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带电粒子在有界磁场中的运动
一、带电粒子在磁场中运动的分析方法
1．圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨迹是一段圆弧，如何确定圆弧的圆心是解决问题的关键，确定圆心位置的一个最基本的思路是：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种方法：
（1）已知入射方向和出射方向时，通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的垂线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心（如图所示，图中入射点P处和出射点M处的速度方向已知）。
（2）已知入射方向和出射点位置时，通过入射点作入射方向的垂线，再作入射点和出射点连线的中垂线，两垂线的交点即为圆弧轨迹的圆心（如图所示，图中P为入射点，M为出射点）。
注意：圆心找到后，可画出轨迹示意图，无论是找圆心还是作轨迹示意图，作图时一定要认真、规范、克服随意性，力求作图准确，以有利于分析问题。
2．半径的确定和计算
利用几何关系，可求出带电粒子的轨迹圆弧的半径（或圆心角）。
如图所示，若磁场宽度为l，偏转位移为d，半径为r，圆心角为θ，则有如下几何关系：r2－l2＝(r－d)2 ， rsinθ＝l
一般利用上述关系即可求出r和θ。
注意：粒子速度的偏转角φ等于圆弧轨迹所对的圆心角θ。
3．运动时间的确定
有两种方法来求带电粒子在磁场中的运动时间：
（1）粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧轨迹所对的圆心角为θ时，则其运动时间为：t＝T 或t＝T
（2）粒子的运动时间等于轨迹弧长与速率的比值，即△t=
4．圆周运动中的有关对称规律
（1）粒子从某一直线边界射入磁场后，又从同一边界射出，则粒子的速度与边界的夹角相等。（2）在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
二、带电粒子在直线边界磁场中的运动
这类问题的特点是：所涉及磁场的边界或部分边界是直线。如：
这类问题一般都是讨论带电粒子能飞出磁场的条件，粒子在磁场中运动的时间等等。
【例1】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，速度大小为v0的带正电粒子，如图所示，已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？（2）若要求粒子在磁场中运动时间最长，粒子应从哪一条边界射出？出射点位于边界上何处？最长时间为多少？
【分析】要粒子能从ab边界射出，必须满足两点：①粒子的轨迹圆半径不能太大，否则粒子会从cd边射出磁场，因此粒子轨迹圆最多与cd边相切； ②粒子的轨迹圆半径不能太小，否则粒子会从ad 边射出，因此粒子轨迹圆必须与ab边相切或与ab边相交。
【解】（1）当轨迹圆恰与cd边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况，设切点为Q1，易找到圆心O1，设此时半径为R1。
由几何知识可知，∠OO1Q1＝60°，则：R1cos60°＋＝R1 解得：R1＝L
当轨迹圆与ab边相切时，是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况，设切点为Q2，易找到圆心O2，设此时半径为R2，由几何知识可知∠OO2Q2＝120°。
则R2sin30°＋R2＝ 解得：R2＝
故粒子从ab边射出的条件是：轨迹圆半径R满足R2< R≤R1 ，即据 Bqv0＝ 得 v0＝ ∴（2）由粒子在磁场中运动的时间t＝·T可知，粒子在磁场区域内做匀速圆周运动的圆心角θ越大，粒子在磁场中运动的时间越长，由图可知，粒子从cd边射出，圆心角最大为60°；若粒子从ab边射出，则圆心角最大为240°；粒子从ab边射出，圆心角始终为300°，所以粒子从ad边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，
最长时间tmax＝T＝
设此时出射点为P，由图可知，P点是离O点距离最大的出射点，P到O的距离为：
PQ＝2R2sin30°＝ 所以出射点到O的距离不超过。
【启迪】（1）确定粒子的运动轨迹， 轨迹可以是整个圆周，也可以是圆周的一部分（半圆、劣弧、优弧）
（2）确定圆心，利用几何关系，求粒子运动的半径。
（3）本题容易出现下列遗漏或错误：①不能正确分析粒子的运动轨迹，确定半径和圆心角。②第一问中，要求粒子从ab射出v0应满足的条件，容易只考虑到轨迹圆半径的最大值，认为只要R≤L即可，而漏掉还必须满足【例2】边长为100cm的正三角形光滑且绝缘的刚性框架ABC固定在光滑的水平面上，如图所示，内有垂直于框架平面B＝0.5T的匀强磁场，一质量为m＝2×10-4kg，带电量为q＝4×10-3C的小球。从BC的中点小孔P处以某一大小的速度垂直于BC边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能。求（1）为使小球在最短时间内从P点出来，小球的入射速度v1是多少？（2）若小球以v2＝1m/s的速度入射，则需要多少时间才能由小孔P处点出来？
【解析】（1）粒子在运动过程中与框架碰撞次数越少，运动时间就越短，由对称性可知，粒子经AB、AC的中点反弹后恰好能从P点射出，这种情况下粒子与框架碰撞次数最少（仅两次），粒子在磁场中运动时间最短，此时粒子的运动半径是：R1＝0.5m
由Bqv1＝m得：v1＝＝5m/s
（2）据粒子运动轨迹的半径分析粒子运动的轨迹特点，即可求出粒子运动的时间。
由Bqv2＝m得：R2＝＝0.1m
由R2=0.1m可知粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由图可知粒子在磁场中运动了6.5个周期，故粒子运动时间为：
t＝6.5T＝6.5×＝4.1s
【启迪】此类问题的处理方法是：根据题给条件和几何关系确定粒子轨迹半径，分析粒子运动的轨迹的特点，并注意利用轨迹的对称性来确定粒子运动周期的数目。
三、带电粒子在圆形边界磁场中的运动
此类问题的特点是：所涉及磁场的边界是圆，一般是要研究粒子在磁场中运动的时间，粒子能飞出磁场的条件，粒子在磁场中运动的偏转角等问题。
【例1】如图，一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心为O，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，距O点2R 处有一屏MN，MN垂直纸面放置，AO为垂直于屏的半径，其延线与屏交于C，一个带负电的粒子，以初速v0沿AC方向进入磁场区域，最后打在屏上D点，D、C相距，不计粒子重力。求：（1）粒子在磁场中运动的轨迹半径和粒子荷质比。（2）粒子从A运动到D的时间。
【分析】在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，由此可确定粒子射出磁场的位置。
【解】连接OD交磁场边界于E，则E为粒子的出射点，找出粒子运动轨迹的圆心O1，设轨迹半径为r。
tan∠COD＝＝ ∠COD＝60°∴∠AO1E＝60°
轨迹圆半径r＝R ctg30°＝R
由Bqv0＝ 得：
（2）粒子从A到E的运动时间t1＝·＝ ， 粒子从E到D的运动时间t2＝＝ ∴粒子从A到D的运动时间t＝t1＋t2＝(3＋)
【例2】带电粒子的质量为m，电量为q，以初速度v沿y轴正方向从原点O射入一半径为r的圆形磁场区域后，又从磁场射出。圆形磁场垂直于xoy平面，磁场边界过坐标原点O，磁感应强度为B，带电粒子的重力不计，它在磁场中作匀速圆周运动，轨迹圆半径R>r。（1）改变磁场区域的位置，可以改变带电粒子穿越磁场时的速度偏转角，为使偏转角有最大值，该磁场区域的圆心应在什么位置，最大偏转角多大？（2）为使带电粒子从圆形磁场区域中射出后能通过ox轴上某点，该磁场区域半径应满足怎样的条件？
【分析】粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，因磁场有界，磁场的位置不同，轨迹圆弧所对的弦长不同，弦长越大，偏转角越大，当弦长为圆形磁场的直径时，弦长最大，偏转角最大。
【解】（1）设粒子的P点射出磁场时，偏转角最大，则OP为磁场区域的直径，磁场的圆心为OP中点O1（如图所示），其坐标为：
x＝rcosα＝ y＝rsinα＝
设最大偏转角为φ， 则sin＝ ∴φ＝2arc sin
（2）要粒子能通过ox轴，粒子的最大偏转角φ必须大于，
即：2arcsin>，所以> 即： r>R
所以磁场区域的半径r必须满足r>R，才能使带电粒子能通过ox轴上某点。
【启迪】带电粒子在磁场中运动的速度偏转角等于轨迹圆弧所对的圆心角，了解轨迹圆弧所对的弦长最大时，速度偏转角最大，是解决本题的关键，在圆形磁场区域中，轨迹圆弧所对的最长的弦即为圆形磁场的直径。
四、确定有界磁场的边界
此类问题的特点是根据带电粒子在磁场中运动的特点研究有界磁场的边界。
【例1】在xoy平面内有许多电子（每个电子质量为m，电量为e），从坐标原点O不断地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限。现加上一个垂直于xoy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都平行于x轴正方向运动，试求出符合该条件的磁场的最小面积（不考虑电子之间的相互作用）。
【解析】电子在磁场中运动的半径为R＝
由O点射入的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过圆周，速度变为沿x轴的正方向，这条轨迹即为最小磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界。
设某一电子离开磁场时，其速度方向变为沿x轴正方向，其出射点坐标为（x，y），如图所示，由于出射点就是轨迹与磁场边界的交点，故找出x、y的关系方程，即找出了磁场的边界方程，设该电子初速度方向与x轴正方向成θ角，由图中几何关系可得：
x＝Rsinθ y＝R－Rcosθ
联立两式消去参数θ，可求出磁场区域的下边界方程为：
x2＋(R－y)2＝R2 （x>0，y>0），这是一个圆方程，圆心在（0，R）处
所以最小的磁场区域为图中两条圆弧所围成的区域，其面积为：
S＝2×(πR2－R2)＝＝
【启迪】确定有界磁场的边界一般有两种途径（1）通过分析一些特殊粒子的运动轨迹得出部分，如本题中磁场区域上边界的确定。（2）研究一般粒子的运动，利用几何知识求出其出射点坐标所满足的关系方程，即得到磁场的边界方程，如本题中磁场区域下边界的确定就是利用这种方法。
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