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第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.
难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
一、知识链接
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算
解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x－4=0；
(2)x2－5x+6=0；
(3)2x2+3x+1=0.
想一想
方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？
一元二次方程
两根
关系
x1
x2
x2+3x－4=0
x2－5x+6=0
2x2+3x+1=0
猜一猜
1.
若一元二次方程的两根为x1，x2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则有x－x1=0，且x－x2=0，那么方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2.通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，你可以发现什么结论？
要点归纳：一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么，.(前提条件是b2－4ac≥0)
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1
(教材P16例4)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)
x2–6x–15
=
0；
(2)
3x2+7x－9
=
0；
(3)
5x–1
=
4x2.21cnjy.com
方法总结：在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.
例2
已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
变式题
已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
例3
不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.
练一练
设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：
(1)
，
(2)
，
(3)
，
(4)
.
方法总结：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.【来源：21·世纪·教育·网】
例4
设x1，x2是方程
x2－2(k－1)x
+
k2
=0的两个实数根，且4，求k的值.
方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母应该满足Δ≥0.21·世纪
教育网
三、课堂小结
根与系数的关系的内容
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么，.
根与系数的关系的应用
1已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p
=
，
q
=
.
2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是
，m
=
.
3.已知方程
3x2－19x
+
m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4.
(1)求k的值；
(2)求(x1－x2)2的值.
5.设x1，x2是方程3x2+4x－3
=
0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：
(1)
(x1
+
1)(x2
+
1)；
(2)
拓展提升
6.
当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1.
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；
(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=
1
求m的值.
参考答案
自主学习
1、知识链接
1.当≥0时，方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的实数根可写为.
2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.21教育网
课堂探究
二、要点探究
探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
想一想
一元二次方程
两根
关系
x1
x2
x2+3x－4=0
-4
1
x1+x2=-3，x1·x2=-4
x2－5x+6=0
3
2
x1+x2=5，x1·x2=6
2x2+3x+1=0
-1
x1+x2=，x1·x2=
猜一猜
1.方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是x=x1或x=x2.
(x－x1)(x－x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q.
2.x1+x2=，x1x2=.
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
典例精析
例1
解：（1）这里
a=1
,
b=
–
6
,
c=
–
15
.Δ
=
b2-
4ac
=(
–
6
)2
–
4
×
1
×(–
15)
=
96
>
0.
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1
+
x2
=
–(
–
6
)
=6，x1
x2
=
–
15
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（2）这里a
=
3
,
b
=7,
c
=
-9.Δ=b2
-
4ac
=
72
–4×3×(-9)
=157
>
0，∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1
+
x2
=，
x1
x2
=.
（3）方程可化为4x2–5x
+1
=0，这里
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a
=4，b
=
–
5，c
=
1.Δ
=
b2-
4ac
=(–
5)2
–
4×4×1=9>0.
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，
x2，那么x1
+
x2
=，x1
x2
=
例2
解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2
.
所以x1
x2
=2x2=即x2
=由于x1
+
x2=2+
=
得k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.www.21-cn-jy.com
变式题
解：设方程的两个根分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是x1，x2，，其中x1=1.所以x1
+
x2=1+
x2=6，即
x2=5
.
由于x1
x2=1×5=
得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.
例3
解：根据根与系数的关系可知：
（1）∵∴
（2）
练一练
（1）4
（2）1
（3）14
（4）12
例4
解：由方程有两个实数根，得Δ=
4(k-1)2-4k2
≥
0，即-8k
+
4
≥
0.由根与系数的关系得x1+x2=
2(k-1)
,
x1
x2
=k
2.∴
=
4(k-1)2
-2k2
=
2k2-8k+4.由
4，得
2k2-8k
+4
=4，解得k1=0，k2=4
.经检验，k2
=4不合题意，舍去.所以k=0.21·cn·jy·com
当堂检测
1.1
-2
2.
-3
3.解：将x
=
1代入方程中3
-19
+
m
=
0.解得m
=
16，设另一个根为x1，则
4.解：(1)根据根与系数的关系得
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7；
(2)因为k=-7,所以则
5.
解：根据根与系数的关系得
（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
（2）
拓展提升
6.解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1.由根与系数的关系，得
7.解：（1）方程有实数根，所以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.2·1·c·n·j·y
（2）∵方程有实数根x1，x2，
解得m=8.经检验，m=8是方程的解.
自主学习
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精品试卷·第
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