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专题二
函数和导数
09
导数与函数的极值、最值
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的极值与最值是函数的一个重要性质.在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要的应用.
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．
数学抽象：求函数极值、最值的方法.
逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系.
直观想象：导数与极值、最值的关系.
数学运算：运用导数求函数极值、最值.
一、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
二、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【常用结论】
1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．
考点一
利用导数解决函数的极值问题
考法1
根据函数图象判断函数极值的情况
（2022·全国高三专题练习（理））设函数的导函数为，函数的图像如图所示，则（
）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
答案
D
解析：当时，，∴，单调递减；
同理可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴的极大值是，的极小值是.
故选：D.
考法2
求已知函数的极值
（1）（2020·云南省楚雄天人中学高二月考（文））函数的极小值点是（
）
A．1
B．8
C．
D．
答案
A
解析：由，得，
令，即，解得或，由解得或，由解得，所以函数在上为增函数，上为减函数，
上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1．
故选：A
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______．
答案
-4
解析：由题意，函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，解得，
所以，可得，
令，得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值，极小值为．
故答案为：.
考法3
已知函数极值求参数的值或范围
(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
(2)若函数f(x)＝ex－aln
x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为(　　)
A．(－e2，－e)　　　
B.
C.
D．(－∞，－e)
答案
(1)－7　(2)D　
解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
(2)∵f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)
∴由f′(x)＝0得a＝.
令g(x)＝(x＞0)．
由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点．
又g′(x)＝－(x＞0)，
由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠.
由g′(x)＜0得x＞1.
∴函数g(x)在，上递增，在(1，＋∞)上递减．
又g(0)＝0，g(1)＝－e，
结合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.
【规律方法】
1.利用导数研究函数极值问题的一般流程
2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．
（2）验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【跟踪练习】（1）（2021·全国）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（
）
A．在上单调递增
B．是的极小值点
C．在上单调递减，在上单调递增
D．是的极小值点
答案
BC
解析：当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴是的极小值点，故A错误，B正确；
当时，，在上单调递减，
∴是的极大值点，故C正确，D错误．
故选：BC．
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：易知函数的导数，
令，得，即．
设，则，
当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以．
故选：A
（3）（2021·全国）求下列函数的极值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）极大值，无极小值；（2）极小值为；极大值为．
【分析】
(1)求出函数的导数及其零点，再列出，随变化的表格，观察表格即可得解；
(2)求出函数的导数及其零点，再列出，随变化的表格，观察表格即可得解.
【详解】
（1）由求导得，令，得，
当变化时，，的变化情况如下表：
1
+
0
-
观察表格可得：函数在处取得极大值，无极小值，
所以函数极大值为，无极小值；
（2）由求导得，
令，解得，，
当变化时，，的变化情况如下表：
1
-
0
+
0
-
观察表格可得：当时，取得极小值，当时，取得极大值，
所以极小值为，极大值.
考点二
利用导数解决函数的最值问题
（1）（2020·全国高三一模（理））已知为任意的实数，则函数的最小值为____.
答案
2
【分析】
将问题转化为点与直线上点之间的距离的平方，对曲线求导，求出与直线平行的切线斜率，进而求出切点，然后利用点到直线的距离公式即可求解.
解析：就是曲线上
点与直线上点之间的距离的平方，
对曲线求导：，与直线平行的切线斜率，
解得或（舍去），把代入，解得，即切点，
则切点到直线的距离为，所以，即的平方最小值为2.即的最小值为2.
故答案为：2
（2）（2021·全国高二课时练习）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：当时，，则．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即．
当时，函数在上单调递增，由题意可知，，
得，解得，此时，；
当时，且当时，合乎题意；
当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：D
【规律方法】
求函数在上的最大值、最小值的步骤
(1)求函数在内的极值.
(2)求函数在区间端点的函数值，.
(3)将函数的极值与值，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（
）
A．的最小值为1
B．的最小值为1
C．的最小值为1
D．的最小值为1
答案
AC
解析：对于A，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，A选项正确；
对于B，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，B选项错误；
对于C，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，C选项正确；
对于D，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，D选项错误．
故选：AC．
（2）（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）已知函数的最小值为________，最大值为________．
答案
解析：由题设，，，
∴当时，，递减；当时，，递增；
∴，又，
∴在上的最小值、最大值分别为、.
故答案为：，.
考点三
利用导数研究函数极值与最值的综合问题
已知函数f(x)＝ln
x＋x2－ax＋a(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥
x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．
解析：　(1)∵f′(x)＝＋x－a(x＞0)，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f′(x)≥0，
即＋x－a≥0恒成立，∴，而x＋≥2
＝2，当且仅当x＝1时取“＝”，∴a≤2.
即函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a的取值范围是(－∞，2]．
(2)∵f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且f′(x)＝＋x－a＝(x＞0)，
∴x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x1＋x2＝a，x1x2＝1，
∴f(x2)－f(x1)＝ln＋(x－x)－a(x2－x1)＝ln－(x－x)＝ln－(x－x)＝ln－，设t＝(t≥
)，令h(t)＝ln
t－(t≥
)，
则h′(t)＝－＝－＜0，∴h(t)在[，＋∞)上是减函数，
∴h(t)≤h()＝，
故f(x2)－f(x1)
的最大值为.
【跟踪练习】已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解析：(1)f′(x)＝＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex＞0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a＞0，所以当－3＜x＜0时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，
当x＜－3或x＞0时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者．而f(－5)＝＝5e5＞5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
考点四
利用导数研究生活中的优化问题
（1）（2021·全国高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（
）
A．6万千克
B．8万千克
C．7万千克
D．9万千克
答案
B
解析：设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．
∵，
∴，即，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．
故选：B．
（2）（2021·江北·重庆十八中高二月考）为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售、两种小商品当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投__________千元．
答案
1
【分析】
列出利润关于投资B商品千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再计算函数的额最大值及对应的的值，即可求解.
【详解】
设投入经销B商品的资金为千元，则投入经销A商品的资金为千元，
所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以当投入B商品的资金为4千元，投入经销A商品的资金为1千元时，
此时总收益最大为千元.
故答案为：1.
【规律方法】
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f?x?.
（2）求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
（3）比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.
（4）回归实际问题，结合实际问题作答.
【跟踪练习】（2020·浙江瑞安中学高二期末）某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据分析，发现该商品每日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为2元/件，则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.
答案
500
【分析】
求出利润的函数表达式,利用导数求其单调性,从而得出最大值.
【详解】
设超市每日销售该商品所获得的最大利润为
.
则
故
当时;当时
故在单调递增,在单调递减;
故当时,
取得最大值
故超市每日销售该商品所获得的最大利润为500元.
故答案为:
500
1.（2021·河南南阳·）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（
）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
答案
B
解析：由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
2.（2021·沭阳县潼阳中学高二月考）如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（
）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数有极大值
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内单调递减
答案
BC
解析：结合函数的导函数的图像可知：
当时，导函数值小于，函数是减函数；
当时，导函数值大于，函数是增函数；
当时，导函数值等于，函数取极小值；
当时，导函数值小于，函数是减函数；
当时，导函数值等于，函数取极大值；
当时，导函数值大于，函数是增函数，
当时，导函数值等于，函数取极小值；
结合选项易知，、D错误，BC正确，
故选：BC
3.（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数的极值点分别为，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．若，则有三个零点
D．
答案
ACD
【分析】
先求得导函数，由题意是方程的两根，由判别式大于0即可判断A；接下来根据根与系数的关系得到的关系，由可以判断B；根据题意得到函数单调区间，并且通过直观想象即可判断C；对D,直接算出就可以判断.
【详解】
，∵的极值点分别为，∴是方程的两根，∴，A正确；
，B错误；
不妨设，由题意可知，在单增，在单减，且，根据函数图像趋势，当时，，当时，，则有三个零点，C正确；
，同理：，
，
∴，
而，
∴，D正确.
故选：ACD.
4.（2021·全国）“”是“函数在处有极值”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
D
解析：若函数在处有极值，不一定有，如，在处无导数，但是极小值点；反之，若，函数在处不一定有极值，如在处满足，但在处无极值．所以“”是“函数在处有极值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5.（2021·全国高二课时练习）已知函数在处取得极值，则的值为______，若，则的最小值为_______．
答案
3
【分析】
令导函数当时为，列出方程求出值，利用导数求出的极值，判断极小值且为最小值．
【详解】
，且在处取得极值，
，
即，故，经检验，在处取得极值，
故，，
令，得或（舍去）．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，为．
故答案为：3，
6.（2021·全国高二课时练习）若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．
答案
【分析】
求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极小值点的定义进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域与，
且，，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，不满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：．
7.（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）下列四个函数中，在处取得极值的是_________．
①；②；③；④．
答案
②
【分析】
结合函数单调性、导数对四个函数逐一分析，由此确定正确结论.
【详解】
①，，所以在上递增，没有极值.
②，，所以函数在上递减；在上递增，所以在处取得极值.
③在上递增，没有极值.
④在上递增，没有极值.
故答案为：②
8.（2021·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
答案（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
9.（2021·福建三明一中高二月考）已知函数在点处取得极大值．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
答案（1）；（2）最大值是6，最小值是.
【分析】
(1)由题意列出方程组解出b、c的值，检验后即可得出函数的解析式；
(2)利用导数讨论函数的单调性，求出函数的极大值、极小值、和，比较大小即可.
【详解】
解析：（1）的定义域为，，
依题意有，即
解得，
经检验，符合题意
所以.
（2）由（1）知，
令得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
1
3
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
6
所以当时，函数的最大值是6，最小值是.
10.（2021·福建莆田二中高二月考）已知函数，是的导函数，且是的极值点．
（1）求的值，并求经过点的曲线的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
答案（1），切线方程为或；（2）最大值为，最小值为．
【分析】
（1）由可求得的值，设切点为，写出切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，并求出、的值，即可得出结论.
解析：（1），则，由题意可得，，
此时，，
当或时，；当时，，故是的极值点．
设切点为，则，切线方程为，
把代入切线方程可得，解得或，
因此，所求切线方程为或；
（2）由（1）可得：，，
令，解得，列出表格如下：
增
极大值
减
极小值
增
又因为，．
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
11.（2021·全国高三专题练习）设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．
（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
（2）若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
答案（1）1
；（2）．
【分析】
（1）求出，根据y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，得，即可得到；
（2）求出并进行因式分解，通过讨论的取值范围，确定f(x)能否在x＝2处取得极小值即可.
解析：①因为＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex．
＝(1－a)e．
由题设知＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1．
此时f(1)＝3e≠0．
所以a的值为1．
②＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex．
若a>，则当x∈时，<0，当x∈(2，＋∞)时，>0．
所以f(x)在x＝2处取得极小值；
若，则当时，，所以2不是f(x)的极小值点；
若，则当时
，>0，当x∈时，<0，
所以2不是f(x)的极小值点；
若，则当是，>0，当x∈时，<0，
所以2不是f(x)的极小值点；
若时，则当x∈时，0，当x∈(2，＋∞)时，<0．
所以2不是f(x)的极小值点；
综上可知，a的取值范围是．
12.（2021·全国高二课时练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案
（1），；（2）．
【分析】
（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】
（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
1
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
13.（2022·全国高三专题练习）已知函数有两个极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：．
答案（1）(2e，＋∞)；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，讨论与两种情况，分别判断其单调性，结合题意，即可求解；
（2）不妨设，且，得到，问题可转化为，再令，进而转化为在上恒成立，用导数法求解即可
【详解】
（1）因为，
所以．
令，则．
当时，不成立；
当时，．
令，所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
当时，，当时，，
因此，当时，有2个极值点，即a的取值范围为．
（2）由（1）不妨设，且
所以
所以．
要证明，
只要证明，
即证明．设，即要证明在上恒成立．
记，，
所以在上单调递减，
所以当时，，即，即成立
14.（2022·全国高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3－bx2＋x(a，b∈R)．
（1）当a＝2，b＝3时，求函数f（x）极值；
（2）设b＝a＋1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f′（x）|恒成立，求m的最小值．
答案（1）极大值，极小值；（2）1．
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）对a进行分类讨论：当a=0时,
；再对对称轴进行讨论，当时，即:
当时，即，分别去求的最大值.
【详解】
（1）当a＝2，b＝3时，，f′（x）＝2x2－3x＋1＝(2x－1)(x－1)，
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜，
令f′（x）＜0，解得＜x＜1，
故f（x）在(－∞，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f（x）极大值＝f（）＝，f（x）极小值＝f（1）＝．
（2）当b＝a＋1时，f（x）＝ax3－
(a＋1)x2＋x，
f′（x）＝ax2－(a＋1)x＋1，f′（x）恒过点(0，1)．
当a＝0时，f′（x）＝－x＋1，
m≥|f′（x）|恒成立，所以m≥1；
0＜a≤1，开口向上，对称轴，
f′（x）＝ax2－(a＋1)x＋1＝a(x－)2＋1－，
①当a＝1时f′（x）＝x2－2x＋1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；
要m≥|f′（x）|，则m≥1；
②当0＜a＜1时，
根据对称轴分类：
当x＝＜2，即＜a＜1时，
Δ＝(a－1)2＞0，f′（），
又f′（2）＝2a－1＜1，所以|f′（x）|≤1；
当x＝≥2，即0＜a≤；
f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）＝2a－1；
－1＜2a－1≤－，所以|f′（x）|≤1，
综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1．所以m的最小值为1．
15.（2021·全国）某知名保健品企业新研发了一种健康饮品．已知每天生产该种饮品不超过40千瓶，不低于1千瓶，经检测，在生产过程中该饮品的正品率与日产量（，单位：千瓶）间的关系为，每生产一瓶正品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元．（注：正品率饮品的正品瓶数饮品总瓶数）
（1）将日利润（单位：元）表示成日产量的函数；
（2）求该种饮品的最大日利润．
【答案】（1）日利润；（2）该种饮品的最大日利润为72000元．
【分析】
（1）、天的盈利额应该等于正品率与日产量及一瓶正品盈利额的乘积，次品数乘以每一瓶次品亏损额等于亏损额，日利润等于盈利额减去亏损额；
（2）、由（1）可知日利润的表达式，求导分析函数单调性，求出函数最大值即为最大日利润.
【详解】
（1）由题意，知每生产1千瓶正品盈利4000元，每出现1千瓶次品亏损2000元，
故．所以日利润．
（2）令，，则，令，解得（舍去）．
当时，；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值，
所以该种饮品的最大日利润为72000元．
16（2021·江苏公道中学高二月考）已知，函数，
（1）当时，求的最小值；
（2）若函数在上是单调函数，求的范围.
答案（1）1；（2）
【分析】
（1）用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值；
（2）根据题意，分函数为增函数和减函数两类情况讨论求解.
【详解】
解：（1）时，，
时时，
∴在单调递减，在单调递增，
时，有最小值1.
（2），
当在为减函数时，则，
即，当恒成立，∴
令，则，
∴
当在为增函数时，则，
即，恒成立，∴，
令，，则，
∴
所以当函数在上是单调函数，的范围是
17.（2021·湖北高三月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数k的最大值．
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.
【分析】
（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，
（2）利用导数可求出在上单调递增，所以函数在上的值域为，即，，，令，，则在存在两个不同的实数根，转化为在存在两个不同的实数根，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，从而可求得结果
【详解】
解：（1）函数，定义域为，
则，
令，解得，
当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值；
（2），，则，
故，所以在上单调递增，
故，即，
所以在上单调递增，
所以函数在上的值域为，
已知函数在上的值域为，
所以，，，
令，
则在存在两个不同的实数根，
方程可化为，
令，
则，且，
令，
则
所以函数在上单调递增，
所以当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
又，当时，，
所以当时，函数与的图像有两个交点，
所以实数k的取值范围为.
所以实数k的最大值为
18.（2021·全国）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？
【答案】（1）；（2）当为时，该别墅总造价最低．
【分析】
（1）先求得,进而求得屋顶面积关于的函数关系式.
（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当时，总造价最低.
【详解】
（1）由题意，知平面，
因为平面，所以．
在中，，，所以．
所以的面积为．
所以屋顶面积．
所以关于的函数关系式为．
（2）在，，所以下部主体高度为．
所以别墅总造价为
．
设，，则，
令，得，又，所以．
与随的变化情况如下表：
0
所以当时，在上有最小值．
所以当为时，该别墅总造价最低．
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专题二
函数和导数
09
导数与函数的极值、最值
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的极值与最值是函数的一个重要性质.在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要的应用.
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
4.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．
数学抽象：求函数极值、最值的方法.
逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系.
直观想象：导数与极值、最值的关系.
数学运算：运用导数求函数极值、最值.
一、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
二、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．
【常用结论】
1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．
考点一
利用导数解决函数的极值问题
考法1
根据函数图象判断函数极值的情况
（2022·全国高三专题练习（理））设函数的导函数为，函数的图像如图所示，则（
）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
考法2
求已知函数的极值
（1）（2020·云南省楚雄天人中学高二月考（文））函数的极小值点是（
）
A．1
B．8
C．
D．
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______．
考法3
已知函数极值求参数的值或范围
(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
(2)若函数f(x)＝ex－aln
x＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为(　　)
A．(－e2，－e)　　　
B.
C.
D．(－∞，－e)
【规律方法】
1.利用导数研究函数极值问题的一般流程
2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．
（2）验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【跟踪练习】（1）（2021·全国）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（
）
A．在上单调递增
B．是的极小值点
C．在上单调递减，在上单调递增
D．是的极小值点
（2）（2021·全国高二课时练习）已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2021·全国）求下列函数的极值：
（1）；
（2）．
考点二
利用导数解决函数的最值问题
（1）（2020·全国高三一模（理））已知为任意的实数，则函数的最小值为____.
（2）（2021·全国高二课时练习）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
求函数在上的最大值、最小值的步骤
(1)求函数在内的极值.
(2)求函数在区间端点的函数值，.
(3)将函数的极值与值，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（
）
A．的最小值为1
B．的最小值为1
C．的最小值为1
D．的最小值为1
（2）（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）已知函数的最小值为________，最大值为________．
考点三
利用导数研究函数极值与最值的综合问题
已知函数f(x)＝ln
x＋x2－ax＋a(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在x＝x1和x＝x2处取得极值，且x2≥
x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)－f(x1)的最大值．
【跟踪练习】已知函数f(x)＝(a＞0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
考点四
利用导数研究生活中的优化问题
（1）（2021·全国高二课时练习）某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（
）
A．6万千克
B．8万千克
C．7万千克
D．9万千克
（2）（2021·江北·重庆十八中高二月考）为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售、两种小商品当投资额为千元时，在销售、商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售、两种小商品，为使总收益最大，则商品需投__________千元．
【规律方法】
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f?x?.
（2）求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
（3）比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.
（4）回归实际问题，结合实际问题作答.
【跟踪练习】（2020·浙江瑞安中学高二期末）某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据分析，发现该商品每日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为2元/件，则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元.
1.（2021·河南南阳·）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（
）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
2.（2021·沭阳县潼阳中学高二月考）如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（
）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数有极大值
C．函数在区间内单调递增
D．函数在区间内单调递减
3.（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数的极值点分别为，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．若，则有三个零点
D．
4.（2021·全国）“”是“函数在处有极值”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5.（2021·全国高二课时练习）已知函数在处取得极值，则的值为______，若，则的最小值为_______．
6.（2021·全国高二课时练习）若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．
7.（2021·临海市西湖双语实验学校高二月考）下列四个函数中，在处取得极值的是_________．
①；②；③；④．
8.（2021·北京高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9.（2021·福建三明一中高二月考）已知函数在点处取得极大值．
（1）求的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
10.（2021·福建莆田二中高二月考）已知函数，是的导函数，且是的极值点．
（1）求的值，并求经过点的曲线的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
11.（2021·全国高三专题练习）设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．
（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
（2）若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
12.（2021·全国高二课时练习）已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
13.（2022·全国高三专题练习）已知函数有两个极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：．
14.（2022·全国高三专题练习）已知函数f（x）＝ax3－bx2＋x(a，b∈R)．
（1）当a＝2，b＝3时，求函数f（x）极值；
（2）设b＝a＋1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f′（x）|恒成立，求m的最小值．
15.（2021·全国）某知名保健品企业新研发了一种健康饮品．已知每天生产该种饮品不超过40千瓶，不低于1千瓶，经检测，在生产过程中该饮品的正品率与日产量（，单位：千瓶）间的关系为，每生产一瓶正品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元．（注：正品率饮品的正品瓶数饮品总瓶数）
（1）将日利润（单位：元）表示成日产量的函数；
（2）求该种饮品的最大日利润．
16（2021·江苏公道中学高二月考）已知，函数，
（1）当时，求的最小值；
（2）若函数在上是单调函数，求的范围.
17.（2021·湖北高三月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数k的最大值．
18.（2021·全国）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．
（1）求屋顶面积关于的函数关系式．
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？
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