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7.3
空间向量与立体几何
(1)空间向量及其运算
(2)立体几何中的向量方法
(3)利用空间向量求空间角
一、整合教材知识，落实基本能力
1．空间向量的有关概念：
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积：(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
空间向量数量积的三个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cos
θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈,〉＝
5．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
6．空间位置关系的向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
（1）．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．
（2）．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
（3）．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，
则求法向量的方程组为
7．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m，n，则l1与l2所成的角θ满足cos
θ＝|cos〈m，n〉|＝．
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝．
(3)求二面角的大小
①如图a，AB，CD分别是二面角α?l?β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
②如图b，c，n1，n2分别是二面角α?l?β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
8．点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝
二、精研高考题点，提升备考智能
考点一
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算主要包括向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题。
1．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
解析：∵a∥b，∴b＝λa．∴∴∴x－y＝4．【答案】4
2．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________．
解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，故|b|＝＝2．答案：2
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)
A．1
B．　　　C．　　　D．
解析：ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
解得k＝．【答案】　D
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)．
∴cos〈a，b〉＝＝＝．∴a与b的夹角为，故选D．]
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
考点二
利用方向向量和法向量证明平行与垂直问题
利用向量证明平行与垂直问题是每年的必考内容，且出现在解答题的第(1)问，很少单独考查．
1．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，0，3)；
(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)．
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，4，6)，u＝(0，3，－2)．
(5)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝；
(6)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－2，4)，v＝(1，－1，2)；
解：(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2．
(2)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，0，3)，∴a·b＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2．
(3)∵a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)，∴u＝－a，∴u∥a，即l⊥α．
(4)∵a＝(0，4，6)，u＝(0，3，－2)，∴a·u＝0，∴u⊥a，即l∥α．
(5)∵u＝(1，－1，2)，v＝，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β．
(6)∵u＝(2，－2，4)，v＝(1，－1，2)，∴u=2v，∴u∥v，即α∥β．
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α　
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α相交
解析：B　[∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α．]
3．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
解析：α∥β　[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
由m·＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，
由m·＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β．]
4．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
解析　∵α∥β，∴(1，3，－2)＝λ(－2，－6，k)，∴∴λ＝－，k＝4．
5．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
【解析】　∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l?α或l∥α．
【答案】　l?α或l∥α．
6．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F．
【分析】　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
【解答】　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1．
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE．
(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．
求证：(1)A1O⊥平面GBD．
(2)平面A1OG⊥平面GBD．
证明　(1)方法一　如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
∴＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0．
∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD．
方法二　同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，∴，令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)，显然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD．
由(1)得A1O⊥平面GBD，A1O?平面A1OG，∴平面A1OG⊥平面GBD
　1．利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；
②转化为线面平行、线线平行问题
2．利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
考点三　利用空间向量求空间角
异面直线所成的角是每年高考的重点，题型既有选择题或填空题，也有解答题，难度较小，属于基础题。直线与平面所成的角是每年高考的热点，主要考查利用向量求直线与平面所成的角(或其三角函数值），题型为解答题，难度适中，属于中档题。利用空间向量求二面角(或其余弦值)是每年高考的热点，且出现在解答题的第(2)问，难度适中，属于中档题。
　用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
1．如图，在三棱锥中，
两两互相垂直，点分别为棱的中点，
在棱上，且满足，已知，
．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【解析】（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系．
，
，
，
，
，
，
所以，
，
所以．
因此异面直线与所成角的余弦值为．
（2），平面的一个法向量为．
因此直线与平面所成角的正弦值为
（3）平面的一个法向量为．
设为平面的一个法向量，又，
则即不妨取，则，
所以为平面的一个法向量，
从而，
因此二面角的余弦值为．
反思与感悟　
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2．
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos
θ＝．
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．
2．在长方体ABCD
?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________，二面角B?A1C1?D1的余弦值为________．
解析：如图，建立空间直角坐标系D?xyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，
∴＝(0,2,0)，＝(－1,2,0)，＝(0,2，－1)，
设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由即
令y＝1，得n＝(2,1,2)，
设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则
sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为．
易知平面A1C1D1的法向量m＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝．
由图可知，二面角B?A1C1?D1为钝角，故二面角B?A1C1?D1的余弦值为－．
答案：　－
3．(2017·西安调研)如图7?7?20，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：A　[不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．cos〈，〉＝＝＝．]
4．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：A　[如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，所以＝(，1,2)，由题知＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量．即sin
θ＝＝．故选A．]
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：B　[以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，
E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝．
设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，
∴有即解得
∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝，
即所成的锐二面角的余弦值为．]
6．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
解：C　[在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B?xyz，则A(0，2，0)，B1(0，0，1)，C，C1，AB1＝(0，－2，1)，BC1＝，
cos
〈AB1，BC1〉＝＝＝，故选C．]
7．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°．
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B?A1D?A的正弦值．
解：(1)在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E．
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD．
故以AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．
因为AB＝AD＝2，
AA1＝，∠BAD＝120°，
则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)．
(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．
则cos〈，〉＝＝＝－．
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．
(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．
设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，
又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，
则即
不妨取x＝3，则y＝，z＝2，
所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，
从而cos〈，m〉＝＝＝．
设二面角B?A1D?A的大小为θ，则|cos
θ|＝．
因为θ∈[0，π]，所以sin
θ＝＝．
因此二面角B?A1D?A的正弦值为．
8．(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(1)证明　因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD．
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，
又PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC．
因为AD∥BC，AD?平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
由已知得l∥AD，因此l⊥平面PDC．
(2)解　以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，
＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)．
由(1)可设Q(a，0，1)，
则＝(a，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面QCD的法向量，
则即
可取n＝(－1，0，a)．
所以cos〈n，〉＝＝．
设PB与平面QCD所成角为θ，
则sin
θ＝×＝．
因为≤，当且仅当a＝1时等号成立，
故PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
考点四
立体几何中的折叠问题
1．(2016·枣庄模拟)如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②．
　　
图①　　　　　　　　　　　图②
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：取EC的中点N，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN＝CD．
又已知AB∥CD，AB＝CD，
所以MN∥AB，且MN＝AB．
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM．
又BN?平面BEC，且AM?平面BEC，
所以AM∥平面BEC．
(2)法一：以D为原点，分别以DA，DC，DE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D?xyz，
则有D(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0,0,1)，＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)．
由(1)知平面ABCD的一个法向量为n1＝(0,0,1)，
设平面EBC的法向量n2＝(x，y，z)，则即
令x＝1，则y＝1，z＝2，所以n2＝(1,1,2)为平面EBC的一个法向量．
设平面EBC与平面ABCD的夹角为α，则cos
α＝＝＝，
即平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值为．
2．如图，四边形ABED是边长为2的菱形，△CDE为正三角形，B，E，C三点共线．现将△ABD沿BD折起形成三棱锥A′?BCD．
(1)求证：A′E⊥BD；
(2)若平面A′BD⊥平面BCD，求直线CD与平面A′BC所成角的正弦值．
解：(1)证明：取BD的中点O，连接OA′，OE，
由翻折的知识知OA′⊥BD，OE⊥BD．
又OA′∩OE＝O，
∴BD⊥平面OEA′．
又A′E?平面OEA′，
∴A′E⊥BD．
(2)法一：由题意可知，OE，OD，OA′两两垂直，以O为原点，OE，OD，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，结合已知可得A′(0,0,1)，B(0，－，0)，E(1,0,0)，D(0，，0)，C(2，，0)．＝(0，，1)，＝(1，，0)，
设平面A′BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令y＝－1，则x＝z＝，故n＝(，－1，)为平面A′BC的一个法向量，
∵＝(－2,0,0)，
设直线CD与平面A′BC所成角的大小为θ，则sin
θ＝＝＝，
即直线CD与平面A′BC所成角的正弦值为．
考点五
空间向量法解决探索性问题
1．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；
(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q?AC?D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
在直角梯形中，连接OC，易得OC⊥AD，
以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，
∴＝(1，－1，－1)，易证：OA⊥平面POC，
∴＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，
cos〈，〉＝＝．
∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为．
(2)＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，
设平面PDC的一个法向量为u＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得u＝(1,1,1)．
∴B点到平面PCD的距离为d＝＝．
(3)假设存在一点Q，则设＝λ
(0<λ<1)，
∵＝(0,1，－1)，
∴＝(0，λ，－λ)＝－，
∴＝(0，λ，1－λ)，
∴Q(0，λ，1－λ)，
又＝(1,1,0)，
＝(0，λ＋1,1－λ)，
设平面CAQ的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，
又平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
因为二面角Q?AC?D的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，
所以存在点Q，且＝．
2．(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
[解]　　(1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD．
又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD．
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，
E，＝(1,1,0)，＝．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令y＝1，则n＝(－1,1，－2)．
假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，
使得BF∥平面AEC，则·n＝0．
又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，
∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，
∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．7.3
空间向量与立体几何
(1)空间向量及其运算
(2)立体几何中的向量方法
(3)利用空间向量求空间角
一、整合教材知识，落实基本能力
1．空间向量的有关概念：
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．两个向量的数量积：(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
空间向量数量积的三个应用
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cos
θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈,〉＝
5．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
6．空间位置关系的向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
（1）．对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．
（2）．对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
（3）．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，
则求法向量的方程组为
7．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m，n，则l1与l2所成的角θ满足cos
θ＝|cos〈m，n〉|＝．
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝．
(3)求二面角的大小
①如图a，AB，CD分别是二面角α?l?β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
②如图b，c，n1，n2分别是二面角α?l?β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
8．点面距的求法：设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝
二、精研高考题点，提升备考智能
考点一
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算主要包括向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题。
1．已知a＝(1，x，3)，b＝(－2，4，y)，若a∥b，则x－y＝________．
2．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________．
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)
A．1
B．　　　C．　　　D．
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A．
B．
C．
D．
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
考点二
利用方向向量和法向量证明平行与垂直问题
利用向量证明平行与垂直问题是每年的必考内容，且出现在解答题的第(1)问，很少单独考查．
1．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，0，3)；
(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)．
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，4，6)，u＝(0，3，－2)．
(5)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝；
(6)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－2，4)，v＝(1，－1，2)；
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α　
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α相交
3．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
4．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
5．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
6．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F．
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．
求证：(1)A1O⊥平面GBD．
(2)平面A1OG⊥平面GBD．
　1．利用空间向量证明平行的方法
线线平行
证明两直线的方向向量共线
线面平行
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量；
②转化为线面平行、线线平行问题
2．利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
考点三　利用空间向量求空间角
异面直线所成的角是每年高考的重点，题型既有选择题或填空题，也有解答题，难度较小，属于基础题。直线与平面所成的角是每年高考的热点，主要考查利用向量求直线与平面所成的角(或其三角函数值），题型为解答题，难度适中，属于中档题。利用空间向量求二面角(或其余弦值)是每年高考的热点，且出现在解答题的第(2)问，难度适中，属于中档题。
　用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．
1．如图，在三棱锥中，
两两互相垂直，点分别为棱的中点，
在棱上，且满足，已知，
．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
反思与感悟　
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2．
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos
θ＝．
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．
2．在长方体ABCD
?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________，二面角B?A1C1?D1的余弦值为________．
3．(2017·西安调研)如图7?7?20，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A．
B．－
C．
D．－
4．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)A．
B．
C．
D．
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
6．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．
7．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°．(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B?A1D?A的正弦值．
8．(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
考点四
立体几何中的折叠问题
1．(2016·枣庄模拟)如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②．
(1)求证：AM∥平面BEC；(2)求平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值．
　　
图①　　　　　　　　　　　图②
2．如图，四边形ABED是边长为2的菱形，△CDE为正三角形，B，E，C三点共线．现将△ABD沿BD折起形成三棱锥A′?BCD．
(1)求证：A′E⊥BD；(2)若平面A′BD⊥平面BCD，求直线CD与平面A′BC所成角的正弦值．
考点五
空间向量法解决探索性问题
1．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q?AC?D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

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