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[考纲传真]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；
a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；
a>b，c<0?aca>b>0，c>d>0?ac>bd；
(5)乘方法则：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；
(6)开方法则：a>b>0?>(n≥2，n∈N)；
(7)倒数性质：设ab>0，则a.
3．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；
若b＞a＞0，m＞0，则＞.
2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．
3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＞b?ac2＞bc2.
(　　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.
(　　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.
(　　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)
A．A≥B　　　　　
B．A＞B
C．A≤B
D．A＜B
B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x2＋6x－8
＝1＞0，
∴A＞B，故选B．]
3．(教材改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞
B．＜
C.＞
D．＜
B　[∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，
∴－＞－，即＜.故选B．]
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
(－4,1)　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4,1)．]
5．(教材改编)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.
－14　[由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则
解得
(经检验知满足题意)．
∴a＋b＝－14.]
比较大小及不等式性质的应用
1．设α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)
A.　　　　　　
B．
C.
D．
D　[∵α∈，β∈[0，π]，
∴2α∈，∈，
即－＜2α＜π，
－≤－≤0.
∴－＜2α－＜π，故选D．]
2．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是(　　)
A．ab＞ac
B．c(b－a)＜0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＞0
A　[∵c＜b＜a，且ac＜0，
∴c＜0，a＞0，
∴ac＜ab，
即A选项正确．]
3．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[6,10]　[法一：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．
法二：(运用方程思想)由得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6,10]．]
[规律方法]　1.用同向不等式求差范围的技巧
??a－d＜x－y＜b－c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．比较大小的三种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可．
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
一元二次不等式的解法
【例1】　解下列不等式：
(1)3＋2x－x2≥0；
(2)x2－(a＋1)x＋a<0.
[解]　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，
即(x－3)(x＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．
[母题探究]　将本例(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0得③当01，解
(x－1)<0得1综上所述：当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为.
[规律方法]　1.解一元二次不等式的一般方法和步骤：
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或?)．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2B．{x|x≤2或x≥3}
C.
D．
(2)不等式≥－1的解集为________．
(1)B　(2)　　[(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
(2)将原不等式移项通分得≥0，
等价于解得x≤或x＞5.
∴原不等式的解集为.]
一元二次不等式恒成立问题
?考法1　在R上恒成立，求参数的范围
【例2】　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
(－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即∴－2综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]
?考法2　在指定区间上恒成立，求参数的范围
【例3】　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述：m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
?考法3　变换主元，求x的范围
【例4】　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．
{x|x<1或x>3}　[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[规律方法]　一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
(2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(1)若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是________．
(2)求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围．
(1)　[设f(x)＝x2＋ax－2，由题知Δ＝a2＋8＞0，
所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，
于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈.]
(2)[解]　将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x＜2或x＞4.
综上可知，使原不等式恒成立的x的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A.　　　　　　
B．
C.
D．
D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．
∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝.
∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.
故选D．]
2.(2016·全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)
A．[2,3]
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(0,2]∪[3，＋∞)
D　[由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故选D．]
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