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专题二
函数和导数
04
幂函数与二次函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
幂函数主要考查其图象和性质，一般以小题形式出现，难度不大.高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.
1.了解幂函数的概念.掌握幂函数的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
3.能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决.
数学抽象：1.能借助函数图象理解函数在某区间上的单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念.
2.能从教材实例中抽象出幂函数的概念，会用待定系数法求幂函数的解析式.
逻辑推理：1.能用定义判断幂函数的单调性和奇偶性.
2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
直观想象：1.能运用函数图象理解和研究函数的单调性.
2.理解函数的最大值、最小值的几何意义.
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：_______.
(2)顶点式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中_______为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
值域
对称性
顶点坐标
奇偶性
单调性
最值
4．常用结论
(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.
(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1?x2|=.
(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
考点一
求二次函数的解析式
(开放性试题)(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)
(2)（2021·全国高一专题练习）已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.
【规律方法】
求二次函数解析式的方法
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：
【跟踪练习】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【母题变式】若本例条件变为：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足(1)不等式f(x)＋2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，(2)方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，则函数f(x)的解析式为________．
考点二
二次函数的图象与性质
考法1
二次函数的单调性
（1）（2020·全国高三专题练习（文））如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·河北高二期中）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
二次函数的最值
（1）（2020·全国高三其他模拟（文））函数在上的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021江苏省南通市高三上学期月考）若,使得不等式成立,则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
考法3
二次函数中的恒成立问题
（1）已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
（2）（2021·乾安县第七中学高二月考（文））已知二次函数满足，若在区间上恒成立，则实数的范围是（
）
A．m<-5
B．m>-5
C．m<11
D．m>11
【规律方法】
1．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)【跟踪练习】(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________；
（2）（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））函数在上递增，则a的取值范围是__________．
（3）（2021·韩城市象山中学高二期中（文））函数，满足条件和.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，当时，求函数的最小值.
考点三
幂函数的图象和性质
考法1
幂函数的图象
(2021·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.
【规律方法】
求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内函数的图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.
【跟踪练习】（2021·上海高一专题练习）函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
比较幂的大小
（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
【跟踪练习】（2021·山东济南市·）已知，若，则下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
考法3
已知单调性求参数
（2021·吉林延边二中高二期末（文））若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为（
）
A．0
B．或
C．1
D．2
【规律方法】
求幂函数解析式时，一定要注意符合三个条件，即（1）的系数为1；（2）的底数是自变量；（3）指数式常数，同时函数的单调性由幂指数的正负决定.当时，幂函数的图象在区间上都是增函数；当时，幂函数的图象在区间上都是减函数.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
（2）（2021·山西省长治市第二中学校高二期末（文））已知幂函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若正数满足，求的最小值.
考法4
解不等式
（2020·全国高三其他模拟（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：
确定可以利用的幂函数；
借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪练习】（2021·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
1.（2021·河北高二期中）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2021·重庆复旦中学高一开学考试）已知函数，当时，函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·安徽省泗县第一中学高三开学考试（文））若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国高一课前预习）函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
5.（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（
）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
7．（2021·山东高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（
）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
8．（2021·湖南高考真题）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·福建福州市·福州三中高一开学考试）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·全国高一专题练习）已知函数，关于的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（
）
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上有最小值2，最大值5
D．当时在区间上的最小值为；当时在区间上的最小值为1
11．（2012·江苏高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
12．（2021·全国高一专题练习）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．
13.（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知函数，在区间上不单调，则实数的取值范围是___________．
14.（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
15．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
16．（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为______
17．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知，设函数，则______．
18．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考）已知函数，（，）的图象过点，且对，恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.
19.（2021·全国高一课时练习）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
20.（2021·全国）若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
21.（2021·全国高一单元测试）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
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专题二
函数和导数
04
幂函数与二次函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
幂函数主要考查其图象和性质，一般以小题形式出现，难度不大.高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.
1.了解幂函数的概念.掌握幂函数的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
3.能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决.
数学抽象：1.能借助函数图象理解函数在某区间上的单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念.
2.能从教材实例中抽象出幂函数的概念，会用待定系数法求幂函数的解析式.
逻辑推理：1.能用定义判断幂函数的单调性和奇偶性.
2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
直观想象：1.能运用函数图象理解和研究函数的单调性.
2.理解函数的最大值、最小值的几何意义.
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
4．常用结论
(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.
(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1?x2|=.
(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
考点一
求二次函数的解析式
(开放性试题)(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)
答案　f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析：　由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)（2021·全国高一专题练习）已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.
答案
解析：∵是偶函数，有，
∴关于对称，即，故，又图像经过点，
∴，可得.故.
故答案为：
【规律方法】
求二次函数解析式的方法
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：
【跟踪练习】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解析：解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，所以＝8，解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【母题变式】若本例条件变为：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足(1)不等式f(x)＋2x＞0的解集为{x|1＜x＜3}，(2)方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实数根，则函数f(x)的解析式为________．
解析：因为f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.由于a＜0，舍去a＝1.所以f(x)＝－x2－x－.
答案：f(x)＝－x2－x－
考点二
二次函数的图象与性质
考法1
二次函数的单调性
（1）（2020·全国高三专题练习（文））如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是.
故选：D.
（2）（2021·河北高二期中）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由题意对任意，且，即为，所以函数在单调递增，
当时，显然单调递减，不满足题意，
当时，函数为二次函数，
故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，
即，解得.
故选：C.
考法2
二次函数的最值
（1）（2020·全国高三其他模拟（文））函数在上的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：函数的对称轴为，由于二次函数的开口向上，
故函数在处取到最小值，最大值为，故所求值域为.
故选：D
（2）（2021江苏省南通市高三上学期月考）若,使得不等式成立,则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：因为,使得不等式成立,所以,使得不等式成立,令,,因为对称轴为,,所以,所以.
故选：C
考法3
二次函数中的恒成立问题
（1）已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)
解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
（2）（2021·乾安县第七中学高二月考（文））已知二次函数满足，若在区间上恒成立，则实数的范围是（
）
A．m<-5
B．m>-5
C．m<11
D．m>11
答案
A
解析：令，则，所以，
则，因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，令，所以，所以，
故选：A
【规律方法】
1．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)【跟踪练习】(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________；
解析：作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有即
解得－＜m＜0.
答案：
（2）（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））函数在上递增，则a的取值范围是__________．
答案
解析：根据题意得;函数在上递增，
①
时，满足题意；
②
时，解得；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
（3）（2021·韩城市象山中学高二期中（文））函数，满足条件和.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，当时，求函数的最小值.
答案（1）；（2）.
解析：（1）因为，，
所以，，解得，所以，；
（2），
二次函数图象的对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在上单调递增，故；
②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
考点三
幂函数的图象和性质
考法1
幂函数的图象
(2021·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________.
答案　2
解析：　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2．
【规律方法】
求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内函数的图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.
【跟踪练习】（2021·上海高一专题练习）函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；该函数是幂函数，，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.
故选：A.
考法2
比较幂的大小
（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在单调递增；由于；由于；
综上：
故选：A
【规律方法】
利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
【跟踪练习】（2021·山东济南市·）已知，若，则下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：函数单调递增，且，
，
故选：C.
考法3
已知单调性求参数
（2021·吉林延边二中高二期末（文））若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为（
）
A．0
B．或
C．1
D．2
答案
C
解析：由于函数为幂函数，
所以，解得或，
时，，在上递减，符合题意.
时，，在上递增，不符合题意.
故选：C
【规律方法】
求幂函数解析式时，一定要注意符合三个条件，即（1）的系数为1；（2）的底数是自变量；（3）指数式常数，同时函数的单调性由幂指数的正负决定.当时，幂函数的图象在区间上都是增函数；当时，幂函数的图象在区间上都是减函数.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在区间内是减函数，则的解析式为________．
答案
解析：因幂函数在区间内是减函数，
则有，解得，而，于是得，
又的图象关于y轴对称，则函数为偶函数，即幂指数为偶数，
而或时是奇数，时为偶数，
所以，的解析式为.
故答案为：
（2）（2021·山西省长治市第二中学校高二期末（文））已知幂函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若正数满足，求的最小值.
答案（1）；（2）.
解析：（1）由题意，幂函数，
可得，解得，
又因为在上单调递增，故，解得，
因为，所以或，
又因为为偶函数，可得，即.
（2）由（1）知，可得，即，
所以，
当且仅当时，即，即，时等号成立，
所以所求最小值为.
考法4
解不等式
（2020·全国高三其他模拟（理））已知是幂函数，且、，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：因为是幂函数，所以，解得或.
又因为、，都有，
可设，则，所以，函数是单调递增函数，
当时，，该函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，该函数在上为增函数.所以等价于，所以，解得.
故答案为：.
【规律方法】
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：
确定可以利用的幂函数；
借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪练习】（2021·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
答案（1）；（2）.
解析：（1）∵，∴，∵，
∴，即或2，
∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．
(2)∵
∴，，，
∴，即的取值范围为
1.（2021·河北高二期中）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：函数的定义域为，且，所以为偶函数.
又当时,
是增函数，
任取，且，
，，
所以在上是增函数，即在上是增函数.
所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立
①若在上恒成立，则，解得；
②若在上恒成立，，则，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
2.（2021·重庆复旦中学高一开学考试）已知函数，当时，函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：
当，可得，二次函数的对称轴为，
，由，，若要，函数的最大值为，最小值为，
结合图像可得：.
故选：A
3．（2021·安徽省泗县第一中学高三开学考试（文））若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：C
4．（2021·全国高一课前预习）函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
5.（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：当时，
，A选项错误，
，B选项错误，
，D选项错误，
对于C选项，由于在上递增，所以，C选项正确.
故选：C
6.（2021·全国高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（
）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
答案
A
解析：∵函数是幂函数，
∴，解得：m=
-2或m=3．∵对任意，，且，满足，∴函数为增函数，∴，∴m=3（m=
-2舍去）
∴为增函数．对任意，，且，则，∴
∴．
故选：A
7．（2021·山东高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（
）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
答案
C
解析：，最大值是1，A正确；
对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；
令的，故在函数图象上，故D正确，
故选：C
8．（2021·湖南高考真题）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：函数的对称轴为，开口向上，所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
9．（2021·福建福州市·福州三中高一开学考试）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
AC
解析：二次函数图象的对称轴为直线.
①当时，即当时，当时，随着的增大而减小，
当时，取得最大值，即，解得，合乎题意；
②当时，即当时，当时，取得最大值，
即，即，解得或（舍）；
③当时，即当时，当时，随着的增大而增大，
当时，取得最大值，即，解得（舍）.
综上所述，或.
故选：AC.
10．（2021·全国高一专题练习）已知函数，关于的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（
）
A．在区间上的最小值为1
B．在区间上既有最小值，又有最大值
C．在区间上有最小值2，最大值5
D．当时在区间上的最小值为；当时在区间上的最小值为1
答案
BCD
解析：函数的图象开口向上，对称轴为直线.
对于A选项，因为在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为，所以错误；
对于B选项，因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为，
又因为，所以在区间上的最大值为，所以此选项正确；
对于C选项，因为在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，最大值为，所以正确；
对于D选项，当时，在区间上单调递减，所以的最小值为，
当时，因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最小值为，所以正确.
故选：BCD
11．（2012·江苏高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．
答案
9
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
12．（2021·全国高一专题练习）已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．
答案
解析：为二次函数，可设，，
因为，
即，，解得，，令，则，函数即为．的图象开口向上，图象的对称轴为直线，在上单调递增，，即的最小值为．
故答案为：．
13.（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）已知函数，在区间上不单调，则实数的取值范围是___________．
答案
解析：函数对称轴为，
因为函数在区间上不单调，所以，
解得，所以实数的取值范围是，
故答案为：
14.（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.
答案
4
解析：为递增的幂函数，所以，即，
解得：，
故答案为：4
15．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________．
答案
解析：设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
16．（2021·全国高一课时练习）不等式的解集为______
答案
解析：因为幂函数在上为增函数，，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
17．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知，设函数，则______．
答案
5
解析：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，
，
设，，
则，在[0，1]上为增函数，
∴当即时，，
当即时，，
∴．
故答案为：5．
18．（2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考）已知函数，（，）的图象过点，且对，恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.
答案（1）；（2）最小值为.
解析：（1）因为为二次函数，且，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
（2）令，
由，则，
不等式，即，
可得在上恒成立，
由勾形函数性质知函数在时取到最小值，
所以，
故的取值范围是，
所以实数的最小值为.
19.（2021·全国高一课时练习）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
答案（1）；（2）；（3）2．
解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
20.（2021·全国）若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
答案（1）；（2）或.
解析：（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
21.（2021·全国高一单元测试）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
答案（1）；（2）.
解析：（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，
所以，解得，
由，。
又函数的图像关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数的取值范围是.
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