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专题二
函数和导数
07
导数的概念及运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
导数的计算是导数模块知识掌握的基础，必须熟练掌握，高考中特别是对导数的几何意义的考查常会单独命题，具体要求如下：
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出导数的概念.
2.能从教材探究中理解导数的运算性质.
数学运算：1.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.
2.能掌握复合函数的求导法则，能利用导数的几何意义解决求切线方程、切点坐标、参数的范围等问题.
一、导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′即f′x0＝.
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
二、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
三、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q
)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cosx
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
四、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
五、复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.′＝－.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
考点一
导数的计算
（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
答案（1）；（2）；（3）．
解析：（1）∵，
∴．
（2）
．
（3）．
【规律方法】
导数计算的技巧
求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.
复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时刻换元.
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
答案（1）；（2）；（3）；（4）．
解析：（1）方法一：∵，
∴．
方法二：由导数的乘法法则得
（2）根据题意把函数的解析式整理变形可得
，
∴．
（3）根据求导数法则可得
．
（4）根据题意，利用求导的除法法则可得
．
考点二
导数的几何意义
考法1
求切线方程
（1）（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析：因为f
(x)＝x4－2x3，所以f
′(x)＝4x3－6x2，f
(1)＝－1.所以f
′(1)＝－2.
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
（2）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：因为，所以，，所求切线的斜率，
因此，所求切线的方程为，整理得．
故选：C．
考法2
求切点坐标
（1）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
答案
D
解析：切线的斜率，
设切点的坐标为，则．
又∵，∴，解得或，
∴切点的坐标为或．
故选：D
（2）（2021·全国高二课时练习）曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由已知得：，切线的斜率．
设切点为，则，可得，又，
∴切点为.
故选：A．
考法3
切线的条数问题
（1）（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
答案
C
解析：设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴
方程有两个不同的解，
∴
曲线过点的切线有两条，
故选：C.
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.
答案
2
解析：∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，
设切点为（），
由，可得，
则切线的斜率，
∴，
解得或，故切线有2条.
故答案为：2
考法4
求参数的值（范围）
（1）（2021·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：
，
将代入得，故选D．
（2）（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（
）
A．
B．3
C．
D．
答案
AC
解析：由题可知，，
则，可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，
则，即，
解得：，
的取值可能为，.
故选：AC.
（3）（2021·全国高二课时练习）已知直线是曲线（）的一条切线，则实数______．
答案
解析：设切点坐标为，则．
∵，∴．
由题意，∴，．
由，得．
故答案为：.
【规律方法】
1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f?x?在点P?x0，f?x0??处的切线方程是y－f?x0?＝f′?x0??x－x0?；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【跟踪练习】（1）（2021·四平市第一高级中学高三月考（理））曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：∵
∴，
∴
，由导数几何意义可得函数在点处的切线的斜率为6，由点斜式可得函数在点处的切线方程为，
故选：D.
（2）（2021·全国高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．4
B．
C．28
D．
答案
C
解析：∵，
∴曲线在点处的切线斜率．
∴切线方程为，即．
∴，，.
故选：C
（3）（2021·东莞市光明中学高二月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
答案
C
解析：由题意可知：函数的导函数为
过P点的切线与直线平行
，解得
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即.
所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）
故选:C
（4）（2021·广东高三月考）过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
答案
解析：由，若切点为，则，
∴切线方程为，又在切线上，
∴，即在上有两个不同解，
令，即原问题转化为与有两个交点，而，
1、当时，，递增，且，
2、当时，，递增；当时，，递减；
∴，又，时且，
∴要使在上有两个不同解，即.
故答案为：
1.（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
答案
解析：由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
2.（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
3.（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
答案
（答案不唯一，均满足）
解析：取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
答案
1
解析：由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
答案
y＝3x
解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
答案
(e,1)
解析：设A(m，n)，由y＝ln
x，得y′＝，∴y′|x＝m＝，
则曲线y＝ln
x在点A处的切线方程y－n＝(x－m)．∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝(m＋e)．又n＝ln
m，解得m＝e，n＝1.
∴点A的坐标为(e,1)．
(2020·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
答案
－3
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
(2020·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0　　　　
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
答案
C
解析：设y＝f(x)＝2sin
x＋cos
x，则f′(x)＝2cos
x－sin
x，∴f′(π)＝－2，
∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
(2020·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
答案
D
解析：∵y′＝aex＋ln
x＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.
10.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
ACD
解析：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选ACD．
11.（2017·黑龙江大庆·高三二模（文））曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____
．
答案
解析：曲线,有,,所以，
曲线在点处的切线为:,
令，可得，
令，可得，
所以切线为与坐标轴围成的三角形面积为.
12.（2021·全国高二课时练习）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（
）
A．4
B．
C．2
D．
答案
A
解析：因为，所以．又曲线在点处的切线方程为，所以，所以，即曲线在点处的切线的斜率为4．
（2021·江苏高二期中）曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．0
B．-1
C．1
D．
答案
A
解析：由图可知，，又切线过，故切线方程为：，当时，，故
故选：A
14.（2021·全国高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．4
B．
C．28
D．
答案
C
解析：∵，∴曲线在点处的切线斜率．
∴切线方程为，即．
∴，，.
故选：C
15.（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
答案
C
解析：设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴
方程有两个不同的解，
∴
曲线过点的切线有两条，
故选：C.
16.（2021·全国高三模拟预测）己知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由题知，设切点为，则切线方程为．将代入可得，故与（）相切时，
,，故由两函数的图象有两个不同交点可得，即，
故选:A．
17．（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
答案
D
解析：切线的斜率，
设切点的坐标为，则．
又∵，∴，解得或，
∴切点的坐标为或．
故选：D
18.（2021·全国高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（
）
A．2
B．
C．3
D．
答案
A
解析：由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
19.（2021·全国高二课时练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.
答案
2
解析：∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，
设切点为（），
由，可得，
则切线的斜率，
∴，
解得或，故切线有2条.
故答案为：2
20.（2021·韩城市西庄中学高二期中（理））已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
答案（1），；（2）或．
【分析】
(1)由已知可得，，列方程求a，b，(2)设设曲线与过点的切线相切于点，，则与直线PA的斜率相等，由此可求切点坐标，并求出对应的切线方程.
解析：（1）的导数为，
由曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得，即，
又（1），解得，
即有，；
（2）曲线，即，
导数，
设曲线与过点的切线相切于点，，
则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为点在切线上，
所以，
即，
即有，
所以，
解得或，
故所求的切线方程为或．
21.（2021·重庆市万州高级中学）已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线方程.
答案（1），（2）
【分析】
（1）先对函数求导，然后由可求出的值，从而可求出函数的解析式，
（2）利用导数的几何意义求解，先求导数，然后求的值，可得切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程
【详解】
解：（1）由，得，
因为，所以，得，
所以，
（2）由，得，
则切线的斜率，
因为，
所以切点坐标为，
所以所求和切线方程为.
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专题二
函数和导数
07
导数的概念及运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
导数的计算是导数模块知识掌握的基础，必须熟练掌握，高考中特别是对导数的几何意义的考查常会单独命题，具体要求如下：
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出导数的概念.
2.能从教材探究中理解导数的运算性质.
数学运算：1.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.
2.能掌握复合函数的求导法则，能利用导数的几何意义解决求切线方程、切点坐标、参数的范围等问题.
一、导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′即f′x0＝.
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
二、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点________处的________．相应地，切线方程为________．
三、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xn(n∈Q
)
f(x)＝sin
x
f(x)＝cos
x
f(x)＝ax
f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln
x
四、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝________；
(3)′＝________(g(x)≠0)．
五、复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．
【常用结论】
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.′＝－.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
考点一
导数的计算
（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）．
【规律方法】
导数计算的技巧
求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.
复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时刻换元.
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
考点二
导数的几何意义
考法1
求切线方程
（1）（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
求切点坐标
（1）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
（2）（2021·全国高二课时练习）曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
考法3
切线的条数问题
（1）（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.
考法4
求参数的值（范围）
（1）（2021·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（
）
A．
B．3
C．
D．
（3）（2021·全国高二课时练习）已知直线是曲线（）的一条切线，则实数______．
【规律方法】
1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f?x?在点P?x0，f?x0??处的切线方程是y－f?x0?＝f′?x0??x－x0?；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【跟踪练习】（1）（2021·四平市第一高级中学高三月考（理））曲线在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：∵
∴，
∴
，由导数几何意义可得函数在点处的切线的斜率为6，由点斜式可得函数在点处的切线方程为，
故选：D.
（2）（2021·全国高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．4
B．
C．28
D．
（3）（2021·东莞市光明中学高二月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
（4）（2021·广东高三月考）过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
1.（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
2.（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2021·全国高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．
①；②当时，；③是奇函数．
4.（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．
(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln
x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
(2020·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
(2020·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0　　　　
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
(2020·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
10.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
11.（2017·黑龙江大庆·高三二模（文））曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____
．
12.（2021·全国高二课时练习）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（
）
A．4
B．
C．2
D．
（2021·江苏高二期中）曲线在处的切线如图所示，则（
）
A．0
B．-1
C．1
D．
14.（2021·全国高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（
）
A．4
B．
C．28
D．
15.（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
16.（2021·全国高三模拟预测）己知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
18.（2021·全国高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（
）
A．2
B．
C．3
D．
19.（2021·韩城市西庄中学高二期中（理））已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若曲线，求曲线过点的切线方程．
20.（2021·重庆市万州高级中学）已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线方程.
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