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[考纲传真]　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R.
a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C.
变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；(2)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C；(3)＝＝2R.
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝.
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
3．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
[常用结论]
1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin
A＞sin
B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos
C＋ccos
B；
b＝acos
C＋ccos
A；
c＝bcos
A＋acos
B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin
C；
(2)cos(A＋B)＝－cos
C.
4．在△ABC中，若acos
A＝bcos
B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin
A＞sin
B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　
B．1
C.
D.
D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]
3．(教材改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
B　[∵bsin
A＝24sin
45°＝12，
∴12＜18＜24，即bsin
A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
4．在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶4，则cos
C的值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
D　[由题意可知a∶b∶c＝3∶2∶4，不妨设a＝3k，b＝2k，c＝4k，则cos
C＝＝＝－.]
5．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝30°，则S△ABC＝________；b＝________.
　1　[S△ABC＝acsin
B＝×2××＝.
由b2＝a2＋c2－2accos
B＝4＋3－4cos
30°＝1，得b＝1.]
利用正、余弦定理解三角形
【例1】　(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)由已知及正弦定理得
2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
即2cos
Csin(A＋B)＝sin
C，
故2sin
Ccos
C＝sin
C.
可得cos
C＝，所以C＝.
(2)由已知得absin
C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos
C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5(负值舍去)．
所以△ABC的周长为5＋.
[规律方法]　解三角形的常见题型及求解方法
?1?已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及，可先求出角C及b，再求出c.
?2?已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos
A，先求出a，再求出角B，C.
?3?已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,?4?已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C＝π－?A＋B?，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.)
(1)(2018·重庆二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a－b)(sin
A＋sin
B)＝c(sin
C＋sin
B)，则角A等于(　　)
A.　　　
B.
C.
D.
(2)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos
A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.
①求cos
B的值；
②求CD的长．
(1)D　[由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝c(c＋b)，即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理可得cos
A＝＝－，又A∈(0，π)，则A＝，故选D.]
(2)[解]　①在△ABC中，因为cos
A＝，A∈(0，π)，
所以sin
A＝＝.
同理可得sin∠ACB＝.
所以cos
B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin
Asin∠ACB－cos
Acos∠ACB＝×－×＝.
②在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20.
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝
＝＝9.
判断三角形的形状
【例2】　(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos
B＝(2a－b)cos
A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
(1)C　(2)D　[(1)∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC是等边三角形．
(2)因为c－acos
B＝(2a－b)cos
A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得
sin
C－sin
Acos
B＝2sin
Acos
A－sin
B
cos
A，
所以sin
Acos
B＋cos
Asin
B－sin
Acos
B＝2sin
Acos
A－sin
Bcos
A，
所以cos
A(sin
B－sin
A)＝0，
所以cos
A＝0或sin
B＝sin
A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．]
[规律方法]　判定三角形形状的方法
?1?化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系.
?2?化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.)
(1)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝
＝，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．
(1)A　(2)直角三角形　[(1)因为＝，由正弦定理得＝，所以sin
2A＝sin
2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0,
π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．
(2)由题意，得＝，即cos
B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．]
与三角形有关的最值(范围)问题
【例3】　(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos
B＝(2c－b)cos
A.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长的最大值．
[解]　(1)法一：由已知，得acos
B＋bcos
A＝2ccos
A.
由正弦定理，得sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝2sin
Ccos
A，
即sin(A＋B)＝2sin
Ccos
A.
因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
所以sin
C＝2sin
Ccos
A.
因为sin
C≠0，所以cos
A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
法二：由已知及余弦定理，得a×＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos
A＝＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，
得bc＋4＝b2＋c2，
即(b＋c)2＝3bc＋4.
因为bc≤2，所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4，
即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，
所以a＋b＋c≤6.
故△ABC的周长的最大值为6.
法二：因为＝＝，且a＝2，A＝，
所以b＝sin
B，c＝sin
C.
所以a＋b＋c＝2＋(sin
B＋sin
C)＝2＋sin
B＋sin＝2＋4sin.
因为0＜B＜，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.
故△ABC的周长的最大值为6.
[规律方法]　求有关三角形面积或周长的最值?范围?问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.
(1)(2018·郑州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos
B＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为(　　)
A．28
B．36
C．48
D．56
(2)(2019·河北五校联考)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)
A.
B．2
C．3
D．4
(1)C　(2)D　[(1)在△ABC中，2ccos
B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin
Ccos
B＝2sin
A＋sin
B．又A＝π－(B＋C)，所以sin
A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin
Ccos
B＝2sin(B＋C)＋sin
B＝2sin
Bcos
C＋2cos
Bsin
C＋sin
B，得2sin
Bcos
C＋sin
B＝0，因为sin
B≠0，所以cos
C＝－，又0＜C＜π，所以C＝.由S＝c＝absin
C＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，所以2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.
(2)∵C＝，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝.由正弦定理，得＝＝＝＝4，∴BC＝4sin
A，AC＝4sin
B，∴AC＋BC＝4sin
B＋4sin
A＝4sin＋4sin
A＝2cos
A＋6sin
A＝4sin(A＋φ)，∴当A＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时，AC＋BC取得最大值，为4.故选D.]
解三角形的实际应用
【例4】　(1)江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
(2)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东________．
(1)10　(2)75°　[(1)如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为60°，连接BC，BD.
Rt△ABC，∠ACB＝45°，可得
BC＝AB＝30
m，
Rt△ABD中，∠ADB＝60°，可得
BD＝＝10
m，
在△BCD中，BC＝30
m，BD＝10
m，∠CBD＝30°，
由余弦定理可得：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos
30°＝300，
∴CD＝10
m.
(2)如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos
120°.
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，
∴舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴sin∠CAB＝＝＝.
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航向为北偏东75°.]
[规律方法]　利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：
?1?实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
?2?实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程?组?，解方程?组?得出所要求的解.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.
100　[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600
m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan
30°＝300×
＝100(m)．]
1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos
＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4　　　
B.
C.
D．2
A　[因为cos
＝，所以cos
C＝2cos2
－1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos
C＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故选A.]
2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A.
B.
C.
D.
C　[因为S△ABC＝absin
C，所以＝absin
C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos
C，得2abcos
C＝2absin
C，即cos
C＝sin
C，所以在△ABC中，C＝.故选C.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos
A＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
C　[法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin
B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos
A＝＝＝－.故选C.
法二：同法一得c＝a.
由正弦定理得sin
C＝sin
A,
又B＝，
∴sin
C＝sin＝sin
A，即cos
A＋sin
A＝sin
A，
∴tan
A＝－3，∴A为钝角．
又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，
∴cos
A＝－.故选C.]
4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________.
　[因为A，C为△ABC的内角，且cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝，
所以sin
B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.]
5.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin
Bsin
C；
(2)若6cos
Bcos
C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解]　(1)由题设得acsin
B＝，即csin
B＝.
由正弦定理得sin
Csin
B＝.
故sin
Bsin
C＝.
(2)由题设及(1)得cos
Bcos
C－sin
Bsin
C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题意得bcsin
A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
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