资源简介

7.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、整合教材知识，落实基本能力
1．平面的基本性质
　　
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
2．空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(3)异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；范围：.
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公
共
点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a?α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
4．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，
∴l∥b
5．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，∴a∥b
6．与垂直相关的平行的判定：(1)a⊥α，b⊥α?a∥b．
(2)a⊥α，a⊥β?α∥β．
7．平行问题的转化关系
8．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
9．直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．范围：．
10．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)范围：[0，π]．
11．平面与平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
12．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
空间点线面的位置关系
空间点线面位置关系的判断是高考的常考内容，主要涉及两直线平行、垂直、异面等相关知识，题型为选择题或解答题中的第(1)问，难度偏小.
1．(多选题)(2021·武汉质检)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥l，n∥l，则m∥n
2．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β．(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β　　　　　
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
3．(多选题)(2021·重庆质检)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN∥平面ABC
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
4．(多选题)(2021·济南模拟)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是(　　)
A．三棱锥A－D1PC的体积不变
B．A1P∥平面ACD1
C．DP⊥BC1
D．平面PDB1⊥平面ACD1
5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
考点二
异面直线所成的角
高考对异面直线所成角的求解问题主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角.一般以选择题、填空题出现，属于中低档题.
　1.平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角．
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．
提醒：异面直线所成的角θ∈(0，].
2．坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．
提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2．(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．如图所示，三棱锥P?ABC中，
PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．求异面直线AE与PB所成角的余弦值．
　平移法、坐标法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的三种常用方法，其中平移法和补体法的实质是平行移动直线，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．
求异面直线所成角的三个步骤
(1)作：通过作平行线，得到相交直线．
(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．
(3)算：通过解三角形，求出该角．　　
考点三
线面平行的判定与性质
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．复习时，应熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理．注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
　证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
1．P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
分析：证明线平行的常用方法是证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行．
本题的三种证法中，都体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化．而实现这种转化的基础是利用三角形中位线来确定线线平行，适当添加辅助线、利用三角形的中位线是证明此题的关键．
　要证线线平行，可把它们转化为线面平行．即在应用性质定理时，一般遵循从“高维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行”；
而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD．
考点四
线面垂直的判定与性质
线面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．
1．如图，已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB∥平面PDC；(2)求证：BC⊥平面PAC．
2．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证：AE⊥平面PBC．
3．(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．
4．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
考点五　平面图形的翻折问题
此类问题主要考查折叠前后线线位置关系的变化量和不变量，以此证明空间中的线面、面面位置关系，题型既有选择题或填空题，也有解答题，难度中档．
1．(2016·南昌调研)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A?BCD，则在三棱锥A?BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
2．(2018·广州综合测试)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A?BCF，其中BC＝．
(1)求证：DE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F?DEG的体积．
3．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为36，求a的值．
考点六　探索性问题中的平行与垂直关系
　处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．
1．(2019·北京高考)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
　对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题．7.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、整合教材知识，落实基本能力
1．平面的基本性质
　　
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
?l?α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
2．空间中两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(3)异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；范围：.
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公
共
点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a?α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
4．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，
∴l∥b
5．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，∴a∥b
6．与垂直相关的平行的判定：(1)a⊥α，b⊥α?a∥b．
(2)a⊥α，a⊥β?α∥β．
7．平行问题的转化关系
8．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
9．直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．范围：．
10．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)范围：[0，π]．
11．平面与平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
12．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一
空间点线面的位置关系
空间点线面位置关系的判断是高考的常考内容，主要涉及两直线平行、垂直、异面等相关知识，题型为选择题或解答题中的第(1)问，难度偏小.
1．(多选题)(2021·武汉质检)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥l，n∥l，则m∥n
答案　BCD
解析　对于A，若m∥α，α∥β，则m∥β或m?β，故A错误；
对于B，若α∥γ，β∥γ，则α∥β，故B正确；
对于C，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，故C正确；
对于D，若m∥l，n∥l，则m∥n，故D正确．
2．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β．(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β　　　　　
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
解析：选A　∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
3．(多选题)(2021·重庆质检)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．MN∥平面ABC
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
答案　AB
解析　易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC．因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC．因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC．故选AB．
4．(多选题)(2021·济南模拟)如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论正确的是(　　)
A．三棱锥A－D1PC的体积不变
B．A1P∥平面ACD1
C．DP⊥BC1
D．平面PDB1⊥平面ACD1
答案　ABD
解析　对于A，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，连接A1B，A1C1，A1C1綊AC，由A知：AD1∥BC1，
所以面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故B正确；
对于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，
若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，
所以BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；
对于D，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，
可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故D正确．
5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：选C　∵MN∥PQ，MN?平面ACD，PQ?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，∵MQ⊥PQ，PQ∥AC，∴AC⊥BD，A正确；∵MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故C错误．
考点二
异面直线所成的角
高考对异面直线所成角的求解问题主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角.一般以选择题、填空题出现，属于中低档题.
　1.平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角．
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小．
提醒：异面直线所成的角θ∈(0，].
2．坐标法求异面直线所成的角：当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法．
提醒：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案　C
解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
2．(2018·全国Ⅱ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　如图，连接BE，因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.
3．如图所示，三棱锥P?ABC中，
PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．求异面直线AE与PB所成角的余弦值．
解析：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
∴AF＝，AE＝，EF＝，cos∠AEF＝＝＝，
故异面直线AE与PB所成角的余弦值为.
　平移法、坐标法和补体法是求两条异面直线所成角的大小的三种常用方法，其中平移法和补体法的实质是平行移动直线，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．
求异面直线所成角的三个步骤
(1)作：通过作平行线，得到相交直线．
(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．
(3)算：通过解三角形，求出该角．　　
考点三
线面平行的判定与性质
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．复习时，应熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理．注意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
　证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
1．P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
分析：证明线平行的常用方法是证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行．
解析：证明：方法1：取PD的中点K，∵N是PC的中点，∴NKCD．又M是AB的中点，MACD．∴NKMA．即四边形AMNK是平行四边形，∴MN∥AK．∵AK?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
方法2：连CM并延长交DA的延长线于Q，连PQ．∵M是AB的中点，∴M是CQ的中点，又∵N是PC的中点，∴MN∥PQ．∵PQ?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
方法3：取DC的中点O，∵N是PC的中点，∴NO∥PD．PD?平面PAD，NO?平面PAD，∴NO∥平面PAD．同理MO∥平面PAD．又MO∩NO＝O，MO?平面MON，NO?平面MON，∴平面OMN∥平面PAD．MN?平面MON，∴MN∥平面PAD．
本题的三种证法中，都体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化．而实现这种转化的基础是利用三角形中位线来确定线线平行，适当添加辅助线、利用三角形的中位线是证明此题的关键．
　要证线线平行，可把它们转化为线面平行．即在应用性质定理时，一般遵循从“高维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行”；
而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD．
[证明]　如图，连接B1D1、B1C．
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1．
又B1D1∥BD，∴PN∥BD．
又PN?平面A1BD，∴PN∥平面A1BD．
同理，MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，
∴平面PMN∥平面A1BD．
考点四
线面垂直的判定与性质
线面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．
1．如图，已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB∥平面PDC；(2)求证：BC⊥平面PAC．
[证明]　(1)∵AB∥CD，CD?平面PDC，AB?平面PDC，∴AB∥平面PDC．
(2)在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，
在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，
在Rt△ACE中，AC＝＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
2．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证：AE⊥平面PBC．
证明　∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC．
证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：
第一步：找相交直线
在一个平面内找到两条相交直线
第二步：证线线垂直
证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直
第三步：证线面垂直
利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直
第四步：证线线垂直
由线面垂直的性质得到线线垂直
3．(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．
(1)证明　由题设可知，PA＝PB＝PC．
由△ABC是正三角形，
可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．
又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°．
从而PB⊥PA，PB⊥PC，又PA，PC?平面PAC，PA∩PC＝P，
故PB⊥平面PAC，又PB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC．
(2)解　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题设可得rl＝，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝．
从而AB＝．
由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝．
所以三棱锥P－ABC的体积为
··PA·PB·PC＝××＝．
4．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
解析：(1)证明　∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB．
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC．
(2)证明　∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB．
又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB．
∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB．
(3)解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝AB2＝．
∵OC⊥平面VAB，
∴VC－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝，
∴VV－ABC＝VC－VAB＝．
考点五　平面图形的翻折问题
此类问题主要考查折叠前后线线位置关系的变化量和不变量，以此证明空间中的线面、面面位置关系，题型既有选择题或填空题，也有解答题，难度中档．
1．(2016·南昌调研)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A?BCD，则在三棱锥A?BCD中，下列命题正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD．
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB．
又AD⊥AB，CD∩AD＝D，故AB⊥平面ADC．
∴平面ABC⊥平面ADC．故选D．
2．(2018·广州综合测试)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A?BCF，其中BC＝．
(1)求证：DE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F?DEG的体积．
[学审题]
折叠前
折叠后
AD＝AE?DE∥BC
DG∥BF，GE∥FC，DE∥BC
F是中点?AF⊥BC
AF⊥BF，AF⊥FC
AF是高线?AG⊥DE
AG⊥GD，AG⊥GE
解：(1)证明：在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，
所以＝，所以DE∥BC．
因为DE?平面BCF，BC?平面BCF，所以DE∥平面BCF．
(2)证明：在折叠前的图形中，
因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，
所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF．
又BF＝CF＝，BC＝，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF．
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，
所以CF⊥平面ABF．
(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，
由(2)知，AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，
所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG．
在折叠前的图形中，AB＝1，BF＝CF＝，AF＝．由AD＝，知＝，
又DG∥BF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝．
故三棱锥F?DEG的体积V＝S△DEG·FG＝××2×＝．
平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．
解决此类问题的步骤为：
3．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1?BCDE．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1?BCDE的体积为36，求a的值．
解：(1)证明：在图1中，连接EC(图略)，
因为AB＝BC＝AD＝a，∠BAD＝90°，AD∥BC，
E是AD的中点，
所以四边形ABCE为正方形，
所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可知A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1?BCDE的高，
由图1知，A1O＝AB＝a，
平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1?BCDE的体积
V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，
由a3＝36，解得a＝6．
考点六　探索性问题中的平行与垂直关系
　处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．
1．(2019·北京高考)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
[解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD．
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC．
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD，所以AB⊥AE．
又AB∩PA＝A，
所以AE⊥平面PAB．
因为AE?平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE．
(3)棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连接CF，FG，EG．
则FG∥AB，且FG＝AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB．
所以FG∥CE，且FG＝CE．
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG．
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
　对命题条件的探索的三种途径
途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．
途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
途径三：将几何问题转化为代数问题．

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