资源简介

4.1
任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、整合教材知识，落实基本能力
1．角的有关概念
角的特点
角的分类
从运动的角度看
角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看
可分为象限角和轴线角
α与β角的终边相同
β＝α＋k·2π，k∈Z
2．弧度的概念
(1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝.
(3)角度与弧度的换算：360°＝2π
rad，180°＝π
rad.
3．任意角的三角函数
设角α终边上异于顶点的任一点P(x，y)，其到原点O的距离为r，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(y≠0)．
三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
4．终边相同的角的三角函数：sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．(其中k∈Z)
5．扇形的弧长与面积公式：扇形的弧长l＝αr；扇形的面积S＝lr＝α·r2.
6．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan
α＝．
7．三角函数的诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
记忆规律
奇变偶不变，符号看象限
8．特殊角的三角函数值
角α度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
角α的弧度数
0
π
sin
α
0
1
0
cos
α
1
0
－
-
－
－1
tan
α
0
1
－
－1
－
0
1．同角三角函数关系式的常用变形(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；
sin
α＝tan
α·cos
α．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
象限角及终边相同的角
高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题.
1．(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是(　　)
A.
－是第二象限角
B.
是第三象限角
C.
－400°是第四象限角
D.
－315°是第一象限角
2．已知α为第三象限角，则在________象限．
考点二
三角函数的定义
任意角的三角函数?正弦、余弦、正切?的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.常见的命题角度有：(1)利用三角函数定义求值；(2)三角函数值符号的判定.
角度1　利用三角函数定义求值
1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝(　　)
A．
B．
C．－
D．－
2．(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sin
α＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
3．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是角α终边上的一点，则2sin
α＋cos
α＝________.
4．(2018·陕西质检(一))已知角α的终边过点P(4，－3)，则cos的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
角度2　三角函数值符号的判定
1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan
α>0，则(　　)
A．sin
α>0
B．cos
α>0
C．sin
2α>0
D．cos
2α>0
2．若sin
αtan
α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．已知点P(cos
α，tan
α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A.cos
2α>0
B.cos
2α<0
C.sin
2α>0
D.sin
2α<0
考点三
扇形的弧长及面积公式
高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题.
1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
考点四
三角函数的诱导公式
诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题．
　应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
1．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin(－x)＝sin
x
B.sin＝cos
x
C.cos＝－sin
x
D.cos(x－π)＝－cos
x
2．化简的结果是(　　)
A.－1
B.1
C.tan
α
D.－tan
α
3．＝(　　)
A．　
B．－
C．sin
α
D．－sin
α
熟知将角合理转化的流程：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
考点五
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题．
　同角三角函数基本关系的应用技巧
(1)弦切互化：利用公式tanα＝实现角α的弦切互化．
(2)和(差)积转换：利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α进行变形、转化．
(3)“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.
角度1　“知一求二”问题
1．(2015·福建高考)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于(　　)
A．　　　　　
B．－　　　　　C．
D．－
2．已知α是第四象限角，cos
α＝，则tan(π＋α)等于(　　)
A．　　　　　
B．－　　　　　C．
D．－
3．在△ABC中，若tan
A＝，则sin
A＝________．
4．(2019·福州模拟)若α∈(，π)，sin
(π－α)＝，则tan
α＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
　利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cos
α时，符号的选取．
5．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则tan
α＝________．
角度2　弦切互化
1．已知tan
α＝2，则的值为________．
2．若tan
α＝2，则
4sin2α－3sin
αcos
α－5cos2α＝________．
3．(2019·郑州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是(　　)
A．　　
　B．－
C．－3　　
　D．3
4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan
α＝，则cosα＋2sin
2α＝(　　)
A．
B．
C．1
D．
5．若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为________．
6．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)
A．
B．－
C．－7
D．7
7．若tan
α＝2，则＋cos2α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
8．(2021·全国Ⅰ卷)若，则（
）
A．
B．
C．
D．
　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
角度3　sin
α±cos
α与sin
αcos
α
或（sin
2α）关系的应用
1．已知sin
αcos
α＝，且＜α＜，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A．－　
B．
C．－
D．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
3．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
4．(2020·四川联考)在△ABC中，sin
A·cos
A＝－，则cos
A－sin
A的值为(　　)
A.－
B.－
C.
D.±4.1
任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、整合教材知识，落实基本能力
1．角的有关概念
角的特点
角的分类
从运动的角度看
角可分为正角、负角和零角
从终边位置来看
可分为象限角和轴线角
α与β角的终边相同
β＝α＋k·2π，k∈Z
2．弧度的概念
(1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝.
(3)角度与弧度的换算：360°＝2π
rad，180°＝π
rad.
3．任意角的三角函数
设角α终边上异于顶点的任一点P(x，y)，其到原点O的距离为r，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(y≠0)．
三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
4．终边相同的角的三角函数：sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．(其中k∈Z)
5．扇形的弧长与面积公式：扇形的弧长l＝αr；扇形的面积S＝lr＝α·r2.
6．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan
α＝．
7．三角函数的诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
记忆规律
奇变偶不变，符号看象限
8．特殊角的三角函数值
角α度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
角α的弧度数
0
π
sin
α
0
1
0
cos
α
1
0
－
-
－
－1
tan
α
0
1
－
－1
－
0
1．同角三角函数关系式的常用变形(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；
sin
α＝tan
α·cos
α．
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
象限角及终边相同的角
高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题.
1．(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是(　　)
A.
－是第二象限角
B.
是第三象限角
C.
－400°是第四象限角
D.
－315°是第一象限角
答案　BCD
解析　－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D正确.
2．已知α为第三象限角，则在________象限．
[解析]∵α为第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)．∴kπ＋<当k为偶数时，为第二象限角，当k为奇数时，为第四象限角．
[答案]　第二或第四
考点二
三角函数的定义
任意角的三角函数?正弦、余弦、正切?的定义属于理解内容.在高考中多以选择题、填空题的形式出现.常见的命题角度有：(1)利用三角函数定义求值；(2)三角函数值符号的判定.
角度1　利用三角函数定义求值
1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝(　　)
A．
B．
C．－
D．－
解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5，故cos
α＝＝＝－，选D.
2．(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sin
α＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
答案　D
解析　由任意角三角函数的定义得sin
α＝＝.故选D.
3．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是角α终边上的一点，则2sin
α＋cos
α＝________.
解析　　∵|OP|＝＝5|m|＝5m(m＞0)，
∴sin
α＝＝，cos
α＝＝－，∴2sin
α＋cos
α＝2×－＝.
4．(2018·陕西质检(一))已知角α的终边过点P(4，－3)，则cos的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析　∵角α的终边过点P(4，－3)，∴r＝5，由三角函数的定义得sin
α＝－，cos
α＝，
∴cos＝cos
α
cos－sin
α
sin
＝×－×＝，故选B．
角度2　三角函数值符号的判定
1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan
α>0，则(　　)
A．sin
α>0
B．cos
α>0
C．sin
2α>0
D．cos
2α>0
解析：选C　由tan
α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin
α与cos
α同号，故sin
2α＝2sin
acos
α>0，故选C.
2．若sin
αtan
α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析　C　由sin
αtan
α＜0可知sin
α，tan
α异号，从而可判断角α为第二或第三象限角．
由＜0可知cos
α，tan
α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角．综上可知，角α为第三象限角．
3．已知点P(cos
α，tan
α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选B　由题意得?所以角α的终边在第二象限．
4．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A.cos
2α>0
B.cos
2α<0
C.sin
2α>0
D.sin
2α<0
答案　D
解析　∵α是第四象限角，∴sin
α<0，cos
α>0，∴sin
2α＝2sin
αcos
α<0，故选D.
考点三
扇形的弧长及面积公式
高考对扇形的弧长、面积公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的应用，属于基础题.
1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解]　(1)设圆心角是θ，半径是r，
则解得(舍去)或
所以扇形的圆心角为.
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.
又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
考点四
三角函数的诱导公式
诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题．
　应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
1．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin(－x)＝sin
x
B.sin＝cos
x
C.cos＝－sin
x
D.cos(x－π)＝－cos
x
答案　CD
解析　sin(－x)＝－sin
x，故A不成立；sin＝－cos
x，故B不成立；
cos＝－sin
x，故C成立；cos(x－π)＝－cos
x，故D成立.
2．化简的结果是(　　)
A.－1
B.1
C.tan
α
D.－tan
α
答案　C
解析　原式＝＝＝tan
α，故选C.
3．＝(　　)
A．　
B．－
C．sin
α
D．－sin
α
解析：原式＝＝－．选B
熟知将角合理转化的流程：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
考点五
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题．
　同角三角函数基本关系的应用技巧
(1)弦切互化：利用公式tanα＝实现角α的弦切互化．
(2)和(差)积转换：利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α进行变形、转化．
(3)“1”的变换：1＝sin2α＋cos2α.
角度1　“知一求二”问题
1．(2015·福建高考)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于(　　)
A．　　　　　
B．－　　　　　C．
D．－
解析：选D　法一：因为α为第四象限角，故cos
α＝＝，所以tan
α＝＝＝－．
法二：因为α是第四象限角，sin
α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan
α＝＝－．
2．已知α是第四象限角，cos
α＝，则tan(π＋α)等于(　　)
A．　　　　　
B．－　　　　　C．
D．－
解析　因为α是第四象限角，cos
α＝，所以sin
α＝－，故tan(π＋α)＝tan
α＝＝－.选D
3．在△ABC中，若tan
A＝，则sin
A＝________．
解析：因为tan
A＝＞0，所以A为锐角，由tan
A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，可求得sinA＝.
4．(2019·福州模拟)若α∈(，π)，sin
(π－α)＝，则tan
α＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：因为α∈(，π)，sin
α＝，所以cos
α＝－，所以tan
α＝－.]
　利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cos
α时，符号的选取．
5．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　(1)由3cos
2α－8cos
α＝5，得3(2cos2α－1)－8cos
α＝5，
即3cos2α－4cos
α－4＝0，解得cos
α＝－或cos
α＝2(舍去).
又因为α∈(0，π)，所以sin
α＝＝＝.故选A.
6．已知α是三角形的内角，且sin
α＋cos
α＝，则tan
α＝________．
解析：由消去cos
α，整理得25sin2α－5sin
α－12＝0，
解得sin
α＝或sin
α＝－．因为α是三角形的内角，所以sin
α＝，
又由sin
α＋cos
α＝，得cos
α＝－，所以tan
α＝－．答案：－
角度2　弦切互化
1．已知tan
α＝2，则的值为________．
解析：3　[原式＝＝＝3.]
2．若tan
α＝2，则
4sin2α－3sin
αcos
α－5cos2α＝________．
解析：4sin2α－3sin
αcos
α－5cos2α＝＝＝1．
3．(2019·郑州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是(　　)
A．　　
　B．－
C．－3　　
　D．3
解析：由＝5得＝5，可得tan
α＝2，
则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcos
α＝＝＝.故选A.
4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan
α＝，则cosα＋2sin
2α＝(　　)
A．
B．
C．1
D．
解析：∵tan
α＝，则cosα＋2sin
2α＝＝＝＝，故选A．
5．若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为________．
解析：　[3sin
α＋cos
α＝0?cos
α≠0?tan
α＝－，
＝＝＝＝.]
6．已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)
A．
B．－
C．－7
D．7
解析：选A　∵sin(2π－α)＝，∴－sin
α＝，即sin
α＝－，又∵α∈，
∴cos
α＝＝
＝，∴＝＝＝．
7．若tan
α＝2，则＋cos2α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A　＋cos2α＝＋＝＋＝．
8．(2021·全国Ⅰ卷)若，则（
）
A．
B．
C．
D．
解：
．故选：C．
　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
角度3　sin
α±cos
α与sin
αcos
α
或（sin
2α）关系的应用
1．已知sin
αcos
α＝，且＜α＜，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A．－　
B．
C．－
D．
解析：∵＜α＜，∴cos
α＜0，sin
α＜0且cos
α＞sin
α，∴cos
α－sin
α＞0．
又(cos
α－sin
α)＝1－2sin
αcos
α＝1－2×＝，∴cos
α－sin
α＝．选B
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：选A　将sin
α－cos
α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin
αcos
α＋cos2α＝，即sin
2α＝－．
3．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：因为(sin
θ＋cos
θ)＝sinθ＋cosθ＋2sin
θ·cos
θ＝1＋2sin
θcos
θ＝，所以2sin
θcos
θ＝，则(sin
θ－cos
θ)＝sinθ＋cosθ－2sin
θ·cos
θ＝1－2sin
θcos
θ＝．又因为θ∈，所以sin
θ＜cos
θ，
即sin
θ－cos
θ＜0，所以sin
θ－cos
θ＝－．
4．(2020·四川联考)在△ABC中，sin
A·cos
A＝－，则cos
A－sin
A的值为(　　)
A.－
B.－
C.
D.±
答案　B
解析　∵在△ABC中，sin
A·cos
A＝－，∴A为钝角，∴cos
A－sin
A<0，
∴cos
A－sin
A＝－＝－＝－＝－.

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