资源简介

2.3
函数的图象、函数与方程的关系
一、整合教材知识，落实基本能力
1．利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
3．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：
方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
函数图象的识辨
作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中，得分较易.
直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
1．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
答案　D
解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.
2．(2020·浙江卷)函数y＝xcos
x＋sin
x在区间[－π，π]的图象大致为(　　)
答案　A
解析　因为f(x)＝xcos
x＋sin
x，则f(－x)＝－xcos
x－sin
x＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝πcos
π＋sin
π＝－π<0，知B错误；只有A满足.
3．(2021·重庆诊断)函数f(x)＝xcos的图象大致为(　　)
答案　A
解析　根据题意，f(x)＝xcos＝xsin
x，定义域为R，关于原点对称.有
f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin
x＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B，D.
当x∈(0，π)时，x>0，sin
x>0，有f(x)>0，排除C.只有A适合.
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(　　)
解析：选C　令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C.
5．(2021·天津卷)函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时，
，所以，排除D.
故选：B.
6．(2020·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　)
答案　A
解析　令f(x)＝，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，因此，函数为奇函数，排除C，D.当x＝1时，f(1)＝＝2>0，排除B.故选A.
考点二
函数图象的应用
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；(2)研究不等式；(3)求参数的取值范围.
角度1　研究函数的性质
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
角度2　研究不等式
1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈?；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．
3．(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)
D.[－1，0]∪[1，3]
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
角度3　求参数的取值范围（
）
1．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
　当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．
2．若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2]
B.
C．(1，)
D．(，2)
解析：选A　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2当01时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________.
解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，
由图可知k∈(0，1].
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
解析：(，1)　[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，
k的取值范围为(，1).]
5．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1]
B.[1，4]
C.[4，＋∞)
D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
答案　D
解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.
考点三
函数零点所在区间的判断
高考中对函数零点所在的区间的考查主要以选择题、填空题形式出现，体现了基本概念的灵活运用，难度不大.
　判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．
(2)零点存在性定理．
(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．
1．(多选题)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A.(－2，－1)
B.(－1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
答案　AD
解析　f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
2．函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2)
B．(2,3)
C.(3,4)
D．(4，＋∞)
解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln
2－1＜0，f(3)＝ln
3－＞0，得f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)的零点所在的大致区间为(2,3)．
3．设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：选B　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln
x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.
4．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　令g(x)＝x，f(x)＝x，
则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，
结合图象可得＜x0＜.
考点四
函数零点的个数
高考中对函数零点个数的考查主要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.
1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B　函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数就是函数y＝2x与y＝2－x3在区间(0,1)内的图象的交点个数，作出图象(图略)可知两个函数图象在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.
2．函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C　由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln
x(x>0)的图象如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
　(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
3．方程2x＝2－x的解的个数是________．
解析：方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
[答案]　1
4．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案　B
解析　由2sin
x－sin
2x＝0，得sin
x＝0或cos
x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin
x＝0，得x＝0，π，2π.
由cos
x＝1，得x＝0，2π.
∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点.
5．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3
B.2
C.1
D.0
解析　(1)法一　由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二　函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
6．(多选题)(2021·烟台调研)函数f(x)＝则关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A.定义域为R
B.值域为(－3，＋∞)
C.在R上为增函数
D.只有一个零点
答案　ACD　
解析　f(x)＝∴f(x)的定义域为R，值域为(－3，e－3)∪[0，＋∞)，且e－3<0，∴f(x)在R上为增函数，且f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点.故ACD正确，B不正确.
考点五
函数零点的应用
函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围.多以选择题、填空题的形式出现，体现了化归的数学思想，题目难度较大.
　根据函数零点的情况求参数的3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
角度1　根据函数零点个数求参数
1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,1)
解析：选C　由题意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.
2．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析：(1，＋∞)　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]
3．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析　(0，1)∪(9，＋∞)　[设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以
有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，
解得a＜1或a＞9.
又由图象得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9.]
　由函数的零点个数求参数的值或范围的策略
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
角度2　根据函数有无零点求参数
1．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．
答案：(0,2)
2．若函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知方程log3＝a在区间(1,2)上有解，
由1＜x＜2得2＜＜3，∴log32＜log3＜1，∴a∈(log32,1)．
答案：(log32,1)2.3
函数的图象、函数与方程的关系
一、整合教材知识，落实基本能力
1．利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
3．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：
方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
函数图象的识辨
作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中，得分较易.
直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
1．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
2．(2020·浙江卷)函数y＝xcos
x＋sin
x在区间[－π，π]的图象大致为(　　)
3．(2021·重庆诊断)函数f(x)＝xcos的图象大致为(　　)
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(　　)
5．(2021·天津卷)函数的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
6．(2020·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　)
考点二
函数图象的应用
函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；(2)研究不等式；(3)求参数的取值范围.
角度1　研究函数的性质
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
角度2　研究不等式
1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
2．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
3．(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[－1，1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)
D.[－1，0]∪[1，3]
角度3　求参数的取值范围（
）
1．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
　当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．
2．若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2]
B.
C．(1，)
D．(，2)
3．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________.
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
5．设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，1]
B.[1，4]
C.[4，＋∞)
D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
考点三
函数零点所在区间的判断
高考中对函数零点所在的区间的考查主要以选择题、填空题形式出现，体现了基本概念的灵活运用，难度不大.
　判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．
(2)零点存在性定理．
(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．
1．(多选题)(2021·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A.(－2，－1)
B.(－1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
2．函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2)
B．(2,3)
C.(3,4)
D．(4，＋∞)
3．设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
4．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)
A.
B.
C.
D.
考点四
函数零点的个数
高考中对函数零点个数的考查主要以选择题和填空题形式出现，体现了数形结合思想的运用，难度不大.
1．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
　(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．
3．方程2x＝2－x的解的个数是________．
4．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
5．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A.3
B.2
C.1
D.0
6．(多选题)(2021·烟台调研)函数f(x)＝则关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A.定义域为R
B.值域为(－3，＋∞)
C.在R上为增函数
D.只有一个零点
考点五
函数零点的应用
函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围.多以选择题、填空题的形式出现，体现了化归的数学思想，题目难度较大.
　根据函数零点的情况求参数的3种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
角度1　根据函数零点个数求参数
1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,1)
2．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
3．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．
　由函数的零点个数求参数的值或范围的策略
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
角度2　根据函数有无零点求参数
1．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
2．若函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围为________．

展开更多......

收起↑