原式=(100+)2=1002+2100+
()2=10000+100+=10100
2.
【解析】
(1)
原式=20212220212022+20222
=
(20212022)2=1
(2)
原式=(1001)2(100+2)(1002)=
100221001+1(10024)=195
【考点8】完全平方公式的综合运用
1.
【解析】将x2+2x+y26y=10整理成：x2+2x+1+y26y+9=0，即：(x+1)2+(y3)2=0，所以x=1，y=3，所以：xy
=(1)3=1
2.
【分析】(1)根据完全平方公式的变形，即可求出xy的值；
(2)①将(4x)看作y，根据(1)中的方法可求出答案；
②将(4x)＝a，(x5)＝b，利用题目提供的方法可求出答案；
(3)设AC＝a，BC＝b，将问题转化为a+b＝6，a2+b2＝18，求出ab的值即可．
【解析】(1)∵x+y＝8，
∴(x+y)2＝64，
即，x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24
∴xy＝12；
(2)①(4x)2+x2＝(4x+x)22(4x)x＝162×3＝10，
故答案为：10；
②∵(4x)(5x)＝8，
∴(4x)(x5)＝﹣8，
∴(4x)2+(5x)2
＝(4x)2+(x5)2
＝[(4x)+(x5)]22(4x)(x5)
＝12×(8)
＝1+16
＝17，
故答案为：17；
(3)设AC＝a，BC＝b，则S1＝a2，S2＝b2，
由S1+S2＝18可得，a2+b2＝18，而a+b＝AB＝6，
而S阴影部分ab，
∵a+b＝6，
∴a2+2ab+b2＝36，
又∴a2+b2＝18，
∴2ab＝18，
∴S阴影部分ab，
即，阴影部分的面积为．
3.
【分析】
(1)
根据完全平方公式的结构，按照要求x2+6x+15=x2+6x+329+15=(x+3)2+6，可知m=3，k=6.
(2)
根据完全平方公式的结构，按照要求x26x+a
=
x26x+99+a=(x3)2+a9=()21，所以：b=3，a=8
.
【解析】
(1)
因为x2+6x+15=x2+6x+329+15=(x+3)2+6，所以m=3，k=6
(2)
∵x26x+a
=
x26x+99+a=(x3)2+a9
∴(x3)2+a9=()21
∴b=3，a=8
4.
【解析】
(1)
752=1007(7+1)+25
;
852=1008(8+1)+25
;
(2)
(10n+5)2=100n(n+1)+25
(3)
20252=100202(202+1)+25=4100625
.

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