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第二十二章
二次函数
22.1.3
二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
学习目标：1.会用描点法画出y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
重点：掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题.
难点：理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.
一、知识链接
1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.
(1)y=ax2；
(2)y=ax2+k；
(3)y=a(x－h)2.【来源：21cnj
y.co
m】
2.二次函数y=－2x2+3的图象和y=－2(x+2)2的图象如何由函数y=－2x2的图象平移得到？
3.请猜测一下，二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
典例精析
例1
(教材P35例3)画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
试一试
画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.21·cn·jy·com
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.【版权所有：21教育】
例2
二次函数y＝-2(x+1)2-4，下列说法正确的是(
)
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为(1，4)
D．当x＜-1时，y随x的增大而增大
例3
已知抛物线y＝a(x-3)2+2经过点(1，-2)．
（1）指出抛物线的对称轴；
（2）求a的值；
（3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
例4
怎样移动抛物线才可以得到抛物线？
要点归纳：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系
上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变.
例5
将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2(x-4)2-
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1
B．y=2(x+4)2+1
C．y=2(x-4)2+1
D．y=2(x+4)2-1
变式训练
将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝5(x+2)2+3
B．y＝5(x-4)2﹣1
C．y＝5(x-4)2+3
D．y＝5(x-3)2+4
例6
已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
例7
(教材P36例4)要修建一个圆形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
三、课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
图象的特点
当a>0，开口向上；当a<0，开口向下.对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；上下平移：括号外上加下减.
1.完成下列表格.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
2.把抛物线y=－3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是
.
21世纪教育网版权所有
3.抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为
.
4.已知函数y＝-(x-4)2-1.
(1)指出函数图象的开口方向是　
　，对称轴是
　
，顶点坐标为　
　
；
(2)当x　
　
时，y随x的增大而减小；
(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1.
5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)
求a的值；
(2)
若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．
参考答案
自主学习
知识链接
1.(1)对称轴为y轴，顶点坐
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)标为（0，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.21教育网
（2）对称轴为y轴，顶点坐标为（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，k）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为k），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为k），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.2·1·c·n·j·y
(3)对称轴为直线x=h
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，顶点坐标为（h，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当xh时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当xh时，y随x增大而减小.【来源：21·世纪·教育·网】
2.把y=-2x2的图象向上平移3个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)单位,得到y=－2x2+3的图象，把y=-2x2的图象向左平移2个单位,得到y=－2(x+2)2的图象.www-2-1-cnjy-com
3.可以，将y=-2x2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位（或向左平移2个单位，再向上平移3个单位）.21
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课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
典例精析
例1
列表如下：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=(x+1)2-1
-3
-1
-3
描点、连线如图①所示，
开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
试一试
解：函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).
例2
D
例3
解：（1）由y＝a(x-3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3.
（2）∵抛物线y＝a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2＝a（1-3）2+2，∴a＝-1.
（3）∵y＝-(x-3)2+2，∴此函数的图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，∴y1＜y2．21cnjy.com
探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系
例4
解：方法一：抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位；
方法二：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位；
例5
B
变式
C
例6
A
例7
解：如图建立直角坐标系，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3).∵这段抛物线经过点(3,0)，∴
0=a(3－1)2＋3.解得a=.因此抛物线的解析式为y=(x－1)2＋3
(0≤x≤3)当x=0时，y=2.25.2-1-c-n-j-y
答:水管长应为2.25m.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
当堂检测
1.填表如下：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
直线x=-3
(-3，5)
向下
直线x=1
(1，-2)
向上
直线x=3
(3，7)
向下
直线x=2
(2，-6)
2.
3.
4.(1)向下
直线x=4
(4，-1)
(2)＞4
（3）解：将抛物线y＝-x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1．
5.解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y1＝(m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；www.21-cn-jy.com
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点
(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得
2m＋n＝2.21·世纪
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