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第二十二章
二次函数
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标：1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.
3.掌握二次函数y=ax2的图象和性质，并会应用.
重点：正确理解抛物线的有关概念.
难点：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.
2.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用其解决问题.
一、知识链接
1.什么叫二次函数？
2.二次函数的一般形式是什么？怎么判断一个函数是不是二次函数？
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2
(a＞0)的图象和性质
典例精析
例1
画出二次函数y=x2的图象.
要点归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
问题
观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
例2
(教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数，的图象．
思考
(1)
函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2)
当a＞0时，二次函数y
=
ax2的图象有什么特点？
要点归纳：对于抛物线
y
=
ax2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.21世纪教育网版权所有
探究点2：二次函数y=ax2
(a＜0)的图象和性质
合作探究
在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象．
思考
(1)
观察函数，，的图象，思考这些抛物线有什么共同点和不同点？
(2)
当a＜0时，二次函数y
=
ax2的图象有什么特点？
要点归纳：对于抛物线
y
=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ax2
(a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.21cnjy.com
问题
观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？
练一练
1.函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
；
2.函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
，顶点是抛物线的
最
点；
3.函数的图象的开口
，对称轴是
，
顶点是
，顶点是抛物线的最
点；
4.函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
.
例3
已知二次函数y=x2．
(1)
判断点A(2，4)在二次函数图象上吗？
(2)
请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；【来源：21·世纪·教育·网】
(3)
点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
例4
已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
练一练：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=
.
例5
已知二次函数y＝ax2.
(1)
若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____
y2；(填“>
”“＝”或“<
”)
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则
y1_____
y2；(填“>
”“＝”或“<
”)
(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：
①
直接代入法:将x的值分别代入函数解析式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例5(1);
②性质判断法:结合二次函数的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例5(2)；2-1-c-n-j-y
③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).21
cnjy
com
二次函数y＝ax2的图象及性质
画法
描点法→在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线→轴对称图形
性质
1.开口方向及大小；2.对称轴；3.顶点坐标4.增减性
三、课堂小结
1.函数y=5x2的图象的开口
，对称轴为
，顶点是
；在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
.【来源：21cnj
y.co
m】
2.函数y=－3x2的图象的开口
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
，对称轴为
，顶点是
；在对称轴的左侧，
y随x的增大而
，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
.21
cnjy
com
3.如右图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
（1）
（2）
（3）
（4）
5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(－1，2).
(1)
则a的值是
；
(2)
对称轴是
，开口
.
(3)
顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最
点.抛物线在x轴的
方(除顶点外).
(4)
若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1y2.21教育名师原创作品
6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．【版权所有：21教育】
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能力提升
如图，此二次函数的图象经过点(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
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参考答案
自主学习
知识链接
1.形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
2.一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理化简后的形式再作判断.二次函数的解析式是整式，化简后自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2
(a＞0)的图象和性质
典例精析
例1
解：列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
描点，连线，如图所示.
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议一议
答案不唯一，如二次函数y=x2的图象开口向上，图象有最低点（0,0），图象关于y轴对称.
问题：从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．21·cn·jy·com
例2
解：列表如下：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
描点、连线，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
思考
（1）函数，的图象与函数y=x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标，增减性都相同，不同的是开口的大小.www.21-cn-jy.com
（2）对于抛物线
y
=
ax
2
（a＞0），抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究点2：二次函数y=ax2
(a＜0)的图象和性质
合作探究
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-x2
…
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
…
描点、连线，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
思考
（1）函数，的图象与函数y=-x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标都相同，不同的是开口的大小.21教育网
（2）对于抛物线
y
=
ax2
(a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.2·1·c·n·j·y
问题：从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．21·世纪
教育网
交流讨论：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
练一练
1.向上
y轴
（0,0）
2.向下
y轴
（0,0）
高
3.向上
y轴
（0,0）
低
4.向下
y轴
（0,0）
例3
解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）点A关于x轴的对称点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），
点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；www-2-1-cnjy-com
（3）当x=－2时，y=x2=4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数y=－x2的图象上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以点D在二次函数y=－x2的图象上．
例4
解:
依题意有由①得:m>－1，解②得:m1=－2，m2=1
.∴
m=1，此时，二次函数的解析式为
y=2x2.【出处：21教育名师】
练一练
2
例5
（1）<
（2）＜
（3）y1＞y2＞y3
当堂检测
1.向上
y轴
（0,0）
减小
增大
2.向下
y轴
（0,0）
增大
减小
3.k＞1
4.（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（3）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（4）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
5.（1）2
（2）y轴
向上
（3）（0,0）
低
上
（4）＞
6.解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
7.解：由题意得
解得或所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
能力提升
解：∵二次函数y＝2x2的图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
自主学习
课堂探究
当堂检测
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精品试卷·第
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（共
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