资源简介

苏教版高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5
分）已知角的终边经过点
，则
x
的值为（
）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．﹣4
2．（5
分）在△ABC
中，A＝60°，AC＝，BC＝，则
C＝（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．（5
分）下列函数中，不满足
f（2x）＝2f（x）的是（
）
A．f（x）＝|x|
B．f
（x）＝x﹣|x|
C．f（x）＝x+1
D．f（x）＝﹣x
4．（5
分）函数
y＝2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（
）
A．[0，
]
B．[
]
C．[0，
]
D．[
]
5．（5
分）函数
y＝|sinx|+|cosx|，x∈R
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5
分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方
法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一
为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，
b，c，则
S＝
．若
c2sinA＝4sinC，B＝
，则用“三斜求积术”求得的△ABC
的面积为（
）
A．
B．2
C．
D．4
7．（5
分）△ABC
的内角
A，C
的对边分别为
a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则
a
的取值范围为（
）
A．
B．
C．（1，2）
D．
8．（5
分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝ex，则f（1）等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5
分）已知曲线
C1：y＝sinx，
，则下列说法正确的是（
）
把
C1
上各点横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，
得到曲线
C2
把
C1
上各点横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，
得到曲线
C2
把曲线
C1
向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到曲线
C2
把曲线
C1
向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到曲线
C2
10．（5
分）已知函数
f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则
ω
的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．2
11．（5
分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β
的值是（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
12．（5
分）设
a＝log0.12，b＝log302，则（
）
A．2ab＞a+b＞
ab
B．2ab＜a+b＜
ab
C．ab＜a+b＜
ab
D．ab＞a+b＞
ab
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分.
13．（5
分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝
．
14．（5
分）若三角形的一内角
θ
满足
，则
＝
．
15．（5
分）已知
sin10°+mcos10°＝2cos140°，则
m＝
．
16．（5
分）设△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，给出下列命题：
①若
a2+b2＜c2，则
C＞；
②若
ab＞c2，则
C＞；
③若
a3+b3＝c3，则
C＜；
④若
2ab＞（a+b）c，则
C＞；
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则
C＜．
其中正确的是
．（写出所有正确命题的编号）
三、解答题：共
70
分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17．（10
分）已知正实数
x，y
满足等式
2x+5y＝20．
求
u＝lgx+lgy
的最大值；
若不等式
+4m
恒成立，求实数
m
的取值范围．
18．（12
分）已知函数
f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．
求函数
f（x）的解析式和对称中心；
设
g（x）＝f（x）+8sin2x，求
g（x）≤7
的解集．
19．（12
分）已知△ABC
中，内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，满足．
若
b2＝ac，试判断△ABC
的形状，并说明理由；
若
，求△ABC
周长
l
的取值范围．
20．（12
分）已知函数
f（x）＝
．
当
λ＝时，求函数
f（x）的值域；
若方程
f（x）＝0
有解，求实数
λ
的取值范围．
21．（12
分）如图，游客从某旅游景区的景点
A
处上山至景点
C
处有两种路径．一种是从
A
沿直线步行到
C，另一种是先从
A
沿索道乘缆车到
B，然后从
B
沿直线步行到
C，现有甲、乙两位游客从
A
处出发，甲沿
AC
匀速步行，速度为
50m/min．在甲出发
1min
后，乙从
A
乘缆车到
B，在
B
处停留
1min
后，再匀速步行到
C，假设缆车匀速直线运动的速度为
10m/min，山路
AC
长为
1260m，经测量得
，
．（参考数据：，
，第（3）问结果精确到
0.1）
求索道
AB
的长；
当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少
min？
为使两位游客在
C
处互相等待的时间不超过
3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？
22．（12
分）如图，边长为
2
的等边三角形
ABC
中，O
是
BC
的中点，D，E
分别是边
AB，AC
上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．
在图①中，∠DOE＝120°，试将
AD，AE
分别用含
θ
的关系式表示出来，并证明
AD+AE
为定
值；
在图②中，∠DOE＝60°，问此时
AD+AE
是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出
AD+AE
的取值范围．
苏教版高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5
分）已知角的终边经过点
，则
x
的值为（
）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．﹣4
【解答】解：∵已知角
的终边经过点
，∴tan
＝tan
＝﹣tan
＝﹣
＝
，
则
x＝﹣2，
故选：C．
2．（5
分）在△ABC
中，A＝60°，AC＝，BC＝，则
C＝（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：由正弦定理得：
，
∴
，∴
，
又∵a＞b，∴A＞B，且
0＜B＜π，
∴B＝300，
∴C＝1800﹣A﹣B＝900，
故选：D．
3．（5
分）下列函数中，不满足
f（2x）＝2f（x）的是（
）
A．f（x）＝|x|
B．f
（x）＝x﹣|x|
C．f（x）＝x+1
D．f（x）＝﹣x
【解答】解：f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；
f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；
f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；
f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件；
故选：C．
4．（5
分）函数
y＝2sin（
﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（
）
A．[0，
]
B．[
]
C．[0，
]
D．[
]
【解答】解：y＝2sin（
）＝﹣2sin（2x﹣
），
求
y＝2sin（）的递增区间，等价于求
y＝2sin（2x﹣）的递减区间，
由
2kπ+≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，
得
2kπ+≤2x≤2kπ+
，k∈Z，
得
kπ+≤x≤kπ+
，k∈Z，
当
k＝0
时，
≤x≤
，
即函数
y＝2sin（2x﹣）的递减区间为[
]，
则函数
y＝2sin（），x∈[0，π]的单调递增区间为[]，故选：B．
5．（5
分）函数
y＝|sinx|+|cosx|，x∈R
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当
0≤x≤时，f（x）＝sinx+cosx＝
sin（x+
），
当
≤x≤π
时，f（x）＝sinx﹣cosx＝
sin（x﹣
），
当
π≤x≤时，f（x）＝﹣sinx﹣cosx＝﹣
sin（x+
），
当
≤x≤2π
时，f（x）＝﹣sinx+cosx＝﹣
sin（x﹣
），
则对应的图象为
D，
故选：D．
6．（5
分）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方
法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一
为从隅，开平方得积．”也把这种方法称为“三斜求积术”，设△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，
b，c，则
S＝
．若
c2sinA＝4sinC，B＝
，则用“三斜求积术”求得的△ABC
的面积为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【解答】解：∵c2sinA＝4sinC，∴ac2＝4c，∴ac＝4，
又∵B＝
，∴
，
∴a2+c2﹣b2＝ac＝4，
则
S＝＝
，
故选：A．
7．（5
分）△ABC
的内角
A，C
的对边分别为
a，c，若∠C＝45°，，且满足条件的三角形有两个，则
a
的取值范围为（
）
A．
B．
C．（1，2）
D．
【解答】解：在△ABC
中，由正弦定理得：，可得：sinA＝
a，
由题意得：当
A∈（45°，135°）且
A≠90°时，满足条件的△ABC
有两个，
所以
＜
a＜1，解得：
＜a＜2，
则
a
的取值范围是（，2）．
故选：B．
8．（5
分）已知函数f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，若f（x）+g（x）＝ex，则f（1）等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：数
f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，
由
f（x）+g（x）＝ex，
f（1）+g（1）＝e
f（﹣1）+g（﹣1）＝﹣f（1）+g（1）＝
，
联立解上面方程组，得
f（1）＝，
故选：C．
9．（5
分）已知曲线
C1：y＝sinx，
，则下列说法正确的是（
）
把
C1
上各点横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，
得到曲线
C2
把
C1
上各点横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，
得到曲线
C2
把曲线
C1
向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到曲线
C2
把曲线
C1
向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到曲线
C2
【解答】解：对于
A，
，
对于
B，
，
对于
C，，
对
于
D，
，
，
故选：B．
10．（5
分）已知函数
f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则
ω
的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：函数
f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，
则：φ＝
．
所以：f（x）＝cos（ωx+
），
令：
（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于函数在
上单调递减，
故：
，
当
k＝0
时，
整理得：
，
故：
，
所以最大值为
．
故选：C．
11．（5
分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β
的值是（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【解答】解：∵α∈[
，π]，β∈[π，
]，
∴2α∈[
，2π]，
又
0＜sin2α＝＜
，
∴2α∈（，π），即
α∈（，），
∴β﹣α∈（
，
），
∴cos2α＝﹣
＝﹣
；
又
sin（β﹣α）＝，
∴β﹣α∈（，π），
∴cos（β﹣α）＝﹣
＝﹣
，
∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣
×（﹣
）﹣
×
＝
．
又
α∈（，），β∈[π，]，
∴（α+β）∈（，2π），
∴α+β＝
，
故选：A．
12．（5
分）设
a＝log0.12，b＝log302，则（
）
A．2ab＞a+b＞
ab
B．2ab＜a+b＜
ab
C．ab＜a+b＜
ab
D．ab＞a+b＞
ab
【解答】解：a＝log0.12，b＝log302，
则
2ab﹣（a+b）＝2
﹣（﹣lg2+
）＝﹣lg2（
﹣1+
）＝﹣lg2?
＜0，
∴2ab＜a+b．
ab﹣（a+b）＝
﹣（﹣lg2+
）＝﹣lg2（
﹣1+
）＝﹣lg2?
＞0，∴ab
＞a+b．
a+b﹣
ab＝（﹣lg2+
）﹣
×
＝lg2（﹣1+
+
）＝lg2?
＜0，∴
a+b＜
ab．
∴2ab＜a+b＜
ab．
故选：B．
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分.
13．（5
分）如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝
．
【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOC＝β，
由题意可得
tanα＝，tanβ＝
，
故
tan（α+β）＝＝
＝1，
因为
，
，
故
α+β∈（0，π），
所以α+β＝
．
故答案为：
14．（5
分）若三角形的一内角
θ
满足，则＝
．
【解答】解：由
，可得
sinθ+cosθ＝，
两边同时平方可得，1+2sinθcosθ＝
即
2sinθcosθ＝﹣因为
θ∈（0，π），
所
以
sinθ＞0，cosθ＜0，
解可得
sinθ＝
，cosθ＝﹣
则
＝
＝
．
故答案为：
15．（5
分）已知
sin10°+mcos10°＝2cos140°，则
m＝
﹣
．
【
解
答
】
解
：
由
题
意
可
得
m＝
＝
＝
＝
＝﹣
，
故答案为：﹣
．
16．（5
分）设△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，给出下列命题：
①若
a2+b2＜c2，则
C＞；
②若
ab＞c2，则
C＞；
③若
a3+b3＝c3，则
C＜；
④若
2ab＞（a+b）c，则
C＞；
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则
C＜．
其中正确的是
①③⑤
．（写出所有正确命题的编号）
【解答】解：①由余弦定理得，
＜0，则
C＞，即①正确；
②
，则
0＜C＜，即②错误；
③因为
a3+b3＝c3，所以
c
最大，所以
＜
，即有
a2+b2＞c2，则
C＜，
即③正确；
④不妨取
a＝b＝2，c＝1，满足
2ab＞（a+b）c，此时
，所以
C＜
，即④错误；
⑤若（a2+b2）c2＜2a2b2，则
，由②中的推导可知，0＜C＜
，即⑤
正确．
故答案为：①③⑤．
三、解答题：共
70
分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17．（10
分）已知正实数
x，y
满足等式
2x+5y＝20．
求
u＝lgx+lgy
的最大值；
若不等式
+4m
恒成立，求实数
m
的取值范围．
【解答】解：（1）因为
x＞0，y＞0，由基本不等式，得．又因为
2x+5y＝20，所以，xy≤10，
当且仅当，即
时，等号成立．
此时
xy
的最大值为
10．
所以
u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．
所以当
x＝5，y＝2
时，u＝lgx+lgy
的最大值为
1；
（2）因为
x＞0，y＞0，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以
的最小值为
．
不等式
恒成立，只要
，解得
．
所以
m
的取值范围是
．
18．（12
分）已知函数
f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示．
求函数
f（x）的解析式和对称中心；
设
g（x）＝f（x）+8sin2x，求
g（x）≤7
的解集．
【解答】解：（1）由图可得
A＝2，
＝?，所以
T＝π，所以
ω＝2．当
时，f（x）＝2，可得
，因为
，所以
．
所以函数
f（x）的解析式为，
令
2x﹣＝kπ+
，k∈Z，则
x＝+
，
所以函数
f（x）的对称中心为（
+，0），k∈Z．
（2）
＝
＝
＝
．
g（x）≤7，即为
，
所以，
.
．
所以，g（x）≤7
的解集为．
19．（12
分）已知△ABC
中，内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，满足．
若
b2＝ac，试判断△ABC
的形状，并说明理由；
若
，求△ABC
周长
l
的取值范围．
【解答】解：（1）由题设，及正弦定理得，
，因为
sinA≠0，所以，
由
A+B+C＝π，可得
，
故
．
因为
，故
，所以
，
因为
b2＝ac，又由余弦定理得
b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac，
所以
a2+c2﹣ac＝ac，即（a﹣c）2＝0，所以
a＝c，故，
所以△ABC
是等边三角形；
（2）解法一：△ABC
的周长．
由余弦定理
b2＝a2+c2﹣2accosB，
，
故（a+c）2≤24，
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立．
又在△ABC
中
a+c＞b，所以，
所以△ABC
周长
l
的取值范围为．
解法二：因为
，
，由正弦定理，
得
，
所以△ABC
的周长
＝
＝
＝
，
因
为
，
所
以
，
，
．
所以△ABC
周长
l
的取值范围为．
20．（12
分）已知函数
f（x）＝
．
当
λ＝时，求函数
f（x）的值域；
若方程
f（x）＝0
有解，求实数
λ
的取值范围．
【解答】解：（1）
，
设
，得
g（t）＝3t2﹣2λt+8，
，
当
时，
，
，
所以
，g（t）max＝g（2）＝14，
所以函数
f（x）的值域为
；
（2）方程
f（x）＝0
有解等价于函数
g（t）＝3t2﹣2λt+8
在上有零点，
也即
在
上有解，
而函数
在
上的值域为
；
所以实数
λ
的取值范围为
．
21．（12
分）如图，游客从某旅游景区的景点
A
处上山至景点
C
处有两种路径．一种是从
A
沿直线步
行到
C，另一种是先从
A
沿索道乘缆车到
B，然后从
B
沿直线步行到
C，现有甲、乙两位游客从
A
处出发，甲沿
AC
匀速步行，速度为
50m/min．在甲出发
1min
后，乙从
A
乘缆车到
B，在
B
处停留
1min
后，再匀速步行到
C，假设缆车匀速直线运动的速度为
10m/min，山路
AC
长为
1260m，经测量得
，
．（参考数据：，
，第（3）问结果精确到
0.1）
求索道
AB
的长；
当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少
min？
为使两位游客在
C
处互相等待的时间不超过
3min，问乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）在△ABC
中，由
，
，可得
，
，
所以
，
由正弦定理
得，
；
设乙出发
tmin，甲、乙的距离为
d，
由余弦定理得，
，
即
d2＝500（13t2﹣2t+5），因为，即
0≤t≤5，所以当
时，d
取得最小值，
所以当乙出发了
后，乙在缆车上与甲的距离最短；
由正弦定理
得
，
乙从
B
出发时，甲已经走了
50（1+5+1）＝350m，还需走
910m
才能到达
C，
设乙步行的速度为
vm/min，则
，
所以
，解得
，即
49.1≤v≤68.4，
所以为使两位游客在
C
处互相等待的时间不超过
3min，乙步行的速度应控制在[49.1，68.4]范围内．
22．（12
分）如图，边长为
2
的等边三角形
ABC
中，O
是
BC
的中点，D，E
分别是边
AB，AC
上的动点（不含端点），记∠BOD＝θ．
在图①中，∠DOE＝120°，试将
AD，AE
分别用含
θ
的关系式表示出来，并证明
AD+AE
为定值；
在图②中，∠DOE＝60°，问此时
AD+AE
是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出
AD+AE
的取值范围．
【解答】解：（1）由∠DOE＝120°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝60°﹣θ，∠CEO
＝60°+θ，
在
△BOD
和
△COE
中
，
分
别
应
用
正
弦
定
理
可
得
，
，
，
故
，
，
所以，，θ∈（0，60°）．
从
而
＝
＝
＝
，
从而
AD+AE＝3
为定值；
（2）当∠DOE＝60°，∠BOD＝θ，则∠BDO＝120°﹣θ，∠COE＝120°﹣θ，∠CEO＝θ，
在
△BOD
和
△COE
中
，
分
别
应
用
正
弦
定
理
可
得
，
，
，
故
，
，
所
以
，
，θ∈（30°
，90°
）
，
，θ∈（30°，90°）．
令，θ∈（30°，90°），
下面先求
y
的取值范围：
解法一：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
，
由于
θ∈（30°，90°），2θ﹣30°∈（30°，150°），2sin（2θ﹣30°）+1∈（2，3]，
所以
，
因此
；
解
法
二
：
，
设
，
则
，
＝
，
由θ∈（30°，90°），
，
，
，
又
在
上单调递减，在（1，2）上单调递增，
而当
或
2
时，，当
u＝1
时，y＝2，所以
，
因此
．

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