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第二十二章
二次函数
22.3
实际问题与二次函数
第3课时
拱桥问题和运动中的抛物线
学习目标：1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
一、知识链接
如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出二次函数的解析式类型.
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(1)_________
(2)_________
(3)_________
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
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问题1
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
问题2
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
问题3
如何确定a是多少？
问题4
水面下降1m，水面宽度增加多少？
知识要点：解决抛物线型实际问题的一般步骤.
(1)
根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)
把已知条件转化为点的坐标；
(3)
合理设出函数解析式；
(4)
利用待定系数法求出函数解析式；
(5)
根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
典例精析
例1
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+2x+c表示．21教育网
（1）请写出该抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？【来源：21·世纪·教育·网】
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？21
cnjy
com
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变式
如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．【来源：21cnj
y.co
m】
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
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探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2
某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x（m）之间满足
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2-1-c-n-j-y
（1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
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变式
某公园要建造圆形喷水池，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
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例3
如图，一名运动员在距离篮球
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
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3、课堂小结
拱桥问题和运动中的抛物线问题
转化的关键→建立恰当的直角坐标系→①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))可用公式h=－4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.2·1·c·n·j·y
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.21·世纪
教育网
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第2题图
第3题图
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）21教育名师原创作品
A.50m
B.100m
C.160m
D.200mwww.21-cn-jy.com
4.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20m，拱顶距离水面
4
m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
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?
5.跳台滑雪是冬季奥运会
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）．
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能力提升
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900
m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5
m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5
m.21cnjy.com
(1)
若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)
计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长.
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参考答案
自主学习
知识链接
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
或y=ax2+bx21世纪教育网版权所有
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
问题1
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
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问题2
由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax2
．
问题3
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出-2=a·22，解得a=
问题4
解：这条抛物线表示的二次函数为y=当水面下降1m时，水面的纵坐标-3
令解得即，水面下降1m时，水面宽度增加
典例精析
例1
解：（1）根据题意得C（0，4），把C（0，4），代入y＝x2+2x+c，得c=4.所以抛物线解析式为y＝x2+2x+4.21·cn·jy·com
（2）抛物线解析式为y＝x2+2x+4=(x-6)2+10.所以对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x＝2或x＝10时，y＝＞6，所以这辆货车能安全通过.
（3）令y＝8，则(x-6)2+10=8,解得x1＝6+2,x2＝6-2,则x1﹣x2＝4.所以两排灯的水平距离最小是4
m.www-2-1-cnjy-com
变式
解：（1）如图，以O为原点建立直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）.设y＝a（x﹣8）2+8，将点（0，0）代入上式得0＝64a+8，解得a=故函数的表达式为
y＝（x﹣8）2+8（0≤x≤16）.
（2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)车最左侧边沿处，x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行.【版权所有：21教育】
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探究点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2
解：(1)∵y＝x2+2x=(x-2)2+2.故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2.
(2)令y=0,即x2+2x=0,解得x1=0,x2=4.即喷嘴喷出水流的最远距离为4m.
变式
解：建立如图①所示的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)坐标系.根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－
(x-1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?),0)
;同理，点
D的坐标为(-2.5,0)
.
根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
例3
解：如图②，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为
y=a(x-0)2+k
，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.当
x=－2.5时，y=2.25
.故该运动员出手时的高度为2.25m.21
cnjy
com
当堂检测
1.4
2.2
3.C
4.解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.
5.解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，根据题意得：抛物线的顶点坐标为（15，45），∴y＝a（x﹣15）2+45，∵与x轴交于点A（60，0），∴0＝a（60﹣15）2+45，解得：a＝.∴解析式为y=（x﹣15）2+45，令x＝0得：y＝（0﹣15）2+45=40.∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米．
能力提升
解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得81.5=a?4502+0.5.解得a＝.故所求表达式为y=x2+0.5（-450≤x≤450）.【出处：21教育名师】
(2)
当x=450－100=350时，得y=×3502+0.5=49.5.当x=450－50=400时，得y=×4002+0.5=64.5.即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m.
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精品试卷·第
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