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第02讲
矩形的性质与判定
【教学要求】
1．能运用综合法证明矩形判定定理。
2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
【知识结构】
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【考点总结】
一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
二、矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质。
（1）边：对边平行且相等。
（2）角：四个角都是直角。
（3）对角线：互相平分且相等。
三、矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
四、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【例题讲解】
【类型】一、矩形的性质
例1、
如图，矩形ABCD的周长为18cm，M是CD的中点，且AM⊥BM，则矩形ABCD的两邻边长分别是（
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A.3cm和6cm
B.6cm和12cm
C.4cm和5cm
D.以上都不对
【解析】A
首先证得△ADM≌△BCM，可得出∠AMD=∠BMC，由此可求出两角的度数，即可得出DM、MC的长，由此得解．【来源：21·世纪·教育·网】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC，
又∵M是CD的中点
∴MD=MC，
∴△ADM≌△BCM，
∴∠AMD=∠BMC
∵AM⊥BM，
∴∠AMD=∠BMC=45°，
∴AD=DM，BC=CM，
∵矩形ABCD的周长为18cm，
∴AD=3cm，DC=6cm，
故选A.
【总结与反思】此题运用了矩形的定义与性质：四个角都是90°.
【训练】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　_________　．
21·世纪
教育网
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【答案】；
提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.
【类型】二、矩形的判定
例2、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于
F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
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(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
【解析】解：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°.
∵点O是EF的中点，∴OE=OF.
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）.
（2）四边形ABCD是矩形.理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD.
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC.∴平行四边形ABCD是矩形.
（1）根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角
∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF.
（2）根据△BOE≌△DOF可得D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)O=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论.www-2-1-cnjy-com
【总结与反思】根据矩形的性质即可解出此题.
【训练】
如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
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证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
【类型】三、直角三角形斜边上的中线的性质
例3、如图，∠MON=90°，矩形ABCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【
】21教育网
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A．　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】A
如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1.
DE=，
∴OD的最大值为：.故选A.
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【总结与反思】
此题是对直角三角形斜边上的中线的性质的灵活运用.
【训练】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）www.21-cn-jy.com
A．20
B．12
C．14
D．13
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【答案】C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．2-1-c-n-j-y
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．21
cnjy
com
【训练】如图所示，已知平行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【来源：21cnj
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m】
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解：连接OP．
∵
四边形ABCD是平行四边形．
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∴
AO＝CO，BO＝DO，
∵
∠APC＝∠BPD＝90°，
∴
OP＝AC，OP＝BD，
∴
AC＝BD．
∴
四边形ABCD是矩形．
【类型】四、矩形中的折叠问题
例4、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（　　）2·1·c·n·j·y
Ａ、４　　Ｂ、３　　　Ｃ、４.５　　Ｄ、５
【解析】A
由折叠可得，BC’=
3，BF+FC’=
9，
根据勾股定理可得：在△C’BF中，
BF=4
故选A．
【总结与反思】根据折叠的性质和勾股定理即可解出此题.
【类型】五、与矩形对角线相关的拓展问题
例5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD
于F，则PE+FF的值是（
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A、
B、2
C、
D、
A
【解析】B
连接OP，过D作DM⊥AC于M，求出AC长，根据三角形的面积公式求出CM的值，根据代入求出PE+PF=DM即可．21·cn·jy·com
连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∠ADC=90°
∴OA=OD，
由勾股定理得：
，
，
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，
即，
故选B．
【总结与反思】根据矩形对角线相等且互相平分即可解出此题.
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精品试卷·第
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