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第二十二章
二次函数
22.2
二次函数与一元二次方程
学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.
一、知识链接
1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程(a≠0)根的情况.
2.
写出二次函数的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图象，x为何值时，y=0？
二、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题
如图，以40m/s的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：
h=20t－5t2，
考虑以下问题：
(1)
球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)
球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)
球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)
球从飞出到落地要用多少时间？
要点归纳：一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
典例精析
例1
如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.2·1·c·n·j·y
(1)
当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2)
铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
(3)
铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？
探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考
观察思考下列二次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？21cnjy.com
(1)
y=x2－x+1；
(2)
y=x2－6x+9；
(3)y=x2+x－2.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2－4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2－4ac＞0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2－4ac=0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0
例2
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
探究点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
方法总结：一元二次方程
x?－2x－2=0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
的根就是抛物线
y=x?－2x－2
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
例4
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．21教育网
探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1
函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么：
方程ax2+bx+c=0的根是
；
不等式ax2+bx+c>0的解集是
；
不等式ax2+bx+c<0的解集是
.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
图①
图②
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么：
方程ax2+bx+c=2的根是
______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________；
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
问题2
如果不等式ax2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有
个交点，坐标是
.方程ax2+bx+c=0的根是
.
21·世纪
教育网
问题3
如果方程ax2+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？2-1-c-n-j-y
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式.
(1)
①－x2+x+2=0；
②－x2+x+2>0；
③－x2+x+2<0.
(2)
①x2－4x+4=0；
②x2－4x+4>0；
③x2－4x+4<0.
(3)
①－x2+x－2=0；
②－x2+x－2>0；
③－x2+x－2<0.
要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
a＞0
a＜0
有两个交点x1，x2
(x1＜x2)
y＜0，x1＜x＜x2；y＞0，x＞x2或x＜x1
y＞0，x1＜x＜x2；y＜0，x＞x2或x＜x1.
有一个交点x0
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.
没有交点
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
三、课堂小结
判别式Δ=b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
x1；x2
x1=x2＝-
没有实数根
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集
xx2
x
≠
-的一切实数
所有实数
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
x1无解
无解
1.根据下列表格的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程
ax2+bx+c
=0
(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)
A.
3<
x
<
3.23
B.
3.23<
x
<
3.24
C.
3.24
3.25
D.
3.25
3.26www.21-cn-jy.com
2.若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于(　　)
A.x轴上方
B.第一、二、三象限
C.x轴下方
D.第二、三、四象限
3.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A.k<3
B.k<3且k≠0
C.k≤3
D.k≤3且k≠021
cnjy
com
4.若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程
－x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=
.
5.一元二次方程
3x2+x－10=0的两个根是x1=－2
，x2=，那么二次函数
y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是
.【出处：21教育名师】
6.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：
(1)方程的解是什么？
(2)
x取什么值时，y>0
？
(3)
x取什么值时，y<0
？
7.已知函数y＝(k-3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．【版权所有：21教育】
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
参考答案
自主学习
知识链接
1.当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.21教育名师原创作品
2.解：y=x2-2x-
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3=(x-1)2-4,则y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1，画图略，当x=3或-1时，y=0.【来源：21cnj
y.co
m】
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数与一元二次方程的关系
问题
解：（1）解方程：15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
（2）解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.21世纪教育网版权所有
（3）解方程：20.5=20t-5t2，t2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)-4t+4.1=0，因为(-4)2-4
×4.1<0，所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m.
(4)0=20t-5t2，t2-4t
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=0，t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m即0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.21·cn·jy·com
典例精析
例1
解
：（1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0,解得x1=1，x2=5.
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.
（2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.【来源：21·世纪·教育·网】
（3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为Δ=(-6)2-4×1×14＜0，所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.21
cnjy
com
探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
思考
解：（1）y=x2－x+1的图象与x轴无交点，则相应的一元二次方程为x2－x+1=0无实数根.
(2)
y=x2－6x+9的图象与x轴有1个交点，交点的横坐标为3，则相应的一元二次方程为
x2－6x+9=0，其根为x1=x2=3.
(3)
y=x2+x－2的图象与x轴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有2个交点，交点的横坐标分别为-2，1，则相应的一元二次方程为x2+x－2=0，其根为x1=1，x2=-2.www-2-1-cnjy-com
例2
(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此抛物线与x轴总有交点.
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以
x－1＝0或mx－2＝0，解得
x1＝1，x2＝
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1或2.
【变式题】(1)证明：∵Δ
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点.
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
探究点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
例3
解：画出函数
y=x?-2x-2
的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表：
x
···
-0.8
-0.7
···
y
···
0.24
-0.11
···
观察上表可以发现，当x分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7.
同理可得另一近似值为x2≈2.7.
例4
B
探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1
x1=-1,x2=3
x＜-1或x＞3
-1＜x＜3
拓广探索：
x1=-2,x2=4
x＜-2或x＞4
-2＜x＜4
问题2
1
（2，0）
x=2
问题3
0
（1）当a>0时，
ax2+bx+c<0无解;（2）当a＜0时，
ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
试一试：解：（1）①x1=-1
,
x2=2
②-1
＜
x＜2
③x＜-1或
x＞2
（2）①x1=
x2=2
②x≠2的一切实数
③
x无解
（3）①x无解
②x无解
③
x为全体实数
当堂检测
1.C
2.A
3.D
4.-1
5.（-2，0），
6.解：（1）x1=2，x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）27.解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；当k≠3时，y＝(k
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
8.
解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A
，
B(4，4)，C(7，3).其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－4)2＋4，将点A的坐标代入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中.
(3)
将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
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精品试卷·第
2
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（共
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