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专题二
函数和导数
08
导数与函数的单调性
考纲对本模块内容的具体要求如下：
利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，在高考中经常出现的是含参数的函数的导数求解问题，难度以中高难度为主，主要出现在解答题中，命题形式灵活多变，主要考查分析能力和解答计算能力，对数学思维要求高。
1.了解函数单调性和导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
数学抽象：导数正负与函数单调性的关系.
逻辑推理：运用导数正负判断函数的单调性.
直观想象：导数与函数单调性的关系.
数学运算：函数单调区间的求解.
函数的单调性
在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数．
【常用结论】
可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
考点一
利用导数求函数的单调区间
(1)函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
答案
B　
解析：∵y＝x2－ln
x，∴x∈(0，＋∞)，y′＝x－＝.
由y′≤0可解得0＜x≤1，∴y＝x2－ln
x的单调递减区间为(0,1].
故选B.
（2）（2020·张家口市第一中学高二期中）函数的单调递增区间是（）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：函数的定义域为，，令，解得，
因此，函数的单调递增区间是.
故选：D.
【规律方法】
1.掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间．
2．理清有关函数单调区间的3个点
(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；
(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f′(x)>0与f′(x)<0这两个不等式的解集问题来处理；
(3)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则应将其转化为f′(x)≥0(f′(x)≤0)来处理．
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）已知函数，其中．求函数的单调区间．
【答案】答案见解析.
【分析】
的定义域为，求，分别讨论，，，时，解不等式和即可得函数的单调递增区间和单调递减区间.
【详解】
由，可知函数的定义域为，
且（），
令，得或．
①当，即时，
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或；令，得．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
③当，即时，恒成立，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
④当，即时，
令，得或；令，得．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
考点二
利用导数讨论函数的单调性
已知函数f(x)＝x2－2aln
x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝.
①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减．
③当－a＞2，即a＜－2时，
∵0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．
综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．
【规律方法】
研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
?1?讨论分以下四个方面,①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，④根在不在定义域内讨论.
?2?讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.
?3?讨论完必须写综述.
【跟踪练习】设函数f(x)＝aln
x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解析：　(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝.
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，f(x)在，上单调递减，
在上单调递增．
考点三
函数单调性的应用
考法1
比较大小或解不等式
（1）（2021·广东高三月考）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
【分析】
令，根据导函数的正负可确定单调递减，由此得到，代入整理可得结果.
【详解】
令，则，
，，，在上单调递减，
，，即，，
，.
故选：A.
(2)（2021·全国高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
（3）（2022·东北育才学校高三一模）定义在上的函数的导函数满足，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：由，得.
设，，则，
故在上单调递减，
则，
则，，
但由于，，，的正负不确定，
所以，都未必成立.
故选：D
考法2
求参数的取值范围
（1）（2022·全国高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（
）
A．－12
B．－10
C．8
D．10
答案
A
【分析】
解析：＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1∴－1，3是＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故选：A．
（2）（2021·东莞市光明中学高二月考）若在上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由题知，，.
若在上是减函数，则在上恒成立，
由得，，
当时，，所以.
故选：C.
【规律方法】
1.已知函数的单调性，求餐宿的取值范围，应用条件f′(x)≥0?或f′(x)≤0?，x∈?a，b?恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
2.若函数y＝f?x?在区间?a，b?上不单调，则转化为f′(x)＝0在?a，b?上有解.
3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
【跟踪练习】(1)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
答案
D　
解析：设g(x)＝，则g′(x)＝，
∵当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，
又a＝g(e)，b＝g(ln
2)，c＝g(－3)＝g(3)，
∴g(3)＜g(e)＜g(ln
2)，故c＜a＜b.
(2)（2021·全国高二课时练习）已知函数，（）．
（1）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是______；
（2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
答案
【分析】
（1）根据题意转化为导函数在有解，参变分离，设，只需即可得解；
（2）由题意可得在上恒成立，参变分离可得恒成立，设，只需即可得解.
【详解】
（1）由题知，，所以．由在上存在单调递减区间，可得当时，有解，即有解．设（），所以只要即可．而，所以．因为，所以或．
（2）由在上单调递减，得当时，恒成立，即恒成立．
设，，所以，
又，，所以，
所以（此时）．因为，所以或．
故答案为：，.
1.（2021·全国高二课时练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（
）
A．
B．
C．D．
答案
C
【分析】
由函数的图象，判断导数的正负区间，即可判断函数的单调性.
【详解】
由函数的图象可知：
当时，，即，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减；
当时，，即，此时单调递减；
当时，，即，此时单调递增．
故选：C
2.（2022·全国高三专题练习（理））偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意，得到的周期，利用导数可得的单调性，即可作出的图象，根据周期性、对称性可得在内有4个整数解，分别讨论、和三种情况下在一个周期内有整数解的个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
因为为偶函数，所以，
所以
所以是周期函数，且周期为8，且关于对称，
又当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
作出一个周期内图象，如图所示：
因为为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解，
所以不等式在内有100个整数解，
因为周期为8，所以在内有25个周期，
所以在一个周期内有4个整数解，
（1）若，由，可得或，
由图象可得有7个整数解，无整数解，不符合题意；
（2）若，则，由图象可得，不满足题意；
（3）若，由，可得
或，
由图象可得在一个周期内无整数解，不符合题意，
所以在一个周期内有4个整数解，
因为在内关于对称，
所以在内有2个整数解，
因为，，，
所以在的整数解为和，
所以，解得.
故选：C
3.（2021·全国高二课时练习）已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
【分析】
引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式.
【详解】
令，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递减．
因为，所以，所以，
即，所以且，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：D.
4.（2021·全国高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案
D
【分析】
根据给定不等式构造函数，探讨函数的单调性，由此判断函数值大小得解.
【详解】
依题意，令，则，
于是得函数在上单调递减，则有，，
即，，
所以，.
故选：D
5．（2021·江苏南京·）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
【分析】
设，则，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案
【详解】
设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，
所以，
故选：A
6．（2020·张家口市第一中学高二月考）设，则的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
【分析】
求得函数的定义域和导数，结合，即可求得函数的递减区间.
【详解】
由题意，函数，可得函数的定义域为，
则，令，解得，
因为，解得，所以函数的单调区间为.
故选：B.
7．（2020·张家口市第一中学高二期中）已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
答案
C
【分析】
由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.
【详解】
在区间上单调，，或，即或恒成立，
设，，
函数在区间上单调递减，函数的值域是，
所以或.
故选：C
8．（2021·全国高二课时练习）已知函数，当时，下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
【分析】
利用导数明确函数单调性，结合自变量的大小关系即可得到结果.
【详解】
由题意得，当时，，所以在上单调递增．
又，所以．
由在上单调递增，可知当时，，所以．
综上，．
故选：A
9．（2021·全国高二课时练习）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
【分析】
观察所求解的不等式可以先构造函数，，利用导数对其单调性进行求解从而得出再解不等式即可.
【详解】
构造函数，，
则，
所以函数的图象在上单调递减．
又因为，
所以，
所以，
解得或（舍）．
所以不等式的解集是．
故选：B
10．（2021·全国高二课时练习）函数（）的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．和
答案
B
【分析】
求导可得，求即可得解.
【详解】
（），
令，解得，
故在上单调递增，
故选：B．
11．（2021·河北沧州·高三月考）设函数，则满足的x取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
【分析】
设，将原不等式化为，再根据的奇偶性和单调性可求出结果.
【详解】
设，则，
所以可化为，即，
也就是，
因为，
所以为奇函数，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以为单调递增函数，
所以，得.
所以满足的x取值范围是.
故选：A
12．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
【分析】
构造函数，可证明在上单调递增，又可计算得，因此
【详解】
由题意，构造函数
在上单调递增
又
又
的解集为
故选：B
13．（2021·全国高二单元测试）定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上的“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（
）
A．函数在任意区间上都不可能是“对望函数”
B．函数是上的“对望函数”
C．函数是上的“对望函数”
D．若函数为上的“对望函数”，则在上单调
答案
ABC
【分析】
根据“对望函数”的定义，代入具体函数依次判断，可判断A，B，C；若函数为上的“对望函数”，则在上必有两个不相等的实根，可判断D.
【详解】
对于A，因为是单调递增函数，所以在上不可能存在，（），满足，所以函数在任意区间上都不可能是“对望函数”，故A正确；
对于B，，，令，得，，且，所以函数是上的“对望函数”，故B正确；
对于C，，，令，得，因此存在，使得，所以函数是上的“对望函数”，故C正确；
对于D，若函数为上的“对望函数”，则在上必有两个不相等的实根，则函数在上不单调，故D错误.
故选：ABC
14．（2021·广东高二期中）已知函数在单调递增，则k的取值可为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案
AB
【分析】
利用导数研究单调性，转化为恒成立，求出k的范围，对照四个选项，得到答案.
【详解】
的导函数为.
要使函数在单调递增，
只需在上恒成立，
所以.
因为在单增，且时，，
所以.
故选：AB.
15．（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）关于函数，下列说法正确的是（
）
A．对，恒成立
B．对，恒成立
C．若，
D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
答案
ABD
【分析】
选项A：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；
选项B：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；
选项C：构造函数，根据导数判断函数在内单调递减，从而判断选项错误；
选项D：把不等式变形为，所以只需研究函数的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.
【详解】
选项A：令，则，
因为，所以由得；由得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以的最大值为，所以对，恒成立，
即对，恒成立，故选项A正确；
选项B：令，则，
由得；由得，
所以在内单调递增，在内单调递减，所以的最小值为，
所以对，恒成立，即对，恒成立，故选项B正确；
选项C：令，则，
所以由得；由得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，即，
所以，成立，故选项C错误；
选项D：因为不等式对恒成立，
即不等式对恒成立，又因为，
所以不等式对恒成立；
令，则
，
当时，恒成立，所以在单调递增，
所以由不等式对恒成立，得对恒成立，
即对恒成立，
由选项C知，在内单调递增，在内单调递减，
所以的最大值为，所以只需，即正实数的最小值为.
故选：ABD.
16．（2021·全国高二单元测试）已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
答案
【分析】
求导可得在上单调递增，结合是奇函数，可转化
为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解
【详解】
因为时，，所以在上单调递增.
又是奇函数，由，
得，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．（2021·全国高二单元测试）若函数的单调递增区间是，，则实数的取值范围是______.
答案
【分析】
求导，为二次函数，结合单调递增区间是，，即得解
【详解】
，令，得，
由函数的单调递增区间是，，
得导函数的图象是开口向上的抛物线，所以.
故答案为：
18．（2022·全国高三专题练习）函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，为f(x)的导函数，已知y=的图象如图所示，则f(x)>2x+4的解集为____．
答案
(-1，+∞)
【分析】
令g(x)=f(x)-2x-4，利用导数探讨g(x)在R上的单调性，再将f(x)>2x+4转化为并借助单调性即可得解.
【详解】
观察图象知，，
令g(x)=f(x)-2x-4，则，即g(x)在R上单调递增，
而g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0，即，于是得，
所以不等式f(x)>2x+4的解集为(-1，+∞).
故答案为：(-1，+∞)
19．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2).
【分析】
(1)分类讨论参数的取值范围，来确定的正负号，从而确定单调性；
(2)由(1)中结论，求出最大值，结合恒成立问题的含义即可求解.
【详解】
(1)
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，令.
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)知，当时，在上单调递增，而不成立；
当时，的最大值为，有，即，所以.
综上.
故答案为：.
20．（2021·全国高二专题练习）已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）设，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）利用导数法，证明时，即可；
（2）不妨设，利用作差法得到，然后令，转化为，利用其在上单调性证明.
【详解】
（1）由题意知，，，
∴函数在上单调递增．
（2）不妨设，
则，
，
令，则．
由（1）知在上单调递增，，
∵，
∴．
又，
∴．
21.（2021·全国高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
22.（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
答案（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
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专题二
函数和导数
08
导数与函数的单调性
考纲对本模块内容的具体要求如下：
利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，在高考中经常出现的是含参数的函数的导数求解问题，难度以中高难度为主，主要出现在解答题中，命题形式灵活多变，主要考查分析能力和解答计算能力，对数学思维要求高。
1.了解函数单调性和导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
数学抽象：导数正负与函数单调性的关系.
逻辑推理：运用导数正负判断函数的单调性.
直观想象：导数与函数单调性的关系.
数学运算：函数单调区间的求解.
函数的单调性
在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为________．
f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为________．
【常用结论】
可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
考点一
利用导数求函数的单调区间
(1)函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
（2）（2020·张家口市第一中学高二期中）函数的单调递增区间是（）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
1.掌握利用导数求函数单调区间的3个步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围，对应的区间为f(x)的单调递增(减)区间．
2．理清有关函数单调区间的3个点
(1)单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；
(2)求可导函数f(x)的单调区间，可以直接转化为f′(x)>0与f′(x)<0这两个不等式的解集问题来处理；
(3)若可导函数f(x)在指定区间D上单调递增(减)，则应将其转化为f′(x)≥0(f′(x)≤0)来处理．
【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）已知函数，其中．求函数的单调区间．
考点二
利用导数讨论函数的单调性
已知函数f(x)＝x2－2aln
x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．
【规律方法】
研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
?1?讨论分以下四个方面,①二次项系数讨论，②根的有无讨论，③根的大小讨论，④根在不在定义域内讨论.
?2?讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.
?3?讨论完必须写综述.
【跟踪练习】设函数f(x)＝aln
x＋，其中a为常数．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
考点三
函数单调性的应用
考法1
比较大小或解不等式
（1）（2021·广东高三月考）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
(2)（2021·全国高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2022·东北育才学校高三一模）定义在上的函数的导函数满足，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
求参数的取值范围
（1）（2022·全国高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（
）
A．－12
B．－10
C．8
D．10
（2）（2021·东莞市光明中学高二月考）若在上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
1.已知函数的单调性，求餐宿的取值范围，应用条件f′(x)≥0?或f′(x)≤0?，x∈?a，b?恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
2.若函数y＝f?x?在区间?a，b?上不单调，则转化为f′(x)＝0在?a，b?上有解.
3.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
【跟踪练习】(1)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜a＜b
(2)（2021·全国高二课时练习）已知函数，（）．
（1）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是______；
（2）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
1.（2021·全国高二课时练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（
）
A．
B．
C．D．
2.（2022·全国高三专题练习（理））偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2021·全国高二课时练习）已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4.（2021·全国高二课时练习）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．（2021·江苏南京·）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·张家口市第一中学高二月考）设，则的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·张家口市第一中学高二期中）已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．或
8．（2021·全国高二课时练习）已知函数，当时，下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·全国高二课时练习）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·全国高二课时练习）函数（）的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．和
11．（2021·河北沧州·高三月考）设函数，则满足的x取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2021·全国高二单元测试）定义：如果函数在上存在，（），满足，则称，为上的“对望数”.已知函数为上的“对望函数”.下列结论正确的是（
）
A．函数在任意区间上都不可能是“对望函数”
B．函数是上的“对望函数”
C．函数是上的“对望函数”
D．若函数为上的“对望函数”，则在上单调
14．（2021·广东高二期中）已知函数在单调递增，则k的取值可为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）关于函数，下列说法正确的是（
）
A．对，恒成立
B．对，恒成立
C．若，
D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
16．（2021·全国高二单元测试）已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______.
17．（2021·全国高二单元测试）若函数的单调递增区间是，，则实数的取值范围是______.
18．（2022·全国高三专题练习）函数f(x)的定义域为R，f(-1)＝2，为f(x)的导函数，已知y=的图象如图所示，则f(x)>2x+4的解集为____．
19．（2021·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）高三（文））已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围.
20．（2021·全国高二专题练习）已知函数．
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）设，求证：．
21.（2021·全国高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
22.（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
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