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第二十一章
一元二次方程
21.2.1
配方法
第2课时
配方法
学习目标：1.了解配方法的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
重点：运用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
一、知识链接
1.用直接开平方法解下列方程.
(1)9x2=1
(2)(x－2)2=2.
2.
你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2－2ab+b2=(
)2.
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1)
x2+6x+9
=5
(2)x2+4x+1=0
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试
解方程：
x2+6x+9
=5
填一填1
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
(1)x2+4x+
=
(
x
+
)2；
(2)x2－6x+
=
(
x－
)2；
(3)x2+8x+
=
(
x+
)2；
(4)x2－x+
=
(
x－
)2.
你发现了什么规律？
要点归纳：配方的方法：二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方.
填一填2
x2+px+(
)2=(x+
)2
想一想
怎样解方程x2+4x+1=0？
问题1
方程x2+4x+1=0怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
问题2
为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？
要点归纳：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
典例精析
例1
(教材p7例1)解下列方程：
(1)
x2－8x+1=0；
(2)
2x2+1=3x；
(3)
3x2－6x+4=0.2·1·c·n·j·y
练一练
解下列方程：
(1)x2+8x+4=0；
(2)4x2+8x=-4；
(3)-2x2+6x-8=0.21·世纪
教育网
归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式：
①当p>0时，则，方程的两个根为，；
②当p=0时，则(x+n)2=0，开平方得方程有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p<0时，则方程(x+n)2=0无实数根.
思考1
用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2
用配方法解一元二次方程的一般步骤？
探究点2：配方法的应用
例2
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5
的值必定大于零.
练一练
应用配方法求最值.
(1)
2x2－4x+5的最小值；
(2)－3x2
+
5x
+1的最大值.
例3
若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.
归纳总结：
配方法的应用
类别
解题策略
1.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
2.求最值或证明代数式的值为恒正(或负)
对于一个关于x的二次多项式通
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
3、课堂小结
配方法的定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
配方法的步骤
一移常数项；二配方[配上]；三写成(x+n)2=p
(p≥0)；四直接开平方法解方程.
配方法的应用
求代数式的最值或证明
1.解下列方程.
（1）x2+4x－9=2x－11；
（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2－6x－3=0；
（4）3x2+6x－9=0.
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
4.若，求(xy)z的值.
5.
已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.解：(1)
(2)
2.a+b
a-b
3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的形式，再利用开平方法求解.21世纪教育网版权所有
课堂探究
二、要点探究
探究点1：用配方法解方程
试一试
解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得，∴.
填一填1
(1)22
2
(2)32
3
(3)42
4
(4)
21教育网
规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方.
填一填2
问题1
解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3.
问题2
解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上4.加其他的数不行.21cnjy.com
典例精析
例1
解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴.21·cn·jy·com
(2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴.www.21-cn-jy.com
(3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
练一练
解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.直接开平方，得，∴.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0.直接开平方，得，∴.
(3)整理，得x2-3x=－4，配方，得，∴原方程无实数根.
思考1
解：移项时需注意改变符号.
思考2
解：①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.www-2-1-cnjy-com
探究点2：配方法的应用
例2
解：k2－4k＋5=k2－4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.k2－4k＋5
的值必定大于零.2-1-c-n-j-y
练一练
(1)解：原式
=
2(x
-
1)2
+3，当x
=1时，有最小值3.
(2)解：原式=
-3(x-1)2
-
4，当x
=1时，有最大值-4.
例3
解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.
当堂检测
1.解：(1)此方程无解；
(2)；
(3)；
(4)
2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3.
3.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1=－(x+)2－.∵－(x+)2≤0，∴－(x+)2－＜0.
∴－x2－x－1的值总是负数.当x=－时，－x2－x－1有最大值－.
4.解：对原式配方，得，由代数式的性质可知，∴∴
5.
解：对原式配方，得由代数式的性质可知所以，△ABC为直角三角形.
自主学习
课堂探究
当堂检测
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精品试卷·第
2
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（共
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