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第二十二章
二次函数
22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
重点：能够熟练地求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
难点：会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k.
一、知识链接
1.说说函数y=a(x－h)2+k图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.
2.将下列式子因式分解：
（1）a2+2ab+b2=____________;
(2)a2-2ab+b2=____________.21教育网
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
问题
怎样将化成y=a(x－h)2+k的形式？
填一填
（1）x2-12x+36=_____________;
（2）x2-12x=_____________
.21cnjy.com
想一想
（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；
（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？
练一练
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=x2-2x+1；
（2）y=2x2-4x+6．www.21-cn-jy.com
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1
你能说出的对称轴和顶点坐标吗？
问题2
二次函数可以看作是由怎样平移得到的？
问题3
如何画二次函数的图象？
问题4
结合二次函数的图象，说出其性质.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=______________;因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：______________;2·1·c·n·j·y
对称轴是：直线______________.
如果a>0，当x<_______时，y随x的增大而减小；当x>_______时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_______时，y随x的增大而减小.
典例精析
例1
画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
练一练
已知二次函数y＝x2-6x+5．
（1）将y＝x2-6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系
问题1
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
k1
0，b1
0；k2
0，b2
0；k3
0，b3
0.
问题2
二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
a1
0，b1
0，c1
0；a2
0，b2
0，c2
0；
a3
0，b3
0，c3
0；a4
0，b4
0，c4
0.
例2
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　
B．2　　　　
C．3　　　
D．4
三、课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
顶点式
配方法或公式法→顶点坐标：对称轴：
图象与a、b、c的关系
a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.
1.
已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
则该二次函数图象的对称轴为(
)
A.y轴
B.直线x=
C.直线x=2
D.直线x=
2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
(1)
a、b同号；
(2)
当x=－1和x=3时，函数值相等；
(3)
4a+b=0；
(4)
当y=－2时，x的值只能取0；
其中正确的是
.
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
5.已知二次函数y=x2-4x-1．
（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．21世纪教育网版权所有
参考答案
自主学习
知识链接
1.函数y=a(x－h)2+k图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h.当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为k），当xh时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为k），当xh时，y随x增大而减小.
2.(a+b)2
(a-b)2
课堂探究
二、要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
填一填
(1)
(x-6)2
(2)(x-6)2
-36
想一想
（1）
配方的步骤如下：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.
（2）y=ax?+bx+c=
练一练
解：(1)y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)；
(2)y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
问题1
答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.
问题2
答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题3
列表如下：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
然后描点画图，得到图象如图①所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
问题4
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大.
要点归纳：
典例精析
例1
解：函数y=-2x2-4x+1通过配可得y=-2(x+1)2+3.列表如下：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-15
-5
1
3
1
-5
-15
…
然后描点、连线，得到图象如图②所示.
由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.
练一练
解：（1）y＝x2-6x+5＝(x-3)2-4；
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，-4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系
问题1
＜
＞
＞
＜
＞
＞
问题2
＞
＞
＞
＞
＜
=
＜
=
＞
＜
＞
＜
例2
D
【解析】由图象开口向下可得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则21·cn·jy·com
(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
当堂检测
1.D
2.D
3.（2）
4.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．
5.解：（1）y=x2-4x-1=(x-2)2-5，该函数图象顶点B的坐标为（2，-5）.
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