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第二十二章
二次函数
22.1.3
二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第2课时
二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2的性质.
3.比较函数y=ax2与y=a(x－h)2的联系.
重点：会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
难点：掌握二次函数y=a(x－h)2的性质并会应用其解决问题.
一、知识链接
1.说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
2.二次函数
y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
3.函数的图象，能否也可以由函数平移得到？
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
引例
在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．
根据所画图象，填写下表：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
y=（x-2）2
试一试
画出二次函数，
的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
想一想
通过上述例子，函数y=a(x－h)2的性质是什么？
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最小值为0.
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最大值为0.
当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
典例精析
例1
已知二次函数y＝(x-1)2
（1）完成下表；
x
…
…
y
…
…
（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（4）当x取何值时，y随x的增大而增大．
（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；
想一想：若-1≤x≤5，求y的取值范围；
（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系
想一想
抛物线，
与抛物线有什么关系？
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2与y=ax2的图象的关系
y=ax2向右平移︱h︱得到y=a(x－h)2；
y=ax2向左平移︱h︱得到y=a(x+h)2.
左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.
例2
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
方法总结：根据抛物线左右平移的规
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．21世纪教育网版权所有
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位
　
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　
D．向右平移1个单位
三、课堂小结
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
图象的画法
描点法平移法
图象的特征
1.开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下.2.对称轴：直线x=h.3.顶点坐标：(h，0)
与y=ax2的关系
平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
2.如果二次函数y＝a(x-1)2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是_____．
3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是
.
4.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________.
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
能力提升
已知二次函数y＝（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.2·1·c·n·j·y
参考答案
自主学习
知识链接
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，c）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值c），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值c），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
2.答：二次函数y=ax2+k(a
≠
0)的图象可以由y=ax2(a
≠
0)的图象平移得到：
当k
>
0
时，向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时，向下平移-k个单位长度得到.
3.能
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
引例
列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
2
0
2
…
y=(x-2)2
…
8
2
0
…
描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
填表如下：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
向上
y轴
（0，0）
y=(x-2)2
向上
直线x=2
（2，0）
试一试
填表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-(x+1)2
…
-2
0
-2
-8
…
y=-(x-1)2
…
-8
-2
0
-2
…
描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示.
典例精析
例1
解：（1）填表如下：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
2
0
2
…
（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).
（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.
（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤
x
≤5时，y的取值范围为2≤
y
≤8.21教育网
想一想
∵当-1≤
x
≤5时，y的最小值为0，∵当-1≤
x
≤5时，y的取值范围是0≤
y
≤
8.21cnjy.com
（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.
变式
∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系
想一想
抛物线向左平移1个单位得到抛物线，抛物线向右平移1个单位得到抛物线.
例2
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a=
，∴平移后二次函数关系式为y＝
(x－3)2.21·cn·jy·com
练一练
C
当堂检测
1.填表如下：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
直线x=3
(3,0)
向上
直线x=2
(2,0)
向下
直线x=1
(1,0)
2.a＞0
3.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
4.y1
＞y2
＞
y3
5.
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
能力提升
解：∵当x＞h时，y随x的增大而
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜-1≤x≤3，x＝-1时，y取得最小值4，可得（-1-h）2＝4，解得h＝-3或h＝1（舍）；②若-1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，可得：（3-h）2＝4，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若-1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为-3或5.www.21-cn-jy.com
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精品试卷·第
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