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(共20张PPT)
概率的应用
1、抓阄是否公平
假设有三个阄,其中一个标有“奖”,另两个为空,甲、乙、丙依次从箱中摸出一个,谁最有机会摸到标有“奖”的阄呢?
乙的机会如何呢?甲没有摸到的概率是2/3,乙摸到标有“奖”的阄的概率是2/3×1/2=1/3
。
甲的机会是三摸一,摸到标有“奖”的阄的概率是1/3。
丙只有在甲、乙都没有摸到的情况下才可能摸到,丙的概率是1-1/3-1/3=1/3。
2、源于博弈成科学
保险业
赌
博
据传,当时有一个赌徒梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人谁先赢满三局谁就得到全部赌注。在游戏进行了一会儿后,梅勒赢了两局,他的朋友赢了一局.这时候梅勒由于一个紧急事情必须离开。他们该如何分配赌桌上的60个金币呢?梅勒的朋友认为,既然他接下来赢的机会是梅勒的一半,那么他该拿到梅勒所得的一半,即他拿20个金币,梅勒拿40个金币。然而梅勒争执道:再掷一次色子,即使他输了,游戏是平局,他最少也能得到全部赌注的一半（30个金币）；但如果他赢了,就可以拿走全部的赌注。在下一次掷色子之前,他实际上已经拥有了30个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币,所以,他应分得45个金币。赌本究竟如何分配才合理呢?
梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡,这居然也难住了帕斯卡,因为当时并没有相关的知识来解决此类问题。帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费尔马,于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信,在通信中,他们最终正确地解决了这个问题。
如果继续赌下去,梅勒(设为A)和他的朋友(设为B)最终获胜的机会如何呢?
先做一个树结构图，根据树结构图，A胜的概率是3／4时，就把赌钱的3／4分给A，把剩下的1／4分给B就可以了。
A胜
A概率为
1/2+1/4=3/4
B概率为1/2×1/2=1/4
A胜
A胜
B胜
B胜
1/2
1/2
1/2
1/2
后来,荷兰著名的数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形之下,试图总结出更一般的规律,于1657年写成了《论赌博中的计算》一文,这就是最早的概率论著作。由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学。
3、彩票中奖是个梦
我们以前段时间比较流行的“6+1”中国体育福利彩票为例来计算一下。买一注彩票,你只需在0到9
的10个数字中任意选取7个,可以重复。在每一期开奖时有一个专门的摇奖机按顺序随机摇出7个标有数字的小球,如果你买的号码与开奖的号码一致,那你就中了特等奖,其奖金最高是500万元。
计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况:
10×10×10×10×10×10×10=10000000种!这就是说,假如你只买了一注彩票,7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一。
“一千万分之一”是一个什么样的概念呢?如果每星期你坚持花20元买10注彩票,那在每19230年中有赢得一次大奖的机会；即使每星期坚持花2000元买1000注,也大致需要每192年才有一次中大奖的机会。这几乎是单靠人力所不能完成的,“获大奖”仅是我们期盼中的偶然事件。
4、直觉想象靠不住
举一个有趣的小例子:给你一张美女照片,让你猜猜她是模特还是售货员?
5、轻易估计最易错
以1年365天计,在某人群中至少要有两人的生日相同,那么需要多少人呢?
如果一个班有50个人,他们中间有人生日相同的概率是多少?
a.50个人可能的生日组合是:365×365……365
b.50个人生日都不重复的组合是:365×364……316
这里,50个人生日全不相同的概率是b/a≈0.03,
因此,50个人生日有重复的概率是1-0.03≈0.97=
97%。
历史上有名的生日问题，记n为相关的人数，n
个人中至少有两人的生日在同一天的概率为P(A)，则有下表：
n
P(A)
10
20
30
40
50
23
0.12
0.41
0.51
0.71
0.89
0.97
字母
空格
E
T
O
A
N
I
R
S
频率
0.2
0.105
0.071
0.0644
0.063
0.059
0.054
0.053
0.052
字母
H
D
L
C
F
U
M
P
Y
频率
0.047
0.035
0.029
0.023
0.0221
0.0225
0.021
0.0175
0.012
字母
W
G
B
V
K
X
J
Q
Z
频率
0.012
0.011
0.0105
0.008
0.003
0.002
0.001
0.001
0.001
6、概率的应用举例
例1.下面就是英文字母使用频率的一份统计表。
空格的使用频率最高.人们在设计键盘时，空格键不仅最大,而且安排在最便于使用的位置，这样就把它放在键盘的下方中央。其他字母键也参考其使用概率的大小，配合手指在键盘上的操作规律，被安排在它们应在的位置。
如图，当输入拼音“shu”，则提示有以下几种可供选择：1.数，2.书，3.树，4.属，5.署……这个显示顺序基本上就是按照拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排列的。
▼
1
数
2
书
3
树
4
属
5
署
6
输
7
淑
8
术
9
舒
数
例2.1965年，发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法，叫做“随机化应答方法”，要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题。两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的。这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题。
例如，在调查运动员服用兴奋剂的时候，无关紧要的问题是“你的身份证号码的尾数是奇数吗”，敏感的问题是“你服用过兴奋剂吗”，然后要求被调查的运动员掷一枚硬币。如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题。
假如我们把这种方法用于200个被调查的运动员，得到54个“是”的回答。
因为掷硬币出现正面的概率为1/2，我们期望大约有100人回答了第一个问题。因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是同样的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”。其余4个回答“是”的人服用过兴奋剂。由此我们估计这群人中大约有4%的人服用过兴奋剂。
例3.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司：红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个
城市出租车的85%和15%，据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认颜色的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑。请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由。
解：设该城市有出租车1000辆，依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，
且经确认是红色的概率为:
120/290≈0.41
而是蓝色的概率为:
170/290≈0.59
在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据，
对红色出租车显然是不公平的。
证人所说的颜色（正确率80％）
蓝色
红色
合计
蓝色（85％）
红色（15％）
真
实
颜
色
合计
680
170
850
30
120
150
710
290
1000
小
结
　　运用概率论的知识，我们能对许多不可思议的现象，给出令人信服的解释。掌握一定的数学知识，能帮助我们在日常生活中作出更明智的选择。

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