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专题二
函数和导数
06
函数与方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
高考对函数零点个数或方程解的个数或解得和的问题的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中，难度为中档题或难题.此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
数学抽象：通过具体方程与其对应函数的关系，理解函数的零点概念.
逻辑推理：1.探究方程的根与函数的零点的关系.
2.通过观察图象，发现并掌握函数存在零点的判断方法，在探究的过程中体会化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值.
一、函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的_______称为这个函数的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与_______有交点?函数y＝f(x)有______．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间_______内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
零点个数
常用结论
(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
考点一
判断函数零点所在区间
(1)（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（
）
A．
B．
C．
D．
（2）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)
【规律方法】
判断函数零点所在区间的方法
1．解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
2．定理法：利用零点存在性定理进行判断．
3．图象法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
【跟踪练习】【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
考点二
判断函数零点的个数
(1)函数的零点个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
（2）（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【规律方法】
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
【跟踪练习】（1）（2020·开原市第二高级中学高三）函数，的零点个数是（
）.
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
考点三
二次函数零点分布
（1）（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．（2，＋∞）
D．（0，2）
（2）（2021·全国）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
考点四
函数零点的应用
考法1
根据零点个数求参数
（1）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（
）
A．2
B．
C．0
D．1
（2）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
考法2
已知函数在某区间上有（无）零点求参数
（1）（2021·全国高三其他模拟）已知函数的零点，则整数的值为（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
（2）（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在上有唯一零点，若，，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【规律方法】
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
【跟踪练习】（1）（2021·全国）若函数不存在零点，则的取值范围是______．
（2）（2021·山东青岛市·高二期末）设偶函数是定义在上的周期为2的函数，当时，．记函数的零点个数为，若在上有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为______．
1.（2021北京高考，13）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
2.（2021天津高考，9）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2020年高考天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4.（2021·福建高一期末）函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
5.（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）如图是函数的大致图象，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6.（2021·江西上饶·高三二模（文））已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2021·全国高一课时练习）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（
）
A．14
B．13
C．12
D．11
8.（2021·衡水第一中学高三月考）已知函数且函数，则下列选项正确的是（
）
A．点（0，0）是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
9.（2021·大名县第一中学高二月考）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.
10.（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（
）
A．
B．
C．
D．
11.（2021·全国高三其他模拟（文））函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（
）
A．
B．
C．
D．
12.（2021·赤峰二中高三三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
13．（2022·全国高三专题练习）若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14.（2020·铜山启星中学高一月考）已知二次函数的零点为和，求关于的不等式的解集.
15.（2021·云南高一期末）已知函数且，
（1）求实数的值；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围.
16．（2021·四川南充市·高一期末）已知函数．
（1）若有一个零点为，求a；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．
17．（2020·江苏省板浦高级中学高一期中）已知二次函数，
（1）若1是的一个零点，求实数的值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
18.（2022·上海）已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
19．（2020·上海高三一模）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．
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专题二
函数和导数
06
函数与方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
高考对函数零点个数或方程解的个数或解得和的问题的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中，难度为中档题或难题.此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
数学抽象：通过具体方程与其对应函数的关系，理解函数的零点概念.
逻辑推理：1.探究方程的根与函数的零点的关系.
2.通过观察图象，发现并掌握函数存在零点的判断方法，在探究的过程中体会化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值.
一、函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
常用结论
(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
考点一
判断函数零点所在区间
(1)（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.
故选：C
（2）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)
解析：选A.∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
故选A.
【规律方法】
判断函数零点所在区间的方法
1．解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
2．定理法：利用零点存在性定理进行判断．
3．图象法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
【跟踪练习】【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
ABD
解析：，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数，
，
A项：，，
因为，所以函数在内存在零点，A正确；
B项：，，
因为，，所以函数在内存在零点，B正确；
C项：，，，因为，所以函数在内不存在零点，C错误；
D项：，，，则函数在内存在零点，D正确，
故选：ABD.
考点二
判断函数零点的个数
(1)函数的零点个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案
B
解析：要使函数有意义，则，即或，由或，
则函数的零点个数为2.
故选B．
（2）（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
答案
D
解析：要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【规律方法】
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
【跟踪练习】（1）（2020·开原市第二高级中学高三）函数，的零点个数是（
）.
A．0
B．1
C．2
D．3
答案
A
解析：由于，，因此不存在使得，
因此函数没有零点.
故选：A.
（2）（2021·福建高三二模）已知函数则函数的所有零点之和为___________.
答案
解析：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
考点三
二次函数零点分布
（1）（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．（2，＋∞）
D．（0，2）
答案
B
解析：因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
（2）（2021·全国）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
答案C
解析：依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，
由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，
而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，
因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，
所以实数的值是.
故选：C
考点四
函数零点的应用
考法1
根据零点个数求参数
（1）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（
）
A．2
B．
C．0
D．1
答案
ABC
解析：∵只有一个零点，∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，
结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.
综合得：或.
故选：ABC.
（2）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
答案
B
解析：作出函数的图象如下图所示，令，即，
所以要使函数有且只有两个不同的零点，则需函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围为，
故选：B.
考法2
已知函数在某区间上有（无）零点求参数
（1）（2021·全国高三其他模拟）已知函数的零点，则整数的值为（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
答案
C
解析：因为，，且函数在上单调递增，则存在唯一的零点，所以，故选C．
（2）（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在上有唯一零点，若，，则（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
答案
B
解析：因，，则，
时，恒有，在上单调递增，，在上无零点，
时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，
，
因函数在上有唯一零点，则，即，
令，则，在单调递减，而，
于是得的零点，所以.
故选：B
【规律方法】
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
【跟踪练习】（1）（2021·全国）若函数不存在零点，则的取值范围是______．
答案
解析：因为函数不存在零点，
即方程没有实数根，
即函数与没有交点，
由，，将两边同时平方可得，
且
，即函数的值域为，所以
故答案为：
（2）（2021·山东青岛市·高二期末）设偶函数是定义在上的周期为2的函数，当时，．记函数的零点个数为，若在上有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为______．
答案
解析：令，可得，作出与图象，如图所示：
所以函数的零点个数，
因为在有且仅有3个不同零点，
令，可得，即图象与图象有且仅有3个不同交点，
分析可得为单调递增函数，
作出图象与图象，如图所示：
有图象可得，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
1.（2021北京高考，13）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
答案
①②④
解析：对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
2.（2021天津高考，9）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
3.（2020年高考天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，
令，即与的图象有个不同交点.因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．
4.（2021·福建高一期末）函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：当时，令，即，所以；
当时，令，即，，不在定义域区间内，舍
所以函数零点所在的区间为
故选：D
5.（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）如图是函数的大致图象，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由图可得：，代入函数表达式得：，解得：，所以：，，由图可得，是函数的两个极值点，令，则或，根据韦达定理得：
，
所以
故选：C
6.（2021·江西上饶·高三二模（文））已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由题意，恰有3个正整数解，转换为的图象与的图象交点问题，
作出和的图象，如图：
要使恰有3个正整数解，
则需满足：，
解得：，
故选：B．
7.（2021·全国高一课时练习）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（
）
A．14
B．13
C．12
D．11
答案
C
解析：因为，所以函数是周期为2函数，
因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数的图象，容易得出到交点为12个．
故选：C．
8.（2021·衡水第一中学高三月考）已知函数且函数，则下列选项正确的是（
）
A．点（0，0）是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
答案
BCD
解析：对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A说法错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，．
当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，．综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；
所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根?关于的方程有两个不相等的实数根?关于的方程有一个非零的实数根?函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
0
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：
1
2
0
+
e
↘
极小值
↗
极小值．
综上可得，或，解得的取值范围是，故D正确．
故选BCD．
9.（2021·大名县第一中学高二月考）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，则函数在区间上零点的个数为__________个.
答案
6
解析：由题设，易知时，有，
，故在无零点，同理在也无零点.
∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，
∴在平面直角坐标系，、在上如图所示：
又，故、在上的图象共有5个不同交点，
下证：当，有且只有一个零点.
此时，而，故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
综上，、在上的图象共有6个不同交点，即在有6个不同的零点，
故答案为：6.
10.（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：因为对任意，都有，且，
所以在上单调递增，且；
因为恒成立，所以，解得，
所以的零点为，
故选：B.
11.（2021·全国高三其他模拟（文））函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：设，是上的增函数，在和上都是减函数，
，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，
，，所以在上有零点．
所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为
故选：B．
12.（2021·赤峰二中高三三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案
C
解析：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.
可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：
当x=1时，
观察图象可得：它们有2个交点.
故选：C.
13．（2022·全国高三专题练习）若关于的不等式有且只有两个整数解，则正实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：原不等式可化简为，设，，
由得，，易知函数在单调递减，在单调递增，
作出的图象如下图所示，
而函数恒过点，要使关于的不等式有且只有两个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
14.（2020·铜山启星中学高一月考）已知二次函数的零点为和，求关于的不等式的解集.
答案
解析：由题意，二次函数的零点为和，
即和是方程的两个实数根，
所以不等式，可化为，解得或，
即不等式的解集为.
15.（2021·云南高一期末）已知函数且，
（1）求实数的值；
（2）若函数有零点，求实数的取值范围.
答案（1）；（2）
【分析】
（1）由即可得的值；
（2）令可得有实根，当时显然不成立，所以有实根，由，可得，即可求解.
【详解】
（1）由题意可得，可得；
（2）由可得，
因为函数有零点，所以有实根，
所以即有实根，
当时显然不成立，
所以有实根，
因为，所以，即，
可得或，
所以实数的取值范围为.
16．（2021·四川南充市·高一期末）已知函数．
（1）若有一个零点为，求a；
（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．
答案（1）；（2）．
【分析】
（1）由题意可得，从而可求出的值；
（2）由于当时，恒成立，等价于当时，恒成立，所以只要，从而可求出a的取值范围
【详解】
解：（1）因为有一零点，
所以，
所以．
（2）因为当时，恒成立，
需，即，
解得，
所以的取值范围是．
17．（2020·江苏省板浦高级中学高一期中）已知二次函数，
（1）若1是的一个零点，求实数的值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
答案（1）；（2）.
【分析】
（1）把1直接代入即可求解；
（2）根据对恒成立，列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】
（1）因为1是的一个零点，
所以，解得：.
（2）对于二次函数二次函数，
因为对恒成立，
只需满足，
解得：，
所以实数的取值范围是.
18.（2022·上海）已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
答案（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围．
【详解】
（1）∵函数的定义域为，
又∵
∴①当时，即时，可得
即当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
即当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
即时，
由题可得，
令，则有
∵
∴，
又∵，当且仅当时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上可得
19．（2020·上海高三一模）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．
答案（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据得出，然后将不等式转化整理为，通过计算即可得出结果；
（2）本题可将当时函数存在零点转化为当时方程有解，然后令，求出当时函数的值域，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，，
不等式，即，
整理得，，，，解得或，
故原不等式的解集为.
（2）当时，函数存在零点，
即当时，方程有解，
即当时，方程有解，
令，
当时，函数的值域为，
故实数的取值范围为.
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