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第二十一章
一元二次方程
21.1
一元二次方程
学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数.
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.
难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.
一、知识链接
1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？
2.下面式子哪些是方程？
2+6=8；
2x+3；
5x+6=22；
x+3y=8；
x-5<18；
.
【来源：21cnj
y.co
m】
3.
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2
m，下部BC=x
m，请列出方程.21
cnjy
com
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1
有一块矩形铁皮，长100cm，宽
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？21·世纪
教育网
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
要点归纳：只含有一个未知数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中
称为二次项，
称为二次项系数，
称为一次项，
称为一次项系数，
称为常数项.
想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
典例精析
例1
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
例2
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0，
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3
(教材P3例题)将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
方法总结：系数和项均包含前面的符号.
探究点2：一元二次方程的根
问题1：下面哪些数是方程
x2–x–6
=
0的解?
-4，-3，
-2，-1，0，1，2，3，4
x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x2?–?x?–?6
要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
典例精析
例4
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
【变式题】已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．21世纪教育网版权所有
探究点3：建立一元二次方程模型
问题
在一块宽20m、长32m的矩
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？21·cn·jy·com
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三、课堂小结
一元二次方程的概念
①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件.
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型
审→设→找→列
1.下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x2
；
x2=0
；
(x+3)(2x–4)=x2；www.21-cn-jy.com
3y2=(3y+1)(y–2)；
x2=x3+x2–1；
3x2=5x–1.【版权所有：21教育】
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
x2=–3x
3y2+1=2y
4x2=5
(2–x)(3x+4)=3
3.关于x的方程(k2–1)x2＋2(k–1)x＋2k＋2＝0，
当k
　时，是一元二次方程；
当k
　时，是一元一次方程.
4.（1）已知方程5x2+mx–6=0的一个根为4，则m的值为
；
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2–4=0，有一个根为0，求m的值.
(1)
如图，已知一矩形的长为20
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0
cm，宽为150
cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x
cm应满足的方程（其中π取3）；21教育网
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(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
拓广探索
6.已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)一个根为1，
求a+b+c的值.
思考：（1）若
a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
2-1-c-n-j-y
（2）若
a–b
+c=0，4a+2b
+c=0
，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.等号两边都为整式，只含
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.21cnjy.com
2.
5x+6=22，x+3y=8
，.
3.解：列方程得x2=
2(2－x)，整理，得x2
+
2x－4
=
0．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：一元二次方程的概念
问题1
解：设切去的正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x
+350
=
0.2·1·c·n·j·y
问题2
解：根据题意，列方程：化简，得：
要点归纳
ax2
a
bx
b
c
想一想
当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，故a≠0.b、c
可以为零.
典例精析
例1
C
例2
解：(1)将方程式转化为一般
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由|a|+1
=2，且a－1
≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.【来源：21·世纪·教育·网】
变式题
解：（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时，是一元二次方程；（2）当a=2且b
≠0时，是一元一次方程．
例3
解：去括号，得：3x2－3x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=5x+10.移项、合并同类项，得3x2－8x－10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是－8；常数项是－10.21
cnjy
com
探究点2：一元二次方程的根
问题1
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
x2?–?x?–?6
14
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
所以x=－2，x=3是方程
x2–x–6
=
0的解.
例4
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.
变式题
解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.
∴2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=2×2+2018=2022.
探究点3：建立一元二次方程模型建立
问题
解：设小路的宽是x
m，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则横向小路的面积是32x
m2，纵向小路的面积是2×20x
m2，两者重叠的面积是2x2
m2.根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x＋35=0.
【出处：21教育名师】
当堂检测
1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.
2.从左至右从上至下依次为x2+3x=0，1，3，0，3y2－2y+1=0，3，－2，1，4x2－5=0，4，0，－5，3x2－2x－5=0，3，－2，－5.21教育名师原创作品
3.≠±1
＝－1
4.(1)；
(2)解：将x=0代入方程m2－4=0，解得m=±2.∵
m+2
≠0，∴
m≠－2，综上所述，m
=2.
5.(1)解：设由于圆的半径为x
cm，则它的面积为3x2
cm2.根据题意，得，
整理得.
(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得，整理得.
拓广探索
6.解：由题意得，即.
思考：(1)解：由题意得，即.∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是1.
(2)x=－1或x=2.
自主学习
课堂探究
(2)
(a－1)x|a|+1
－2x－7=0.
(1)ax2－x=2x2；
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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