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第二十二章
二次函数
22.1.1
二次函数
学习目标：1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.能根据实际问题列二次函数表达式.
重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
难点：能根据实际问题列二次函数表达式.
一、知识链接
1.什么是函数？
2.什么是一次函数？正比例函数？
3.一元二次方程的一般形式是什么？
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x，表面积为
y，则
y
关于x
的关系式为
.www.21-cn-jy.com
问题2
n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
问题3
某种产品现在的年产量是20t，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
要点归纳：一般地，形如y=ax
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2·1·c·n·j·y
典例精析
例1
下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)
①y=ax2+bx+c；
②y=3－2x?
；
③y=x2；
④
；
⑤y=x?+x?+25
；
⑥y=(x+3)?－x?；【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结：判断一个函数是不是二次函数，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.
例2
若函数是二次函数，求m的值.
方法总结：解决此类问题需要注意二次项系数a≠0这一限制条件.
针对训练
一个二次函数.
(1)求k的值；
(2)当x=0.5时，y的值是多少？
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题
矩形绿地的长为x
m，面积为y
m2.
（1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为____m，y
与x之间的关系式为________________；
想一想
自变量的取值范围是___________.
（2）若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为______m，y
与x之间的关系式为________________.
想一想
自变量的取值范围是___________.
例3
如图，用一段长为30米的篱笆围成一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式.21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
归纳：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.
例4
某工厂生产的某种产品按质量
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式.21·世纪
教育网
三、课堂小结
二次函数的定义
右边是整式；自变量的最高次数是2；二次项系数a≠0.
二次函数的一般形式
y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c是常数)
二次函数的特殊形式
y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常数).
1.下列函数是二次函数的是
(
)
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．
2.函数
y=(m－n)x2+
mx+n
是二次函数的条件是(
)
A．m，n是常数，且m≠0
B．m，n是常数，且n≠0
C．m，n是常数，且m≠n
D．m，n为任何实数
3.把y=(2－3x)(6+x)变成一般式，二次项为
，一次项系数为
，常数项为
.
4.
已知函数y=3x2m-1-5.
①当m=
时，y是关于x的一次函数；
②当m=
时，y是关于x的二次函数
.
5.若函数是二次函数，
（1）求a的值.
（2）求函数关系式.
（3）当x=－2时，y的值是多少？
6.写出下列各函数关系：
（1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
（2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
7.某商店经销一种销售成本为每
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式.(不必写出自变量x的取值范围)
8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2).
（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时，求矩形的面积.
参考答案
自主学习
知识链接
1.一般地，在一个变化的过程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.21世纪教育网版权所有
2.一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0
时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.21cnjy.com
3.ax2+bx+c=0
(a≠0)
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数的相关概念
问题1
y=6x2
问题2
问题3
y=20(1+x)2=20x2+40x+20
典例精析
例1
解：
②③是二次函数；①不一定是，缺少
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a≠0的条件.
④不是，等式右边是分式；⑤不是，x的最高次数是3；⑥不是，等式右边化简后，等式变形为y=6x+9，是一次函数.21·cn·jy·com
例2
解：由题意得∴m=3.
针对训练
解：（1）由题意的解得k=2.
当k=2时，，将x=0.5代入函数关系式，得
.
探究点2：根据实际问题列二次函数关系式
问题
（1）0.5x
y=0.5x2
想一想
x＞0
（2）（x-6）
y=x(x-6)
想一想
x＞6
例3
解：∵AB边长为x米.∴AD边长为
米.∴y＝(0＜x＜30).
例4
解：∵第一档次的产品一天能生产95
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了5(x－1)件．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10).
当堂检测
1.C
2.C
3.
-3x2
-16
12
4.
1
5.解：（1）由题意，得解得
（2）当a=-1时，函数关系式为
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
6.解:(1)
(2)
7.解：（1）月销售量和月销售利润分别为450kg，6750元.
（2）y=(x-40)[500-(x-50)×10]=-10x2+1400x-40000.
8.
解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x
(0＜x＜8).
（2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15
(cm2)
.
自主学习
课堂探究
当堂检测
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