资源简介

3.1
导数及其应用
一、整合教材知识，落实基本能力
1．导数的概念
①定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作(x0)或|x＝x0，即(x0)＝
＝
.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为：y－f(x0)＝(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q
)
(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin
x
(x)＝cosx
f(x)＝cos
x
(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0)
(x)＝axlna
f(x)＝ex
(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
(x)＝
f(x)＝ln
x
(x)＝
3．导数的运算法则
(1)；
(2)；
(3)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
增区间为：(a，b)
(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
减区间为：(a，b)
(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数
6．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点：
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值．
极大值和极小值统称为极值．
7．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
4．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．
5．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
导数的运算
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
　(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．
(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．
角度1　已知函数解析式求函数的导数
1．函数y＝x
cos
x－sin
x的导数为(　　)
A．x
sin
x　
B．－x
sin
x
C．x
cos
x
D．－x
cos
x
解析：B　[y′
＝x′cos
x＋x(cos
x)′－(sin
x)′＝cos
x－x
sin
x－cos
x＝－x
sin
x．]
2．(2016·长春质检)若函数f(x)＝，则(2)＝________.
解析：由(x)＝，得f′(2)＝.答案：
3．(2021·武汉检测)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos
2x，则f′(0)＝________.
答案　－
解析　因为f′(x)＝－－2sin
2x，所以f′(0)＝－.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
答案　1
解析　由f′(x)＝，可得f′(1)＝＝，即＝，解得a＝1.
5．已知函数f(x)＝ex
ln
x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
解析：e　[由题意得f′(x)＝ex
ln
x＋ex·，则f′(1)＝e.]
角度2　抽象函数求导
1．已知函数f(x)的导函数为(x)，且满足f(x)＝2x(1)＋ln
x，则(1)＝(　　)
A．－e　　
B．－1　　
C．1　　
D．e
解析：选B　由f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(1)＋.所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
　赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．
3．[一题两空]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln
x，则f′(1)＝________，f′(2)＝________．
解析：－2　－　[因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln
x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.]
4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(　　)
A.f(0)B.f(0)＝f(4)
C.f(0)>f(4)
D.以上都不对
答案　B
解析　函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，
故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.
5．(2020·济南检测)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________.
答案　－2
解析　∵直线l过点(－2，0)和
(0，－2)，
∴直线l的斜率f′(－1)＝＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.
则f(－1)＝1－2＝－1.
故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.
考点二
导数的几何意义
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较小，属中低档题.常见的命题角度有：(1)求曲线的切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围).
　导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0).
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
角度1
求曲线的切线方程
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A.y＝－2x－1
B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3
D.y＝2x＋1
答案　B
解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.
2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
解析　∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，∴曲线在点(0，0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，
∴曲线在点(0，0)处的切线方程为y＝3x.
3．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
4．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，
所以，所以曲线在点处的切线方程为，故选D.
5．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln
x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
解析　设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln
x＋x＋1，所以y′＝＋1，
所以切线的斜率为＋1＝2，解得x0＝1.
所以y0＝ln
1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
6．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：y＝－2x－1　[因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln
x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]
7．(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln
x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0　　　B．x－y－1＝0　　　C．x＋y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
解析：∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln
x上，∴设切点为(x0，y0)．
又∵(x)＝1＋ln
x，∴解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1,0)，∴(1)＝1＋ln
1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.选B
角度2
求切点的坐标
1．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
解析：(e，e)　[由题意得y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln
m＝2，解得m＝e，所以n＝eln
e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]
2．(2016·陕西五校联考)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln
x的一条切线，则m的值为(　　)
A．0
B．2
C．1
D．3
解析：选B　因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln
x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
3．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3)　　　　　B．(－1,3)　　　　　C．(1,3)和(－1,3)
　　　　　D．(1，－3)
解析：选C　(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
4．(2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________，此时切线方程为________.
答案　(e，1)　x－ey＝0
解析　设A(m，n)，则曲线y＝ln
x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).
再由n＝ln
m，解得m＝e，n＝1.
故点A的坐标为(e，1)，切线方程为x－ey＝0.
角度3
求参数的值(范围)
1．(2016·南宁适应性测试)已知函数f(x)＝ln
x－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为________．
解析：(x)＝－a，则(1)＝1－a＝－2，故a＝3.答案：3
2．(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－2　
B．2
C．－
D．
解析：由y′＝得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A．
3．(2021·洛阳检测)函数f(x)＝ln
x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A.－1
B.
C.
D.1
解析　(1)∵f(x)＝ln
x－ax，∴f′(x)＝－a.
∴曲线y＝f(x)在x＝2处切线的斜率k＝f′(2)，因此－a＝a，∴a＝.
4．(2021·长沙模拟)若直线y＝ax与曲线y＝ln
x－1相切，则a＝(　　)
A.e
B.1
C.
D.
答案　D
解析　由y＝ln
x－1，得y′＝，设切点为(x0，ln
x0－1)，则解得a＝.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵(x)＝3ax2＋1，∴(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：1
6．已知直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln
x相切于点P(1,4)，则b的值为(　　)
A．3
B．1
C．－3
D．－1
解析：选D　法一：因为点P(1,4)在曲线y＝ax2＋2＋ln
x上，所以a＋2＝4，解得a＝2，故y′＝2ax＋＝4x＋，所以y′x＝1＝5＝k，将点P(1,4)代入y＝5x＋b，得b＝－1.
法二：由题意得y′＝2ax＋，所以在点P(1,4)处的切线方程为y－4＝(2a＋1)(x－1)，
即y＝(2a＋1)x－2a＋3，故，解得
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_____.
解析：∵y＝x＋ln
x，∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8(a＝0，舍去)．答案：8
8．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x
ln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1　
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
解析：∵y′＝aex＋ln
x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.
∴切点为(1，1)，将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1，故选D.
　已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．
考点三
求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则难度较高，需要分类讨论.
　求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．
(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．
1．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得(x)＝3x2－30x－33，
令(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，
解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．
答案：(－1,11)
2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]
D．[0，＋∞)
解析：D　∵(x)＝ex－1，令(x)≥0，得ex－1≥0，即x≥0，故f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．
3．函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为________．
解析：(0，1]　[函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－≤0，得0＜x≤1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1].]
　求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则极易出错．
4．函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　B．(0，＋∞)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0,2)
解析：选A　对于函数y＝x2－ln
x，易得其定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令<0，又x>0，所以x2－1<0，解得0x的单调递减区间为(0,1)．
5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．
解析：(2，＋∞)　[函数f(x)＝(x－3)ex的导数为(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.]
6．函数f(x)＝3＋xln
x的单调递减区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ln
x＋x·＝ln
x＋1，令f′(x)<0，解得07．(2017·安徽二模)已知f(x)＝，则(　　)
A．f(2)＞f(e)＞f(3)
B．f(3)＞f(e)＞f(2)
C．f(3)＞f(2)＞f(e)
D．f(e)＞f(3)＞f(2)
解析：D　f(x)的定义域是(0，＋∞)，(x)＝，令(x)＝0，得x＝e.
∴当x∈(0，e)时，(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，(x)＜0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，
∴f(e)＞f(3)＞f(2)，故选D.
考点四
函数的最值
函数的最值是高考的热点内容，考查函数最值的同时必然涉及函数单调性，还会涉及方程和不等式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中档.
1．掌握求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
1．函数f(x)＝x2－ln
x的最小值为(　　)
A．
B．1
C．0
D．不存在
解析：A　f′(x)＝x－＝且x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1.令f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，f(1)＝－ln
1＝.
2．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1
B．e
C．e2
D．
解析　令y′＝＝＝0(x＞0)，
解得x＝e．当x>e时，y′<0；当0＜xy极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以ymax＝．答案　A
3．已知函数在上有最小值；
（1）求实数的值；
（2）求在上的最大值。
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－为f′(x)＝0的解．
∴∴a＝－，b＝－2．
(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．
∴f(x)＝x3－x2－2x＋1．
∴f′(x)＝3x2－x－2．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
单调递减↘
－
单调递增↗
∴f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，递减区间为．
当x＝－时，f(x)有极大值为f＝；当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－．
考点五
函数的极值
函数的极值是每年高考的必考内容，主要考查已知函数求极值或已知函数极值情况求参数值?范围?.题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.
角度1
根据函数图象判断函数极值的情况
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
(　　)
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
解析：选C　由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.
　可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图，则导函数y＝f
′(x)的图象可能为(　　)
【点拨】　研究函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【解答】由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；
当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D．
【答案】D
3．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B　f′(x)的图象与x轴的交点就是极值点，其中左正右负的点是极大值点，故从图上看极大值点有两个，故选B.
4．如图是函数y＝f(x)的导函数f
′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间(－2，1)上是增函数
B．函数y＝f(x)在区间(1，3)上是减函数
C．函数y＝f(x)在区间(4，5)上是增函数
D．函数y＝f(x)在区间(3，5)上是增函数
【解析】　由导函数f′(x)的图象知在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4，5)上单调递增．故选C．
【答案】　C
角度2
已知函数求极值
1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　B．－2e－3
C．5e－3
D．1
解析：函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1>0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，
且x<－2时，f′(x)>0；－21时，f′(x)>0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.选A．
2．(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln
x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln
a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值．
角度3
已知极值求参数
1．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，
而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
2．已知函数f(x)＝4ln
x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．
解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f′(x)＝＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.
答案：1
3．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
解析：由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝－2ax－1＝，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，
答案：－
考点六
已知函数单调性求参数的范围（
）
已知函数的单调性求参数范围问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问.难度中档，有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档.解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解.
1．若函数y＝x3＋ax2＋bx的单调递减区间是(－1,2)，则a，b的值为(　　)
A．a＝3，b＝2
B．a＝－6，b＝－
C．a＝－3，b＝－6
D．a＝－，b＝－6
解析：选D　y′＝3x2＋2ax＋b，则x＝－1或x＝2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
∴解得a＝－，b＝－6.
2．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______________
【解析】若函数在上是减函数，则在上恒成立.
则，解得.故答案为：
.
3．若在上是减函数，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　因为，所以，因为
在
上是减函数，所以在上恒成立，即亦即在上恒成立，因为，所以。故选A。
4．(2016·九江一模)已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln
x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a
的取值范围为________．
解析　由题意知(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，
∵max＝，∴2a≥，即a≥.答案：
5．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________.
[解]　　[∵(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，
∴m≤x＋恒成立．令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴m≤2＋＝.
6．已知函数f(x)＝－2x2＋ln
x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
解析　(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即(x)＝－4x＋≥0或(x)＝－4x＋≤0
在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.【答案】∪[1，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1]
B.
C.
D.
答案　D
解析　f′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2＝x2≥0，∴f(x)在R上是增函数.
又f(－x)＝－x3＋4x＋2e－x－2ex＝－f(x)，知f(x)为奇函数.
故f(a－1)＋f(2a2)≤0?f(a－1)≤f(－2a2)，
∴a－1≤－2a2，解之得－1≤a≤.
考点七
判断或证明函数的单调性（
）
单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，研究函数的单调性常出现在解答题某一问中，多利用分类讨论思想．
1．已知函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解：(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；当x>时，(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
由①②知，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
2．(2016·四川高考节选)讨论函数f(x)＝ax－a－ln
x的单调性，其中a∈R．
[解]　(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
3．已知函数，讨论的单调性.
解析：，……………………………………………2分
①当即时
在内单调递增，
②当即或时
解得，…………………8分
函数的增区间为和…………………10分
减区间为]……………………………………12分
4．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝e(e－a)－ax.讨论f(x)的单调性．
[解]　函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，(x)＝2e－ae－a＝(2e＋a)(e－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln
a.
当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈时，f′(x)＞0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增．
5．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数，讨论的单调性．
解:（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
考点八
构造新函数利用导数比较大小或解不等式（
）
　用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．
常见构造的辅助函数形式有：
(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；
(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；
(3)xf′(x)－f(x)→[]′；
(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；
(5)f′(x)－f(x)→[]′.
1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则(　　)
A．4f(－2)＜9f(3)
B．4f(－2)＞9f(3)
C．2f(3)＞3f(－2)
D．3f(－3)＜2f(－2)
解析：根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，又对任意x＞0都有2f(x)＋xf′(x)＞0成立，则当x＞0时，有g′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))＞0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)＜g(3)，则有g(－2)＜g(3)，即有4f(－2)＜9f(3).故选A.
2．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则(　　)
A.4f(1)B.4f(1)>f(2)
C.f(1)<4f(2)
D.f(1)>4f′(2)
答案　B
解析　设函数g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，因此g(1)>g(2)，即>，所以4f(1)>f(2).
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f(x)＞0的解集是________．
解析　令φ(x)＝，∵当x＞0时，[]′＜0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当0＜x＜2时，φ(x)＞0，
此时x2f(x)＞0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).]
　如本例(1)已知条件“2f(x)＋xf′(x)＞0”，需构造函数g(x)＝x2f(x)，求导后得x＞0时，g′(x)＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．而本例(2)则需构造函数φ(x)＝解决．
4．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为________．
解析　(－∞，－1)∪(1，＋∞)　[由题意构造函数F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－.因为f′(x)＜，所以F′(x)＝f′(x)－＜0，即函数F(x)在R上单调递减．
因为f(x2)＜＋，f(1)＝1，所以f(x2)－＜f(1)－，所以F(x2)＜F(1)，又函数F(x)在R上单调递减，所以x2＞1，
即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).]
5．(多选题)(2021·重庆调研)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.f＞
D.f＜
答案　BD
解析　由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，故原函数为减函数，并且递减的速度是逐渐减慢.所以f(x)的示意图如图所示：
f(x)＜0恒成立，没有依据，故A不正确；
B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数，故B正确；
C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确.3.1
导数及其应用
一、整合教材知识，落实基本能力
1．导数的概念
①定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作(x0)或|x＝x0，即(x0)＝
＝
.
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为：y－f(x0)＝(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q
)
(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin
x
(x)＝cosx
f(x)＝cos
x
(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0)
(x)＝axlna
f(x)＝ex
(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
(x)＝
f(x)＝ln
x
(x)＝
3．导数的运算法则
(1)；
(2)；
(3)(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5．函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
增区间为：(a，b)
(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
减区间为：(a，b)
(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数
6．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点：
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值．
极大值和极小值统称为极值．
7．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
4．若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点．
5．若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
导数的运算
导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见.因此，必须牢牢掌握导数的运算法则.
　(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．
(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．
角度1　已知函数解析式求函数的导数
1．函数y＝x
cos
x－sin
x的导数为(　　)
A．x
sin
x　
B．－x
sin
x
C．x
cos
x
D．－x
cos
x
2．(2016·长春质检)若函数f(x)＝，则(2)＝________.
3．(2021·武汉检测)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos
2x，则f′(0)＝________.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
5．已知函数f(x)＝ex
ln
x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
角度2　抽象函数求导
1．已知函数f(x)的导函数为(x)，且满足f(x)＝2x(1)＋ln
x，则(1)＝(　　)
A．－e　　
B．－1　　
C．1　　
D．e
2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．
　赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．
3．[一题两空]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln
x，则f′(1)＝________，f′(2)＝________．
4．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(　　)
A.f(0)B.f(0)＝f(4)
C.f(0)>f(4)
D.以上都不对
5．(2020·济南检测)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________.
考点二
导数的几何意义
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较小，属中低档题.常见的命题角度有：(1)求曲线的切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围).
　导数几何意义的应用类型及求解思路
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0).
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
角度1
求曲线的切线方程
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A.y＝－2x－1
B.y＝－2x＋1
C.y＝2x－3
D.y＝2x＋1
2．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
3．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
4．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A.
B.
C.
D.
5．(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝ln
x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
6．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
7．(2017·威海质检)已知函数f(x)＝xln
x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0　　　B．x－y－1＝0　　　C．x＋y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
角度2
求切点的坐标
1．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
2．(2016·陕西五校联考)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln
x的一条切线，则m的值为(　　)
A．0
B．2
C．1
D．3
3．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)
A．(1,3)　　　　　B．(－1,3)　　　　　C．(1,3)和(－1,3)
　　　　　D．(1，－3)
4．(2019·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________，此时切线方程为________.
角度3
求参数的值(范围)
1．(2016·南宁适应性测试)已知函数f(x)＝ln
x－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为________．
2．(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－2　
B．2
C．－
D．
3．(2021·洛阳检测)函数f(x)＝ln
x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A.－1
B.
C.
D.1
4．(2021·长沙模拟)若直线y＝ax与曲线y＝ln
x－1相切，则a＝(　　)
A.e
B.1
C.
D.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
6．已知直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln
x相切于点P(1,4)，则b的值为(　　)
A．3
B．1
C．－3
D．－1
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_____.
8．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x
ln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1　
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
　已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．
考点三
求函数的单调区间
利用导数求函数的单调区间是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则难度较高，需要分类讨论.
　求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．
1．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞)
C．(－∞，0]
D．[0，＋∞)
3．函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为________．
　求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则极易出错．
4．函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(0,1)　　　　　　B．(0，＋∞)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0,2)
5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________．
6．函数f(x)＝3＋xln
x的单调递减区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
7．(2017·安徽二模)已知f(x)＝，则(　　)
A．f(2)＞f(e)＞f(3)
B．f(3)＞f(e)＞f(2)
C．f(3)＞f(2)＞f(e)
D．f(e)＞f(3)＞f(2)
考点四
函数的最值
函数的最值是高考的热点内容，考查函数最值的同时必然涉及函数单调性，还会涉及方程和不等式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中档.
1．掌握求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
1．函数f(x)＝x2－ln
x的最小值为(　　)
A．
B．1
C．0
D．不存在
2．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1
B．e
C．e2
D．
3．已知函数在上有最小值；
（1）求实数的值；
（2）求在上的最大值。
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
考点五
函数的极值
函数的极值是每年高考的必考内容，主要考查已知函数求极值或已知函数极值情况求参数值?范围?.题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.
角度1
根据函数图象判断函数极值的情况
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
(　　)
A．在(－∞，0)上为减函数
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数
D．在x＝2处取极大值
　可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图，则导函数y＝f
′(x)的图象可能为(　　)
3．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图是函数y＝f(x)的导函数f
′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)在区间(－2，1)上是增函数
B．函数y＝f(x)在区间(1，3)上是减函数
C．函数y＝f(x)在区间(4，5)上是增函数
D．函数y＝f(x)在区间(3，5)上是增函数
角度2
已知函数求极值
1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　B．－2e－3
C．5e－3
D．1
2．(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．
角度3
已知极值求参数
1．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
2．已知函数f(x)＝4ln
x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．
3．设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若f(x)在x＝1处取得极值，则a的值为________．
考点六
已知函数单调性求参数的范围（
）
已知函数的单调性求参数范围问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问.难度中档，有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档.解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解.
1．若函数y＝x3＋ax2＋bx的单调递减区间是(－1,2)，则a，b的值为(　　)
A．a＝3，b＝2
B．a＝－6，b＝－
C．a＝－3，b＝－6
D．a＝－，b＝－6
2．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______________
3．若在上是减函数，则的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
4．(2016·九江一模)已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln
x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a
的取值范围为________．
5．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________.
6．已知函数f(x)＝－2x2＋ln
x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－2e－x，其中e为自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，－1]
B.
C.
D.
考点七
判断或证明函数的单调性（
）
单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，研究函数的单调性常出现在解答题某一问中，多利用分类讨论思想．
1．已知函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
2．(2016·四川高考节选)讨论函数f(x)＝ax－a－ln
x的单调性，其中a∈R．
3．已知函数，讨论的单调性.
4．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝e(e－a)－ax.讨论f(x)的单调性．
5．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数，讨论的单调性．

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