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3.1.1 两角和与差的余弦
江苏省六合高级中学高级中学 刘 明
教学目标：
1． 初步领会两角和、两角差和二倍角的三角函数之间的关系，探索两角和（差）的余弦公式及推导过程。
2． 通过对公式的探究，使学生体验运用相关的数学思想方法解决问题的过程，培养学生分析问题、解决问题及探究新知的能力，并在数学的探究活动中培养学生的合作交流能力与表达能力。
3． 通过问题，激发学生探索数学新知的积极性，领悟到探索新知的基本方法，通过数学学活动提高学生学习数学的兴趣．
教学重点：两角差的余弦公式的探究与推导的过程。
教学难点：探索过程的组织和引导；两角差余弦公式的探究思路的发现。
教学过程：
一 、 提出学习课题
教师：前面我们学习了单角的三角函数，在研究三角函数时还常常遇到这样的问题：“已知任意角α、β的三角函数值，求α+β、α-β、2α的三角函数值”今天我们就来研究这个问题．
教师：我们把刚才的问题具体化，即已知任意角α、β的三角函数值，来推导以下三组公式（投影出下面9个式子）：
1. 2. 3.
二、确定研究方案
教师：我们要研究的共有三组九个公式，任务很艰巨。从哪个公式开始进行研究呢？是否需要对每一个公式进行单独的研究，一一进行推导 请同学们思考并提出研究的方案．
（ 让学生通过个人思考、小组研讨的形式确定研究方案．然后，汇总学生的研究方案，由大屏幕显示研究方案．）
或
教师：那么在和角或差角公式中又先研究谁呢？
（大屏幕显示研究方案）
教师：通过刚才的分析，我们现在得到了一个完整的研究方案，同时我们应该得到一个启示，也就是我们在研究问题的时候，应该讲究策略，应该抓住问题的主要矛盾，下面我们就集中精力来解决这个主要矛盾，即研究α±β的正（余）弦公式．
教师：研究α±β的正弦或余弦公式，我们用什么做工具呢？
（学生思考）
教师提示：回顾我们前面研究同角关系和诱导公式的时候，利用了什么工具？
（学生思考，引导出单位圆及单位圆中的三角函数线或三角形．）
教师：下面就请同学根据我们提出的方案，按照我们课前分好的小组在组内进行研究，重点是推导第一个公式，有时间的组可以推出所有的公式．各组将推导的方法和过程写在白纸上，一会我们进行交流．
三、小组研究学习
将全班划分为十个小组，在各小组内进行．教师引导，学生自主探究，合作学习，交流研究方法和研究成果．
（师在学生探索的过程中进行巡视，了解学生的进展情况．发现有的组在探索的过程中遇到了困难，老师根据实际情况进行了引导，并参与了某些组的讨论．）
四、班级讨论研究
教师：请各组的同学来展示一下你们的研究成果．要求用实物投影打出你们的推导过程，简述你们的解决方法、思维过程，语言要尽量简练．
（依据各个小组的情况，重点介绍向量法，及两点间的距离公式的方法．）
1．利用向量的方法推导：把cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，利用向量的数量积来研究．
如图，在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边
分别作角α和β，其终边分别与单位圆交于
，则∠P1O P2＝α－β．
设a＝＝，b＝＝．
（1）若α－β∈[0，π]，则ab＝| a | | b |cos(α－β)＝cos(α－β),
又由向量数量积的坐标表示，有ab＝，
∴．
（2）若α－β∈[－π，0]，则α－β∈[0，π]，∴ab＝| a | | b |cos(β－α)＝cos(α－β),
又由向量数量积的坐标表示，有ab＝，
∴．
于是，由（1）、（2）可知，当α－β∈[－π，π]时，成立．又因为余弦函数是周期为2π的周期函数，所以，对任意的α－β∈R，都有
成立．
2．利用两点间的距离公式推导
在直角坐标系内作单位圆，并作角与，使角的始边为，交⊙于点，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点，则点的坐标分别是，，，，
，∴
，
得，
∴．（）
五、课堂小结
教师：我们这节课主要推导了α+β、α－β、2α的三角公式，在推导公式前，我们首先理清了这些公式间的发展脉络，找出了解决问题的出发点，同学们能否画出这些公式的一个结构图？
（投影学生的结构图，然后再根据需要投影教师的结构图．）
教师：在我们推导公式的过程中都用到了那些数学的思想方法？
（让学生回答，然后总结：解析法、数形结合的思想、方程的思想、换元法等。）
教师：在小组学习中有无其它的体会．
课后大家要注意落实今天的知识，下课．
α=β
特殊化
β代-β
换元
-β代β
换元
α=β
特殊化
化切
诱导公式
x
y
O
P1
P2
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苏教版数学必修4《两角和与差的余弦》精品教学课件
3.1.1 两角和与差的余弦
江苏省六合高级中学 刘 明
已知任意角α，β的三角函数值，求α+β，α－β，2α的三角函数值．
β代-β
换 元
α =β
特殊化
换 元
α =β
特殊化
-β代β
化切
诱导公式
分组活动：探究并证明两角和与差的公式．
设向量a＝
设向量b＝
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
课堂回顾：在我们推导公式的过程中,用到了哪些数学的思想方法？
课堂回顾：通过本节课的学习，你有何体会？
作业：
教材P.57习题3.1(1)：T5，7
思考：教材P.101习题3.1(2)：T14
感谢各位专家和同行！
欢迎批评指正！
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