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第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.2
公式法
学习目标：1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点：运用公式法解一元二次方程.
难点：一元二次方程求根公式的推导.
一、知识链接
如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？
问题1
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
解：移项，得ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得x2+
x=，
配方，得x2+
x+(
)2=(
)2，
即(x+)2=①.
问题2
对于方程①接下来能直接开平方解吗？
要点归纳：∵a
≠0，∴4a2>0.要注意式子b2－4ac
的值有大于0、小于0和等于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“”表示，
即=
b2－4ac.
判别式的情况
根的情况
练一练
按要求完成下列表格.
的值
根的情况
典例精析
例1
已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
例2
不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)
3x2+4x－3=0；
(2)
4x2=12x－9；
(3)
7y=5(y2+1).21教育网
方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.
例3
若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(
)
A.
q≤4
B.q≥4
C.q<16
D.
q>1621cnjy.com
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.
k>－1
B.
k>－1且k≠0
C.
k<1
D.k<1且k≠0www.21-cn-jy.com
方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.2·1·c·n·j·y
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是(
)
A.
k≥－1
B.k≥－1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
探究点3：用公式法解方程
由上可知，当≥0时，方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.21·cn·jy·com
典例精析
(1)
例4
(教材p11例2)用公式法解下列方程：
(2)
x2－4x－7=0；
(2)
2x2－+1=0；
(3)
5x2－3x=x+1；
(4)
x2+17=8x.
要点归纳：公式法解方程的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
三、课堂小结
公式法
内容
根的判别式
b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
步骤
一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.
1.
不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)
2x2+3x－4=0；
(2)
x2－x+=0；
(3)
x2－x+1=0.21世纪教育网版权所有
2.解方程：x2
+7x–18
=
0.
3.解方程：(x－2)
(1－3x)
=
6.
4.解方程：2x2－x
+
3
=
0.
5.（1）关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是
；
（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.
6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况.
能力提升
在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：方程整理得配方，得.直接开平方，得，∴.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
问题1
问题2
不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
练一练
从上往下，从左到右依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数根
典例精析
例1
B
解析：原方程变形为x2+x－1=0.∵b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.21·世纪
教育网
例2
解：（1）3x2+4x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．www-2-1-cnjy-com
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．
例3
C
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故选C.2-1-c-n-j-y
【变式题】B
解析：方程有两个不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等的实数根，则b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，可得k>－1且k≠0，故选B.21
cnjy
com
【变式题】A
思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.
探究点3：用公式法解方程
例4
解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根即.【出处：21教育名师】
(2)a=2，b=，c=1，b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即.【版权所有：21教育】
(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根即.21教育名师原创作品
(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.
当堂检测
1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.
(2)a=1，b=－1，c=，b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有两个相等的实数根.
(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.
2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.
∴.
3.
解：去括号，得x－2－3x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2
+
6x
=
6，化为一般式为3x2－7x
+
8
=
0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac=(－7)2–4×3×8
=49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.21
cnjy
com
4.这里a=2，b=，c=3，b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0.
∴.
5.(1)m≤1
(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2?4(m?1)(m?2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1.
6.解：，∵，∴，∴∴方程有两个实数根.
能力提升
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10（舍去）或b=2.【来源：21cnj
y.co
m】
所以△ABC
的三边长为2，5，5（2，2，5不符合三边关系，舍去），其周长为2+5+5=12.
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