资源简介

6.1
数列
一、整合教材知识，落实基本能力
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
3．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N
，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，b，c成等差数列的充要条件是2b＝a+c，其中b叫做a，c的等差中项．
4．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
5．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d
(n，m∈N
)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am+an＝ap+aq＝2ak；
6．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项．即：b是a与c的等比中项?a，b，c成等比数列?b2＝ac.
7．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝
8．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N
)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am·an＝ap·aq＝a；
二、精研高考题点，提升备考知能
第一部分
等差等比数列
考点一
数列的基本运算
数列的基本运算是高考中的常考内容，多出现在选择题、填空题和解答题的第(1)问中，属于基础题.
对于数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，d或q．
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A.
B.
C．10
D．12
解析：选B　∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100
B．99
C．98
D．97
解析：C　法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C．
法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C．
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1　　　B．2
C．4
D．8
解析：设{an}的公差为d，则由得解得d＝4.
故选C．
4．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A．－12
B．－10
C．10
D．12
解析：B　[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]
5．(2017·云南省二次检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)
A．9
B．10
C．11
D．15
解析：设等差数列{an}的公差为d，依题意解得
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.
6．[多选]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5　
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝n2－4n
解析：
由题意知，解得∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选AD.
7．(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.
所以S5＝＝＝.
8．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)
A．1　　　　　　B．－
C．1或－
D．－1或
解析：C根据已知条件得②÷①得＝3.
整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
9．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21
B．42
C．63
D．84
解析：选B　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.
10．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于
解析：设等比数列的公比为q，则有解得或
又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.
11．(2016·山西联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)
A．31
B．36
C．42
D．48
解析：选A　由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A.
12．(2016·湖南联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则q>0，由题意得则解得q＝3(负值舍去)，a1＝，所以a4＋a5＝×33＋×34＝27.
答案：27
13．(2016·南宁)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列，则an＝________.
解析：设数列{an}的公比为q，∵2a1，a3,3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，2a1＋3a1q＝2a1q2，
2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.
∵q>0，∴q＝2.∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.
答案：2n
14．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)
A．－24
B．－3
C．3
D．8
解析：由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.
所以S6＝6×1＋＝－24.故选A．
15．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.　
解析：∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.
答案：　－1
16．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A.2n－1
B.2－21－n
C.2－2n－1
D.21－n－1
答案　B
解析　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2.
所以＝＝＝2－21－n.
考点二
等差等比数列的性质
等差等比数列的性质在高考中也是常考内容.灵活应用由定义推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的.常以选择题、填空题的形式出现.题型既有选择题、填空题也有解答题，难度不大.
1．(2016·泉州质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a14＝10，则S18＝(　　)
A．20
B．60
C．90
D．100
解析：选C　因为{an}是等差数列，所以S18＝＝9(a5＋a14)＝90.
2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5
B．7
C．9
D．11
解析：A　a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.
3．(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
解析：因为等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，所以5a5＝25，即a5＝5.所以a2＋a8＝2a5＝10.
答案：10
4．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝2π，则tan(a3＋a5)的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：由a1＋a4＋a7＝2π，可知a4＝，a3＋a5＝2a4＝，从而tan(a3＋a5)＝tan
＝.
5．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a2＝2，则a4＝________.
解析：8　由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，∴a4＝8.
6．(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)
A．1
B．±1
C．2
D．±2
解析：选A　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.
7．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A.12
B.24
C.30
D.32
解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，
所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.
8．(2014·广东高考)等比数列
{an}的各项均为正数，且a1a5＝4
，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
解析：由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是，由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝25，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5
答案：5
9．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析：∵∴∴Sn的最大值为S5.
答案：S5
10．(2018·云南二检)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)
A．15
B．20
C．26
D．30
解析：C　设数列{an}的公差为d，则d＝(a5－a1)＝－3，所以an＝11－3(n－1)＝14－3n，令an＝14－3n≥0，解得n≤，所以Sn的最大值为S4＝4×11＋×(－3)＝26，故选C．
11．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15　
B．S16
C．S15或S16
D．S17
解析：选A　∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
考点三
等差、等比数列的判定与证明
数列的判定与证明是高考中常见题型，其基本方法是数列的定义，即证明an＋1－an＝d或＝q是一个与n无关的常数，既有选择题、填空题也有解答题，但以解答题为主，难度不大.
　等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
1．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，
故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.答案：27
2．(2015·广州调研)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.
解析：由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，故数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝2＋100×＝52.
答案：52
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解析：(1)设{an}的公比为q.由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
4．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.
答案：6
5．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2.
掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N
)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N
)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N
)，则数列{an}是等比数列
通项公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N
)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
第二部分
求数列的通项公式
考点一
由an与Sn的关系求通项
由an与Sn的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低.
　已知Sn求an的3个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
角度1　已知Sn与n的关系式，求an
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
角度2　由Sn与an的关系式，求an，Sn
1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
2．(2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N
)，则an＝(　　)
A．2n＋1
B．2n
C．2n－1
D．2n－2
解析：由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，
∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．
3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考点二
由递推公式求数列的通项公式
由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答题的第(1)问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.
　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
　利用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝
f(n－1)＋
f(n－2)＋…＋
f(1)＋a1求解．
1．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足上式，∴an＝(n∈N
)．
答案：an＝(n∈N
)
[方法点拨]　叠加法求通项公式的4步骤
2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
解析：4－　[原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，
an＝an－1＋－，逐项相加得an＝a1＋1－，
故an＝4－，经验证a1，a2也符合．]
3．(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列前10项的和为________．
解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N
)．∴＝＝2.
∴S10＝2×＝2×＝.答案：
　累乘法——形如＝f(n)，求an
　利用an＝···…···a1求解．
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．
解析：∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N
)．
答案：an＝(n∈N
)
　反复构造“”是解答此类问题的关键．
[方法点拨]　叠乘法求通项公式的4步骤
2．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求an.
解析：由an＋1＝·an，得＝，
当n≥2，n∈N
时，an＝··…··a1＝··…··＝，即an＝.
又当n＝1时，＝＝a1，故an＝.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，求数列{an}的通项公式．
[解]　∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝
又a1＝1适合上式，故an＝．
角度3　构造法求通项公式
--形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
　求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为(an＋1＋x)＝A(an＋x)，先求出x，再借助等比数列{an＋x
}求解．
1．(2019·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N
)．
答案：an＝2·3n－1－1(n∈N
)
　构造“an＋1＋1＝3(an＋1)”是解答本题的关键．
2．(2021·衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N
，则数列{an}的通项公式为________.
答案　an＝2n－1，n∈N
解析　因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
所以an＝2n－1，n∈N
.
　取倒数法——形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
　将原式变形为＝·＋.
①若A＝C，则是等差数列，且公差为，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，构造新数列求解．
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N
)，则数列{an}的通项公式an＝________．
[解]　　[∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.]
　求解本题的关键是对等式取倒数变形后，发现成等差数列．
2．(2019·张家界模拟)若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第10项a10＝(　　)
A．28
B．29
C．
D．
[解]　C　[∵an＋1＝，两边取倒数得－＝3，又
a1＝1所以数列表示首项为1，公差为3的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即an＝，
所以a10＝＝，故选C.]
第三部分
数列求和
1．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
考点一
分组转化法求和
分组转化法求和是将数列通项拆成若干个等差或等比数列，然后利用等差等比求和公式分别进行数列求和而后相加减．在高考中多在解答题的第(2)问中出现，难度中档.
　分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝2＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得解得∴an＝2n－1.
(2)bn＝2＋2n＝·4n＋2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝·4n＋n2＋n－.
2．(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
解析：(1)设等比数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1．
设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1．
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.
3．(2021·辽宁测试)已知等比数列的公比，且，，成等差数列．
求及；设，求数列的前5项和．
【答案】解：由已知得，，，
又，，成等差数列，可得：，
所以，解得，故；
因为，
所以
．
4.(2021·浙江测试)设是公比为q的等比数列，为数列的前n项和，已知，且，，构成等差数列．
求数列的通项公式；
当时，令，求数列的前n项和．
【答案】解：，且，，构成等差数列，
可得，，即，
解得，或，，
则或；
当时，，
，
则前n项和
．
5.(2021·甘肃模拟)已知数列为正项等比数列，为的前n项和，若，．
求数列的通项公式；
从三个条件：；；中任选一个作为已知条件，求数列的前n项和．
【答案】解：设数列的公比为q，因为，所以，
故，解得：或舍去，故．
由，得：，将代入得：，
所以数列的通项公式为：；
选择：
，
数列是首项为，公比为的等比数列，所以．
选择,
，
所以．
选择,
，
数列是首项为0，公差为1的等差数列．所以．
考点二
裂项相消法求和
裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的.
常见的命题角度有：(1)形如an＝型;(2)形如an＝
型;
常见的拆项公式
(1)；
；
＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝(－).
角度1　形如an＝型
1．(2011·潍坊)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{}的前n项和Sn＝________.
解析：由a1＝3，a4＝81，得q3＝＝27，∴q＝3.∴an＝3n.
∴bn＝log3an＝log33n＝n.又b1＝log3a1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝＝－.
∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝
答案：
2．(2012·大纲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．已知等差数列满足：.的前
项和为。
(1)求及；(2)令，求数列的前项和.
解：(1)设等差数列的首项为，公差为d，由于，
所以,解得=3,
d=2
代入公式得，
因为，所以，因此
所以==
所以数列的前项和=.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．
解：（1）由，可得n＝1时，，解得，
n≥2时，，又，
两式相减可得，即有，
数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以；
设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，
可得，所以；
（2）证明：
所以
则3Tn＜1．
6．设数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为，若，求的值．
详解（1）当时，，
当时，，满足通式，故，
（2）由（1）知
，
故
若，解得.
7．（2021·全国高二期末）已知数列的前项和为，且，.
（1）证明数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由，，则，
∴两式相减可得：，
，，又，
，是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）知：，
，，
.
8．(2021·辽宁测试)在等差数列中，为其前n项和，且，．
求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．
【答案】解：由已知条件得，解得，，．
由知，，，
9．(2021·浙江测试)已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
求数列的通项公式，
设，为数列的前n项和，记，求．
解：数列是公比q大于1的等比数列，，且是与的等差中项，
可得，即有，解得舍去，，
则；
，
可得，，
．
10．(2021·浙江测试)已知数列的前n项和为，满足
求数列的通项公式；
若，，设数列前n项和求证：．
解：时，，，
，，
，
得，，
数列是以，的等比数列，所以数列的通项公式为；
证明：，
则
．
11．(2021·浙江测试)记为等差数列的前n项和．已知，公差，，，成等比数列．
求数列的通项公式；求数列前n项和为．
【答案】解：，，成等比数列，，
，?
?，
解得或，，．
数列的通项公式．
，
，?
．
[易错警示]　利用裂项相消法求和的注意事项
1抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
角度2　形如an＝
型
1．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于(　　)
A．9
B．99
C．10
D．100
解析：B　∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故选B．
2．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N
.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2
018＝(　　)
A.－1
B.－1
C.－1
D.＋1
解析：选C　由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝，则f(x)＝.
∴an＝＝＝－，
S2
018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2
018＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.
裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
考点三
错位相减法求和
错位相减法求和在高考中几乎年年考查，多在解答题的第(2)问中出现，难度中档.
　
错位相减法求和的具体步骤
步骤1→写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn.
步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn.
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和．
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论．
1．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，
两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
∴an＋1＝3an，∴＝3.
当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.
∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．∴an＝3×3n－1＝3n.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，
∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①
3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②
①－②得
－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1
＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1＝－6－(2n－2)·3n＋1.
∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.
2．(2019·烟台一模)已知等差数列{an}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
[解]　(1)因为{an}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，
即(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，
Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，
两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－n×，
所以Tn＝－n×＝1－－.
所以Tn＝2－.
3．(2021·武汉调研)在①S3－S2＝a2＋2a1，②2a2＝a4－a3，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
设数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn.已知a1＝2，________.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1＋2log2an，Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　(1)若选①，设等比数列{an}的公比为q.
∵a1＝2，S3－S2＝a2＋2a1，
∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.
∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n.
若选②，设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
由2a2＝a4－a3可得2a2＝a2q2－a2q.
∵a2≠0，∴2＝q2－q，即q2－q－2＝0.
∵q＞0，∴q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)知bn＝1＋2log2an＝1＋2log22n＝2n＋1，
∴Tn＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)·2n，
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，
两式相减得－Tn＝3×21＋2×22＋2×23＋…＋2·2n－(2n＋1)·2n＋1＝6＋－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2·2n＋1－8－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1，
∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
解　(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得a2＝5，a3＝7.
猜想an＝2n＋1.证明如下：
由an＋1＝3an－4n，得an＝3an－1－4n＋4(n≥2)，
则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].
又a1＝3，知a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，
则an＝2n＋1.
(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，
所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①
从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②
①－②得
－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，
所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.6.1
数列
一、整合教材知识，落实基本能力
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2．an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
3．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N
，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，b，c成等差数列的充要条件是2b＝a+c，其中b叫做a，c的等差中项．
4．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
5．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d
(n，m∈N
)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am+an＝ap+aq＝2ak；
6．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项．即：b是a与c的等比中项?a，b，c成等比数列?b2＝ac.
7．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝
8．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N
)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am·an＝ap·aq＝a；
二、精研高考题点，提升备考知能
第一部分
等差等比数列
考点一
数列的基本运算
数列的基本运算是高考中的常考内容，多出现在选择题、填空题和解答题的第(1)问中，属于基础题.
对于数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，d或q．
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)
A.
B.
C．10
D．12
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100
B．99
C．98
D．97
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1　　　B．2
C．4
D．8
4．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)
A．－12
B．－10
C．10
D．12
5．(2017·云南省二次检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)
A．9
B．10
C．11
D．15
6．[多选]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5　
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝n2－4n
7．(2019·全国Ⅰ卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
8．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)
A．1　　　　　　B．－
C．1或－
D．－1或
9．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21
B．42
C．63
D．84
10．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.
11．(2016·山西联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)A．31
B．36
C．42
D．48
12．(2016·湖南联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________.
13．(2016·南宁)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列，则an＝________.
14．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A．－24
B．－3
C．3
D．8
15．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.　
16．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A.2n－1
B.2－21－n
C.2－2n－1
D.21－n－1
考点二
等差等比数列的性质
等差等比数列的性质在高考中也是常考内容.灵活应用由定义推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的.常以选择题、填空题的形式出现.题型既有选择题、填空题也有解答题，难度不大.
1．(2016·泉州质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a14＝10，则S18＝(　　)
A．20
B．60
C．90
D．100
2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5
B．7
C．9
D．11
3．(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
4．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝2π，则tan(a3＋a5)的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
5．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a2＝2，则a4＝________.
6．(2018·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)
A．1
B．±1
C．2
D．±2
7．(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A.12
B.24
C.30
D.32
8．(2014·广东高考)等比数列
{an}的各项均为正数，且a1a5＝4
，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
9．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
10．(2018·云南二检)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是(　　)
A．15
B．20
C．26
D．30
11．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15　
B．S16
C．S15或S16
D．S17
求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
考点三
等差、等比数列的判定与证明
数列的判定与证明是高考中常见题型，其基本方法是数列的定义，即证明an＋1－an＝d或＝q是一个与n无关的常数，既有选择题、填空题也有解答题，但以解答题为主，难度不大.
　等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
1．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
2．(2015·广州调研)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1，则a101＝________.
3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
4．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
5．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．
掌握等比数列的4种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N
)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N
)，则{an}是等比数列
中项公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N
)，则数列{an}是等比数列
通项公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N
)，则{an}是等比数列
前n项和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
第二部分
求数列的通项公式
考点一
由an与Sn的关系求通项
由an与Sn的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点，近几年来考查难度有所降低.
　已知Sn求an的3个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
角度1　已知Sn与n的关系式，求an
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________．
角度2　由Sn与an的关系式，求an，Sn
1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
2．(2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N
)，则an＝(　　)
A．2n＋1
B．2n
C．2n－1
D．2n－2
3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考点二
由递推公式求数列的通项公式
由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题，也出现在解答题的第(1)问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.
　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
　利用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝
f(n－1)＋
f(n－2)＋…＋
f(1)＋a1求解．
1．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________________．
[方法点拨]　叠加法求通项公式的4步骤
2．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
3．(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N
)，则数列前10项的和为________．
　累乘法——形如＝f(n)，求an
　利用an＝···…···a1求解．
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．
　反复构造“”是解答此类问题的关键．
[方法点拨]　叠乘法求通项公式的4步骤
2．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·an，求an.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，求数列{an}的通项公式．
角度3　构造法求通项公式
--形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
　求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为(an＋1＋x)＝A(an＋x)，先求出x，再借助等比数列{an＋x
}求解．
1．(2019·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
　构造“an＋1＋1＝3(an＋1)”是解答本题的关键．
2．(2021·衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N
，则数列{an}的通项公式为________.
　取倒数法——形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
　将原式变形为＝·＋.
①若A＝C，则是等差数列，且公差为，可直接用公式求通项；②若A≠C，则采用待定系数法，构造新数列求解．
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N
)，则数列{an}的通项公式an＝________．
　求解本题的关键是对等式取倒数变形后，发现成等差数列．
2．(2019·张家界模拟)若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第10项a10＝(　　)
A．28
B．29
C．
D．
第三部分
数列求和
1．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：
①＝－；
②＝；
③＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
考点一
分组转化法求和
分组转化法求和是将数列通项拆成若干个等差或等比数列，然后利用等差等比求和公式分别进行数列求和而后相加减．在高考中多在解答题的第(2)问中出现，难度中档.
　分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn＝2＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
2．(2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
3．(2021·辽宁测试)已知等比数列的公比，且，，成等差数列．
求及；设，求数列的前5项和．
4.(2021·浙江测试)设是公比为q的等比数列，为数列的前n项和，已知，且，，构成等差数列．
求数列的通项公式；当时，令，求数列的前n项和．
5.(2021·甘肃模拟)已知数列为正项等比数列，为的前n项和，若，．
求数列的通项公式；
从三个条件：；；中任选一个作为已知条件，求数列的前n项和．
考点二
裂项相消法求和
裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的.
常见的命题角度有：(1)形如an＝型;(2)形如an＝
型;
常见的拆项公式
(1)；
；
＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝(－).
角度1　形如an＝型
1．(2011·潍坊)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列{}的前n项和Sn＝________.
2．(2012·大纲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.
B.
C.
D.
3．已知等差数列满足：.的前
项和为。
(1)求及；(2)令，求数列的前项和.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．
（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．
6．设数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为，若，求的值．
7．（2021·全国高二期末）已知数列的前项和为，且，.
（1）证明数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和.
8．(2021·辽宁测试)在等差数列中，为其前n项和，且，．
求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．
9．(2021·浙江测试)已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．
求数列的通项公式，设，为数列的前n项和，记，求．
10．(2021·浙江测试)已知数列的前n项和为，满足
求数列的通项公式；若，，设数列前n项和求证：．
11．(2021·浙江测试)记为等差数列的前n项和．已知，公差，，，成等比数列．
求数列的通项公式；求数列前n项和为．
[易错警示]　利用裂项相消法求和的注意事项
1抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.
角度2　形如an＝
型
1．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n等于(　　)
A．9
B．99
C．10
D．100
2．(2018·江南十校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N
.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2
018＝(　　)
A.－1
B.－1
C.－1
D.＋1
裂项相消法求和的实质和解题关键
裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
考点三
错位相减法求和
错位相减法求和在高考中几乎年年考查，多在解答题的第(2)问中出现，难度中档.
　
错位相减法求和的具体步骤
步骤1→写出Sn＝c1＋c2＋…＋cn.
步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qc1＋qc2＋…＋qcn.
步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和．
步骤4→两边同除以1－q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论．
1．(2017·广州综合测试(二))设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
2．(2019·烟台一模)已知等差数列{an}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.
3．(2021·武汉调研)在①S3－S2＝a2＋2a1，②2a2＝a4－a3，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
设数列{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn.已知a1＝2，________.
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋2log2an，Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

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