资源简介

5.1
平面向量
一、整合教材知识，落实基本能力
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法和减法
加法
减法
定义
求两个向量和的运算
向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
法则(或几何意义)
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
a－b＝a＋(－b)
3．实数与向量的积
(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa
5．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
6．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
7．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘
设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，|a|＝
向量坐标的求法
设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)
＝(x1，y1)，
(2)
＝(x2－x1，y2－y1)，||＝
8．向量共线的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b
?x1y2－x2y1＝0.
[知识拓展]
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.
9．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180
?a∥b，θ＝90°
?a⊥b
10．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos
θ叫做a与b的数量积，记作a·b．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
投影
|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos
θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
11．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
12．平面向量数量积的性质及其坐标表示：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤·
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．
两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
向量的有关概念
高考对本部分内容不会单独考查，多渗透到平面向量的线性运算中，难度较小.
1．(2016·郑州二模)已知a，b，c是任意向量，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a∥b，则a，b方向相同或相反；
③若a＝－b，则|a|＝|b|；
④若a，b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
2．(2016·威海模拟)判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的是________．
3．(多选题)(2021·济宁月考)下列说法正确的是(　　)
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
考点二
平面向量基本定理及其应用
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目．
　平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
2．(2018·全国卷Ⅰ)在△中，为边上的中线，为的中点，则(　　)
A.
B.
C.
D.
3．D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
4．(2020·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－＋　　
B.＋
C.－　　　
D.－
考点三
平面向量的坐标运算
高考对平面向量坐标运算的考查主要是用坐标进行线性运算、用坐标运算进行向量的分解.高考中该类问题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，为中低档题.
1．(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则
2a－b＝(　　)
A．(5,7)　　　　　B．(5,9)　　　　　C．(3,7)
　　　　D．(3,9)
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝(　　)
A．4a－2b　　　B．4a＋2b
C．－2a＋4b
D．2a＋4b
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．　　　B．　　　　　C．(3,2)
　　　　　
D．(1,3)
4．向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
考点四
平面向量共线的坐标表示
高考中对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的.考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等.向量共线问题常见题型有两种，一是根据条件证明三点共线，二是利用三点共线求参数的值.题目难度一般较小.
　两平面向量共线的充要条件有2种形式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)已知b≠0，则a∥b的充要条件是存在唯一实数λ，使得a＝λb(λ∈R).
1．(2018·郑州第二次质量预测)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)
A．－4
B．1
C．0
D．－2
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－5，－10)
B．(－2，－4)
C．(－3，－6)
D．(－4，－8)
3．(2016·攀枝花模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A.
B.
C．1
D．2
4．(2016·金华联考)已知向量m＝(λ－1,1)，n＝(λ－2,2)，若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.
5．(2016·沈阳模拟)已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
6．(2016·郑州模拟)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)A．－
B.
C.
D.
7．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
考点五
平面向量的数量积的运算
平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要有利用数量积定义求值、在具体平面图形中计算数量积的值，一般难度较小，属于基础题.
　平面向量数量积的3种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
角度1　利用数量积定义进行运算
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1
　　　　B．0　　　　C．1
　　　　D．2
2．(2016·云南师大附中月考)设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝(　　)
A．－6　　　　B.　　　　
C.
D．10
3．(2016·云南检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)A．－　　　　
B．－　　　　
C.
D.
4．(2018·太原模拟(二))已知a＝(2,1)，b＝(－1,1)，则a在b方向上的投影为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
5．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
6．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　B．－2　　　C．2　　　D．3
角度2　平面图形中数量积的运算
1．(2017·南宁)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
2．(2018·云南第一次统一检测)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)A．48　　　　　　B．36　　　　　　C．24　　　　　　D．12
3．(2019·昆明模拟)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________．
4．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·＝(　　)A．16
B．12
C．8
D．－4
考点六
平面向量数量积的性质
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.,常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.
角度1　平面向量的模
　求向量模的方法
利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
1．(2019·昆明调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　)
A．
B．2
C．
D．10
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
3．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
4．(2018·合肥二检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(　　)
A．2
B．2
C．3
D．2
5．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
角度2　平面向量的夹角
　求向量夹角问题的方法
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos
θ＝求得．
(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos
〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π].
(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．(2018·济南一模)设向量a与b的夹角为θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，则cos
θ＝________.
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A．30°　　　B．45°
C．60°
D．120°
4．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．
5．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)A．－2
B．－1
C．1
D．2
角度3　平面向量的垂直
　a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
1．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
2．(2018·深圳)已知平面向量a，b，若|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角θ＝，且(a－mb)⊥a，则m＝(　　)
A.
B．1
C.
D．2
3．(2018·湘中名校联考)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
5．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A.a＋2b
B.2a＋b
C.a－2b
D.2a－b
考点七
平面向量与三角函数的综合
平面向量与三角函数的综合在高考中常有考查.题型多以解答题形式呈现，难度中等，其共同特点是充分体现平面向量的载体性与工具性.
　平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．
1．在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)
A．4
B．5
C．2
D．3
2．(多选题)(2021·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)
A.|a＋b|＝2
B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为
D.|a－b|＝1
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝sin
2C.
①求角C的大小；②若sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，且·(－)＝18，求c.5.1
平面向量
一、整合教材知识，落实基本能力
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法和减法
加法
减法
定义
求两个向量和的运算
向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
法则(或几何意义)
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
a－b＝a＋(－b)
3．实数与向量的积
(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa
5．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
6．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
7．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘
设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，|a|＝
向量坐标的求法
设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)
＝(x1，y1)，
(2)
＝(x2－x1，y2－y1)，||＝
8．向量共线的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b
?x1y2－x2y1＝0.
[知识拓展]
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.
9．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180
?a∥b，θ＝90°
?a⊥b
10．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos
θ叫做a与b的数量积，记作a·b．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
投影
|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos
θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
11．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
12．平面向量数量积的性质及其坐标表示：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤·
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．
两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
向量的有关概念
高考对本部分内容不会单独考查，多渗透到平面向量的线性运算中，难度较小.
1．(2016·郑州二模)已知a，b，c是任意向量，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a∥b，则a，b方向相同或相反；
③若a＝－b，则|a|＝|b|；
④若a，b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选D　按照平面向量的概念逐一判断．若b＝0，则①②都错误；若a＝－b，则|a|＝|b|，③正确；若a，b不共线，则a，b中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．
2．(2016·威海模拟)判断下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的是________．
解析：两向量相等，则长度相等且方向相同，故只有④正确．
答案：④
3．(多选题)(2021·济宁月考)下列说法正确的是(　　)
A.非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件
B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向
D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
答案　ABC
解析　根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
考点二
平面向量基本定理及其应用
高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目．
　平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A．
2．(2018·全国卷Ⅰ)在△中，为边上的中线，为的中点，则(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：
，
所以，故选A.
3．D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)
A．－＋
B．－－
C．－
D．＋
解析：A　如图，＝＋＝＋＝－＋.
4．(2020·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－＋　　
B.＋
C.－　　　
D.－
答案　D
解析　＝－，＝＋.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴＝，＝，
∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－，
又＝，∴＝－.
考点三
平面向量的坐标运算
高考对平面向量坐标运算的考查主要是用坐标进行线性运算、用坐标运算进行向量的分解.高考中该类问题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，为中低档题.
1．(2014·北京高考)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则
2a－b＝(　　)
A．(5,7)　　　　　B．(5,9)　　　　　C．(3,7)
　　　　D．(3,9)
解析：选A　因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，故选A.
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝(　　)
A．4a－2b　　　B．4a＋2b
C．－2a＋4b
D．2a＋4b
解析：选A　设c＝λa＋μb，则有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，从而μ＝－2，故c＝4a－2b.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．　　　B．　　　　　C．(3,2)
　　　　　
D．(1,3)
解析：设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，∴∴故选A．
4．向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：D　[以O为坐标原点，建立坐标系可得a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R).∴解得λ＝－2，μ＝－.
∴＝4.]
考点四
平面向量共线的坐标表示
高考中对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的.考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等.向量共线问题常见题型有两种，一是根据条件证明三点共线，二是利用三点共线求参数的值.题目难度一般较小.
　两平面向量共线的充要条件有2种形式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)已知b≠0，则a∥b的充要条件是存在唯一实数λ，使得a＝λb(λ∈R).
1．(2018·郑州第二次质量预测)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)
A．－4
B．1
C．0
D．－2
解析：a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A．
2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－5，－10)
B．(－2，－4)
C．(－3，－6)
D．(－4，－8)
解析：选D　由a∥b，得m＋4＝0，即m＝－4，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
3．(2016·攀枝花模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A.
B.
C．1
D．2
解析：选B　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)．∵(a＋λb)∥c，∴4(1＋λ)＝6，∴λ＝.
4．(2016·金华十校联考)已知向量m＝(λ－1,1)，n＝(λ－2,2)，若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.
解析：由m∥n可得2(λ－1)＝λ－2，解得λ＝0，此时|n|＝＝2.
答案：0　2
5．(2016·沈阳模拟)已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：因为a∥b，所以(1－sin
θ)(1＋sin
θ)＝，即1－sin2θ＝，
∴sin2θ＝，又θ为锐角，∴sin
θ＝.∴θ＝45°.
答案：B
6．(2016·郑州模拟)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－
B.
C.
D.
解析：选A　＝－＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，
＝－
＝(－k,10)－(4,5)＝(－k－4,5)，
∵A，B，C三点共线∴5(4－k)＝7(k＋4)．解得k＝－.
7．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．故选B．
8．(2017·广东七校联考)已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是(　　)
A．m＋n＝1
B．m＋n＝－1
C．mn＝1
D．mn＝－1
解析：因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，
即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，
所以则mn＝1，故选C．
9．(2021·福州联考)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，且a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　)
A.8
B.9
C.6
D.4
解析：由题意知＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2).
因为A，B，C三点共线，设＝λ，则(a－1，1)＝λ(－b－1，2).
∴得2a＋b＝1.
又a>0，b>0，则＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即a＝，b＝时，等号成立.∴＋的最小值为8.
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.
考点五
平面向量的数量积的运算
平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要有利用数量积定义求值、在具体平面图形中计算数量积的值，一般难度较小，属于基础题.
　平面向量数量积的3种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
角度1　利用数量积定义进行运算
1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1
　　　　B．0　　　　C．1
　　　　D．2
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.
2．(2016·云南师大附中月考)设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝(　　)
A．－6　　　　B.　　　　
C.
D．10
解析：∵a∥b，∴2x＝－4，即x＝－2.
∴a·b＝(1，－2)·(2，－4)＝2＋8＝10.
3．(2016·云南检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)
A．－　　　　
B．－　　　　
C.
D.
解析：选D　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
4．(2018·太原模拟(二))已知a＝(2,1)，b＝(－1,1)，则a在b方向上的投影为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：由题意，得|b|＝，a·b＝－1，所以a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝＝－，故选A.
5．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos
60°＝2××＝10.
答案：10
6．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　B．－2　　　C．2　　　D．3
解析：∵＝－＝(1，t－3)，∴||＝＝1，∴t＝3，
∴·＝(2，3)·(1，0)＝2.
角度2　平面图形中数量积的运算
1．(2017·南宁)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　)
A．－　　　B．　　　C．－　　　D．
解析：由等边三角形的性质得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝××＝－，故选A.
2．(2018·云南第一次统一检测)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)
A．48　　　　　　B．36　　　　　　C．24　　　　　　D．12
解析：选C　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
3．(2019·昆明模拟)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________．
解析：24　[法一：(定义法)·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝×82－×62＝24.
法二：(特例图形)：若?ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4，6)，M(8，4).
所以＝(8，4)，＝(4，－2)
所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.]
4．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·＝(　　)
A．16
B．12
C．8
D．－4
解析：A　[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，b)，因为AE⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2，3)＝0，所以b＝，所以E，＝，所以·＝16，故选A.]
考点六
平面向量数量积的性质
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.,常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.
角度1　平面向量的模
　求向量模的方法
利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
1．(2019·昆明调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　)
A．
B．2
C．
D．10
解析：因为a＝(－1，2)，所以2a＝(－2，4)，因为b＝(1，3)，所以2a－b＝(－3，1)，所以|2a－b|＝，故选C.
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：|a＋2b|＝＝＝＝＝2.
3．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析：由a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×3×cos
120°＝－，
得|5a－b|＝＝＝
＝7.答案：7
4．(2018·合肥二检)设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(　　)
A．2
B．2
C．3
D．2
解析：由|a＋b|＝4两边平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，
则|a－b|＝＝＝＝2，故选B．
5．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.
解析：·＝||·||cos
60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案：
角度2　平面向量的夹角
　求向量夹角问题的方法
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos
θ＝求得．
(2)坐标法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos
〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π].
(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos
〈a，b〉－|b|2＝0，即cos
〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选B.
法二：如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b，因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，
又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故选B.
2．(2018·济南一模)设向量a与b的夹角为θ，若a＝(3，－1)，b－a＝(－1,1)，则cos
θ＝________.
解析：由题意得向量b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以cos
θ＝＝＝.
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A．30°　　　B．45°
C．60°
D．120°
解析：因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.
4．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且(a＋2b)·(a－b)＝－2，则向量a与b的夹角为________．
解析：设a与b的夹角为θ.依题意得a2－2b2＋a·b＝－2,4－8＋4cos
θ＝－2，cos
θ＝.又θ∈[0，π]，因此θ＝，即向量a与b的夹角为.
答案：
5．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝.
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：选D　∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，
∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.
角度3　平面向量的垂直
　a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
1．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与向量b的夹角为，故选B.
2．(2018·深圳)已知平面向量a，b，若|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角θ＝，且(a－mb)⊥a，则m＝(　　)
A.
B．1
C.
D．2
解析：B　[由(a－mb)⊥a可得(a－mb)·a＝a2－ma·b＝3－m××2×cos＝0，解得m＝1，故选B．
3．(2018·湘中名校联考)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选D　因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，
即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，)，|a|＝2.
4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
答案　
解析　由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝.
5．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A.a＋2b
B.2a＋b
C.a－2b
D.2a－b
解析　易知a·b＝|a||b|cos
60°＝，则b·(a＋2b)＝≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，
b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－≠0，b·(2a－b)＝0.因此b⊥(2a－b).
考点七
平面向量与三角函数的综合
平面向量与三角函数的综合在高考中常有考查.题型多以解答题形式呈现，难度中等，其共同特点是充分体现平面向量的载体性与工具性.
　平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．
1．在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)
A．4
B．5
C．2
D．3
解析　∵＝(2，2)，∴||＝2，∴·＝||||cos
A＝2×2cos
A＝－4，
∴cos
A＝－，又A∈(0，π)，∴sin
A＝，∴S△ABC＝||||sin
A＝2，故选C.
2．(多选题)(2021·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　)
A.|a＋b|＝2
B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为
D.|a－b|＝1
解析　|a＋b|＝＝，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；
cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.故选BC.
3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝sin
2C.
①求角C的大小；
②若sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
解　①m·n＝sin
A·cos
B＋sin
B·cos
A＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0所以sin(A＋B)＝sin
C，
所以m·n＝sin
C，又m·n＝sin
2C，
所以sin
2C＝sin
C，cos
C＝.
又因为C∈(0，π)，故C＝.
②由sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，可得2sin
C＝sin
A＋sin
B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，所以·＝18，
即abcos
C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.

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