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专题14
椭圆
重点题型
题型一、椭圆的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.注意：该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2．求椭圆方程的两种方法:
①定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
注：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
题型二、椭圆的标准方程及简单几何性质（熟记）
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
，
，
顶点
，
，
焦点
之间的大小关系
对称性
对称轴：轴，轴，对称中心：原点
离心率
，
题型三、椭圆的综合问题
1．常用结论
（1）设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
（2）已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a．
（3）焦点三角形的应用：以椭圆
上一点和焦点F1
(－c，0)，F2
(c，0)为顶点的，若，则
①；
②；
③.
2．一些解题的快速小技巧：
①与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为
②与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为或
③直线与椭圆相交与两点，其中点，则有：
；若椭圆方程为时，；
④椭圆的光学性质：从一个焦点发出的一束光线，照在椭圆上，其反射光线必经过另一个焦点，例：椭圆上一点P到椭圆内一点A和的距离之和的最小值为，最大值为。
⑤若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
⑥若在椭圆外
，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
⑦椭圆
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
⑧椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).
⑨设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
⑩过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,
A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
?若在椭圆内，则被P0所平分的中点弦的方程是
?若在椭圆内，则过P0的弦中点的轨迹方程是.
考点集训
一、单选题
1．已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，由椭圆定义知：.由余弦定理得：，即，所以.故选D.
2．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．故选A．
3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．故选C．
4．已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（
）
A．4
B．5
C．7
D．8
【答案】B
【解析】易知圆心为椭圆的右焦点，且，
由椭圆的定义知：，所以，
所以，
要求的最小值，只需求的最大值，显然三点共线时取最大值，且最大值为，所以的最小值为.故选B.
5．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选C．
二、多选题
6．已知椭圆的焦距为4，则能使椭圆的方程为的是（
）
A．离心率为
B．椭圆过点
C．
D．长轴长为3
【答案】ABC
【解析】因为椭圆的焦距为4，所以，
若离心率，则，，椭圆的方程为，故A正确；
若椭圆过点，则，所以，
椭圆的方程为，故B正确；
若，解得，椭圆的方程为，故C正确；
若椭圆长轴长为，则，故D错误，
故选：ABC.
7．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(
)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．PQ＝
D．△PF2Q的周长为4
【答案】ACD
【解析】由已知得，2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋＝1.如图．
∴PQ＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.故选ACD.
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】∵由椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，　
∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，又|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，即a≤2c，所以e≥，
所以椭圆的离心率e的取值范围是，故选BCD.
9．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1(a>0)的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切，则有(
)
A．m＝－1
B．
m＝13
C．c＝－1
D．
a＝2
【答案】AD
【解析】圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，所以m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知直钱l的方程为x＝－c，又直线l与圆M相切，所以c＝1.所以a2－3＝1，所以a＝2.故选AD.
10．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(
)
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
【答案】ABD
【解析】由题意可知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，可得a－c＝m＋R，所以A正确；
a＋c＝R＋n，所以B正确；
可得a＝＋R，c＝.则b2＝a2－c2＝2－2＝(m＋R)(n＋R)．
则b＝.所以D正确．
故选ABD.
11．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有(
)
A.＋<1
B.＋>1
C.＋<1
D．4x＋3y>1
【答案】ACD
【解析】由椭圆＋＝1，可得a＝2，b＝，c＝1.∴左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，
设A(0，)，则tan∠AF1F2＝，可得∠AF1F2＝，∴∠F1AF2＝.
∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2的交点M在椭圆的内部．∴＋＜1，A正确；B不正确；
直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，可得7y2－24y＋27＝0无解，因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，∴满足＋＜1，C正确．
∵x＋y＝1,0≤y≤1，∴4x＋3y＝4(1－y)＋3y＝4－y＞1，因此D正确．
故选ACD.
12．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（
）
A．椭圆C的离心率为
B．存在点A使得
C．若，则
D．OP与AB的斜率满足
【答案】BC
【解析】对于A，由可得，则，所以离心率为，所以A错误；
对于B，令,设，则，，若，则，解得，所以存在点A使得，所以B正确；
对于C，因为，,，所以，所以C正确；
对于D，设直线为，设，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D错误，
故选：BC
13．已知椭圆上有一点，?分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（
）
A．若，则；
B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则；
D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
【答案】ABC
【解析】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
三、填空题
14．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______；焦距为_____．
【答案】；
.
【解析】因为焦点在轴上的椭圆的离心率为，
所以，，
所以，
，解得；
，
所以焦距为.
故答案为：①；②.
15．已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
【答案】
【解析】由可得
，圆心,半径，
动圆与定圆内切，且过
，
.
动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆.
设椭圆方程为，则.
椭圆的方程为.故答案为：
16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
17．椭圆：（）的左右焦点分别为，，过的直线与过的直线相交于点，点在椭圆上，是等腰三角形，且，则________．
【答案】
【解析】因是等腰三角形，且，则，，
由椭圆定义知，即，
所以.故答案为：
18．已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】根据题意，把代入中，得，不妨设，且，
则到直线的距离为，由，得，
则，平方计算得.故答案为：.
19．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】
【解析】如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以,
由，所以，，于是，即，所以．
故答案为：；．
四、解答题
20．已知动点M到定点和定直线的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）经过点F的直线交曲线C于P，Q两点，点，求面积最大值.
【解析】（1）设M(x,y)，
动点M到定点和定直线的距离之比为，
，
化简可得，，
曲线C的方程为
（2）设过点F的直线方程为，，
由可得，
，
，
，
，
令，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
此时，，即，
所以面积最大值为.
21．己知椭圆，，分别为椭圆的左?右焦点，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点.
（1）若，求的面积；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，，求直线的方程.
【解析】（1）由题意，解得，，
又，所以，
即，
所以；
（2）直线斜率为1，设直线方程，，，
由，消元得，得
又，知，即
而
所以，，得，均满足，
所以直线的方程或.
22．椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点．
【解析】（1）由题意得，①
又，得，②
由①②得，．
又，
所以椭圆的方程为．
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，
则，，所以，
解得．
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，得．
设，，则，，
则，
即，
依题可知，所以，代入直线方程，得，
即，联立方程组，
综上所述可知直线恒过定点．
23．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【解析】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
24．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
25．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，，且.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）点为椭圆C长轴上的一个动点，过点Р且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：为定值.
【解析】（1）解：由题意得解得
故椭圆C的标准方程为.
（2）证明：设的方程为，，.
联立方程组消去得，
所以，.
所以，
同理，
所以，
即为定值.
26．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
27．已知椭圆的左?右焦点分别为，点在椭圆C上，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C上的两点P，Q关于原点O对称，点R在椭圆C上，且直线PR与圆2相切，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由点在椭圆C上，可得，
又由，解得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线PR的斜率不存在时，可得直线PR的方程为或，
若直线RP：，直线，
可得，则，
所以，即，
若直线RP：时，由对称性，同理可得.
②当直线PR斜率存在时，
设直线PR的方程为，因为直线PR与圆O：相切，
所以圆心O到直线PR的距离为，即，
设，则，
联立，整理得，
则，且，
所以，
因为，
，
所以.
所以.
综上所述，的值为定值1.
28．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；
（2）已知直线与圆交于?两点，与曲线交于?两点，其中?在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆.
由椭圆的定义可知，，，又因为所以，
故的轨迹方程.
（2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足：
由
消去得：，恒成立.
设，，由韦达定理，
得，
.
所以，到距离，，
当且仅当，即时等号成立.
验证可知满足题意.
，.
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专题14
椭圆
重点题型
题型一、椭圆的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.注意：该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2．求椭圆方程的两种方法:
①定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
②待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
注：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
题型二、椭圆的标准方程及简单几何性质（熟记）
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
，
，
顶点
，
，
焦点
之间的大小关系
对称性
对称轴：轴，轴，对称中心：原点
离心率
，
题型三、椭圆的综合问题
1．常用结论
（1）设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
（2）已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a．
（3）焦点三角形的应用：以椭圆
上一点和焦点F1
(－c，0)，F2
(c，0)为顶点的，若，则
①；
②；
③.
2．一些解题的快速小技巧：
①与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为
②与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为或
③直线与椭圆相交与两点，其中点，则有：
；若椭圆方程为时，；
④椭圆的光学性质：从一个焦点发出的一束光线，照在椭圆上，其反射光线必经过另一个焦点，例：椭圆上一点P到椭圆内一点A和的距离之和的最小值为，最大值为。
⑤若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
⑥若在椭圆外
，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
⑦椭圆
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
⑧椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).
⑨设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
⑩过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,
A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
?若在椭圆内，则被P0所平分的中点弦的方程是
?若在椭圆内，则过P0的弦中点的轨迹方程是.
考点集训
一、单选题
1．已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．2
3．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
4．已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，点在圆：上，则的最小值为（
）
A．4
B．5
C．7
D．8
5．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．已知椭圆的焦距为4，则能使椭圆的方程为的是（
）
A．离心率为
B．椭圆过点
C．
D．长轴长为3
7．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(
)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．PQ＝
D．△PF2Q的周长为4
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是(
)
A.
B.
C.
D.
9．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1(a>0)的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切，则有(
)
A．m＝－1
B．
m＝13
C．c＝－1
D．
a＝2
10．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(
)
A．a－c＝m＋R
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
11．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有(
)
A.＋<1
B.＋>1
C.＋<1
D．4x＋3y>1
12．已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（
）
A．椭圆C的离心率为
B．存在点A使得
C．若，则
D．OP与AB的斜率满足
13．已知椭圆上有一点，?分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（
）
A．若，则；
B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则；
D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
三、填空题
14．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______；焦距为_____．
15．已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．
16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
17．椭圆：（）的左右焦点分别为，，过的直线与过的直线相交于点，点在椭圆上，是等腰三角形，且，则________．
18．已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为_______.
19．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
四、解答题
20．已知动点M到定点和定直线的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）经过点F的直线交曲线C于P，Q两点，点，求面积最大值.
21．己知椭圆，，分别为椭圆的左?右焦点，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点.
（1）若，求的面积；
（2）斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，，求直线的方程.
22．椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上运动，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为，的两条直线分别交椭圆于点，，且，证明：直线恒过定点．
23．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
24．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
25．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，，且.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）点为椭圆C长轴上的一个动点，过点Р且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：为定值.
26．已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
27．已知椭圆的左?右焦点分别为，点在椭圆C上，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C上的两点P，Q关于原点O对称，点R在椭圆C上，且直线PR与圆2相切，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
28．在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.
（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；
（2）已知直线与圆交于?两点，与曲线交于?两点，其中?在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.
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