资源简介

7.1
空间几何体的表面积、体积
一、整合教材知识，落实基本能力
1．简单几何体
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且相等
多边形
互相平行
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
4．空间几何体的表面积与体积公式
　　　名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πr2
V＝πr3
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a．
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝．
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
空间几何体的直观图、侧面展开图
单独考查空间几何体的直观图的题目很少，多与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低．
角度1
直观图
1．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2　　
B．a2　　
C．a2　　
D．a2
解析：D　[法一：如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2．
法二：S△ABC＝×a×a
sin
60°＝a2，又S直观图＝S原图＝×a2＝a2．故选D．
[规律方法]　1．斜二测画法原图与直观图中的“三变”与“三不变”
“三变”:坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变；
“三不变”:平行性不改变；与x，z轴平行的线段的长度不改变；相对位置不改变；
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原
2．(2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
解析：2＋　[如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E．
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝．
又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1．
由此还原为原图形如图②所示，是直角梯形A′B′C′D′．
在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2，
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋．]
3．(2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2．
[答案]　A　
4．(2021·益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)
A．
B．4
C．8
D．2
答案　C
解析　由S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8．
角度2
侧面展开图
1．(2021·全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A．
B．
C．
D．
解：设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
2．已知圆锥的表面积等于12π
cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．
cm
解析：B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]
3．(2016·江西南昌模拟)若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(　　)
A．3∶2
B．2∶1
C．4∶3
D．5∶3
解析：选C　底面半径r＝l＝l，故圆锥中S侧＝πl2，S表＝πl2＋π2＝πl2，所以表面积与侧面积的比为4∶3．
4．已知圆锥的表面积等于12π
cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．
cm
答案　B
解析　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2．
5．(2019·无锡市)已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为?
?
?
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【知识点】圆锥的体积、圆锥的侧面积和表面积
【解析】设底面圆半径为r，圆锥母线长为l，因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为的扇形，
所以，解得，因为该圆锥的侧面积为，
所以，解得，则，
即底面圆的面积为，又圆锥的高，
故圆锥的体积为，故选A．
6．(2021·西安市)如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于_______．
【答案】1
【知识点】弧长公式与扇形面积公式、多面体和旋转体上的最短距离（折叠与展开图）、余弦定理
【解析】把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，
由题意，，则，又是三角形的内角，所以．设底面圆的半径为r，则，所以，故答案为1．
考点三
空间几何体的表面积
空间几何体的表面积考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体．题型为选择题或填空题，难度中等．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点．
　
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
1．(2019·南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．
解析：由图中数据可得：S圆锥侧＝×π×2×＝π，
S圆柱侧＝2π×1×1＝2π，S底面＝π×12＝π．
所以几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S底面＝π＋2π＋π＝(＋3)π．
2．若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为________．
解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图．
由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，
则正四棱锥的斜高PE＝＝．
所以该四棱锥的侧面积S＝4××2×＝4，∴S表＝2×2＋4＝4＋4．
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π
B．12π
C．8π
D．10π
解析：B　[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π．]
4．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝，
∴以PO的长为边长的正方形面积为h2－，
一个侧面三角形面积为ah，
∴h2－＝ah，∴4h2－2ah－a2＝0．
则a＝(－1)h，∴＝．
考点四
空间几何体的体积
高考中空间几何体体积的考查是几何体相关问题中出现频率较高的，高考中主要以选择题或填空题形式出现，难度中等．
　求空间几何体的体积的常用方法
(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解．
(2)等积法：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．
(3)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．
1．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D?A1BC的体积是________．
解析：　[VD?A1BC＝VB1?A1BC＝VA1?B1BC＝×S△B1BC×＝．]
2．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E?BCD的体积是________．
解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，∴VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10．
考点三
与球有关的切、接问题
与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型为选择题或填空题．常见的命题角度有：(1)球与柱体的切、接问题；(2)球与锥体的切、接问题。
　与球有关的切、接问题的解法
(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝求R．
②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．
角度1
球与柱体的切、接问题
1．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π
B．π
C．8π
D．4π
解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2．
所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A．
2．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为．
设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为πR3＝×＝．
答案：
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体棱长为a，球半径为R，则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝．
答案：
4．已知直三棱柱ABC-A1
B1
C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1
=12，则球O的半径为(
)
A．　　　　　　　
　B．2
C．
D．3
解析：选C　如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
＝．
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
解析：选B　据题意，作出直观图如图，O为球心，△ABC是三棱柱的下底面，O′是等边△ABC的中心(也是平面ABC截球所得的截面圆的圆心)，则OO′⊥平面ABC，
∴球的半径R＝OA＝，
∵棱柱的所有棱长都为a，∴OO′＝，AO′＝
a＝a，
∴R2＝2＋2＝a2，∴该球的表面积为S＝4πR2＝πa2．
6．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝．
答案：
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π
B．
C．
D．
解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝＝．∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝．故选B．
8．(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.
有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论
(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：
①球内切于正方体，此时2R＝a；
②球与正方体的棱相切，此时2R＝a；
③球外接于正方体，此时2R＝a．
(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R．
(3)棱长为a的正四面体，斜高为a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a．
角度2
球与锥体的切、接问题
1．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为(　　)
A．12
B．18
C．24
D．54
解析：B　[由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2．
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2．
所以三棱锥D?ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D?ABC体积的最大值为×9×6＝18．]
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S
?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S
?ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R．
∴VS
?ABC＝VA?SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，
即9＝××R，解得
R＝3，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π．
答案：36π
3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A．
B．16π
C．9π
D．
解析：选A　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P?ABCD中AB＝2，∴AO′＝．∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π?2＝，故选A．7.1
空间几何体的表面积、体积
一、整合教材知识，落实基本能力
1．简单几何体
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且相等
多边形
互相平行
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
4．空间几何体的表面积与体积公式
　　　名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πr2
V＝πr3
1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a．
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝．
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝a，内切球半径r＝H＝a，外接球半径R＝H＝a．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
空间几何体的直观图、侧面展开图
单独考查空间几何体的直观图的题目很少，多与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低．
角度1
直观图
1．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2　　
B．a2　　
C．a2　　
D．a2
[规律方法]　1．斜二测画法原图与直观图中的“三变”与“三不变”
“三变”:坐标轴的夹角改变；与y轴平行的线段的长度变为原来的一半；图形改变；
“三不变”:平行性不改变；与x，z轴平行的线段的长度不改变；相对位置不改变；
2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原
2．(2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
3．(2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
4．(2021·益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)
A．
B．4
C．8
D．2
角度2
侧面展开图
1．(2021·全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）A．
B．
C．
D．
2．已知圆锥的表面积等于12π
cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．
cm
3．(2016·江西南昌模拟)若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(　　)
A．3∶2
B．2∶1
C．4∶3
D．5∶3
4．已知圆锥的表面积等于12π
cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．
cm
5．(2019·无锡市)已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为?
?
?
A.
B.
C.
D.
6．(2021·西安市)如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于_______．
考点三
空间几何体的表面积
空间几何体的表面积考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体．题型为选择题或填空题，难度中等．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点．
　
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
1．(2019·南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．
2．若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为________．
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π
B．12π
C．8π
D．10π
4．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
考点四
空间几何体的体积
高考中空间几何体体积的考查是几何体相关问题中出现频率较高的，高考中主要以选择题或填空题形式出现，难度中等．
　求空间几何体的体积的常用方法
(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解．
(2)等积法：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．
(3)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．
1．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D?A1BC的体积是________．
2．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E?BCD的体积是________．
考点三
与球有关的切、接问题
与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型为选择题或填空题．常见的命题角度有：(1)球与柱体的切、接问题；(2)球与锥体的切、接问题。
　与球有关的切、接问题的解法
(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝求R．
②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．
角度1
球与柱体的切、接问题
1．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π
B．π
C．8π
D．4π
2．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
4．已知直三棱柱ABC-A1
B1
C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1
=12，则球O的半径为(
)
A．　　　　　　　
　B．2
C．
D．3
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
6．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
7．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．π
B．
C．
D．
8．(2021·天津卷)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（
）
A．
B．
C．
D．
有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论
(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：
①球内切于正方体，此时2R＝a；
②球与正方体的棱相切，此时2R＝a；
③球外接于正方体，此时2R＝a．
(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R．
(3)棱长为a的正四面体，斜高为a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a．
角度2
球与锥体的切、接问题
1．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D?ABC体积的最大值为(　　)
A．12
B．18
C．24
D．54
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S
?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S
?ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
3．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A．
B．16π
C．9π
D．

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