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第二十二章
二次函数
22.3
实际问题与二次函数
第2课时
商品利润最大问题
学习目标：1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
重点：能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
难点：弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
一、知识链接
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1)
y=－x2－4x+5；
(2)
y=x2－3x+4.
2.说说利润问题中利润、售价、销量之间的数量关系.
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
问题
某商品现在的售价为每件60元，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是
元，销售利润
元.2·1·c·n·j·y
典例精析
例1
某商品现在的售价为每件60元，每
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？21·世纪
教育网
◆涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润
(元)
销售量
(件)
每星期利润
(元)
正常销售
涨价销售
②自变量x的取值范围如何确定？
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
◆降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润
(元)
销售量
(件)
每星期利润
(元)
正常销售
降价销售
②自变量x的取值范围如何确定？
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
变式
某电商在购物平台上销售
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．21教育网
(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？
知识要点：求解最大利润问题的一般步骤.
(1)
建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”；
(2)
结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3)
在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.21·cn·jy·com
练一练
某网络玩具店引进一批进价为20元/件的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
www-2-1-cnjy-com
例2
某商店试销一种新商品，新商品的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
21cnjy.com
(1)
当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
(2)
当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
【来源：21cnj
y.co
m】
(3)
若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
变式
1若该商品售价在40～70元之间变
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
变式2
若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
变式3
在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？21
cnjy
com
三、课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价－总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在某段时间内若以每件x元(20
≤x
≤30)出售，可卖出(600－20x)件，使利润最大，则每件售价应定为
元.www.21-cn-jy.com
2.进价为80元的某件定价100元时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为
.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为
.(以上关系式只列式不化简）21教育名师原创作品
3.一工艺师生产的某种产品按质量分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
4.
某种商品每天的销售利润y
(元)与销售单价x
(元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图.
(1)
销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(2)
销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
参考答案
自主学习
知识链接
1.
解：（1）开口向下，对称轴为直线x=-2顶点坐标为（-2,9），最大值为9.
（2）开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为，最小值为
2.（1）销售额=售价×销售量；
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：利用二次函数解决商品利润最大问题
问题
18000
6000
典例精析
例1
◆涨价销售
①填表如下：
单件利润
(元)
销售量
(件)
每星期利润
(元)
正常销售
20
300
6000
涨价销售
（20+x）
(300-10x)
（20+x）(300-10x)
②营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x
≥0，且x
≥0，因此自变量的取值范围是0
≤x
≤30.21世纪教育网版权所有
③建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.当x=时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即涨价5元时，最大利润是6250元.2-1-c-n-j-y
◆降价销售
①填表如下：
单件利润
(元)
销售量
(件)
每星期利润
(元)
正常销售
20
300
6000
降价销售
（20-x）
(300+20x)
(20-x)(300+20x)
②营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x
≥0，且x
≥0，因此自变量的取值范围是0
≤x
≤20.21
cnjy
com
③
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.当x=时，
即降价2.5元时，最大利润是6125元.综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.
变式
解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000；
(2)w=-2x2+280x-90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)00=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，∴75≤x≤90.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．【出处：21教育名师】
练一练
解：设每件商品的销售单价上涨x元
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800
=-10(x-4)2+1960.易知0≤x
≤18，则当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
例2
解：（1）由题意得：当40≤x≤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)50时，Q
=
60(x－30)=
60x－1800，∵
y
=
60
>
0，Q随x的增大而增大，∴当x最大=
50时，Q最大=
1200.【来源：21·世纪·教育·网】
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).【版权所有：21教育】
解得∴y
=－2x
+160（50≤x≤70）.
.∴Q=(x－30)y
=(x－30
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))(－2x
+
160)=－2x2
+
220x－
4800=－2(x－55)2
+1250
(50≤x≤70)
，∵a
=
－2＜0，图象开口向下，∴当x
=
55时，Q最大=
1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（3）∵当40≤x≤50时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)Q最大=
1200＜1218，
当50≤x≤70时，
Q最大=
1250＞1218.
∴售价x应在50~70元之间.∴令：－2(x－55)2
+1250=1218，解得x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=
58(件)，当x2=59时，y2=－2x+160=
－2×59+160=
42(件).
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
变式
1
解：Q与x的函数关系式为：
由例2可知：若40≤x≤50，
则当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x=50时，Q最大=
1200；若50≤x≤70，
则当x=55时，Q最大=
1250；∵1200＜1250，∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
变式2
解：Q与x的函数关系式为：
①当40≤x≤50时，
∵Q最大=
1200
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＜1218，∴此情况不存在.
②当50≤x≤70时，Q最大=
1250>1218，令Q
=
1218，得
－2(x－55)2
+1250=1218解得：x1=51，x2=59.由Q
=
－2(x－55)2
+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.
变式3
解：由题意得：
解得：51≤x≤53.又∵a
=－2＜0，
∴当51≤x≤53时
，Q随x的增大而增大∴当x=
53时，Q最大=
1242.
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
当堂检测
1.25
2.y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
3.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.
则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.
4.解：（1）由图象可求y=-x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+20x-75.∵-1<0,，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
（2）由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7
≤x
≤13时，利润不低于16元.
自主学习
课堂探究
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精品试卷·第
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