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直线的倾斜角与斜率专题
知识点一
直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．
知识点二
直线的斜率
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan
α.
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝.
知识点三
直线的倾斜角和斜率的综合
斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
例题1.（1）求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)
【解析】　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
①　　　　　　②　　　　　　　　③
（2）．（2021·山东省青州第一中学高）（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（
）
B．
C．
D．
【答案】AD【详解】如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则，，故，且为钝角，故选：AD.
（3）．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【答案】
【详解】由题意得，ab+2(a+b)=0，．
（4）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为（
）
A．+45°
B．－135°
C．135°－D．当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°
【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°．故应选D．
举一反三：
【变式1】
下列说法中，正确的是（
）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
B．直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则sin＞0
D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系．
对于A，当=90°时，直线的斜率不存在，∴A错；对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当∈[0°，180°）时，才是此直线的倾斜角，∴B错；对于C，当直线平行于x轴时，=0°，而sin0°=0，∴C错．∴应选D．
【变式2】．如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
【解析】由图形可知，，则k1，k2可求．
直线的斜率．
∵直线的倾斜角=90°+30°=120°，∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=．
【变式3】．（2021·浙江高二月考）若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（
）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且，所以，解得.
【变式4】.（2021·安徽六安一中）如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】
由题意，在中，，，∴，即.
设直线的倾斜角为，则，∴直线的倾斜角为，故.故选：A.
例题2
（1）.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围与倾斜角α的取值范围．
【解析】如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
（2）．（2021·全国高二课时练习）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由．
【详解】
如图所示，当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为
；当直线经过点时，斜率为，
此时倾斜角为，
由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意，
旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到，
所以倾斜角的取值范围是：；
旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到，
所以斜率的取值范围是：.
（3）．已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
【解析】
如图所示，由已知，点P（x，y）在线段AB上运动，其中A（2，4），B（3，2），
而，其几何意义为直线OP的斜率．
由图可知kOB≤kOP≤kOA，而，kOA=2．
故所求的的最大值为2，最小值为．
（4）过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．或
【答案】B【详解】
当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为，或，
所以或，
解得或.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
举一反三：
【变式1】．已知直线经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），
求直线的斜率k的取值范围．
【解析】如图，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，
是过P点且与x轴垂直的直线．
当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到90°，而，∴．
又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，
由正切函数的性质知，k≤kPM=―4，∴k≤―4．综上所述，．
【变式2】点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】
直线恒过定点，
直线的斜率，直线的斜率，
当或时，直线与线段恒有公共点.
故选：D.
【变式3】已知函数（0≤x≤1）的图象如图，若0＜x1＜x2＜1，则（
）
A．
B．
C．
D．前三个判断都不正确
【答案】
A
【变式4】直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D【详解】
由题可设直线方程为，即
在轴上的截距的取值范围是，即点在直线的异侧，
根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：
，
即，
解得：或
故选：D
【变式5】直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（　
　）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】
∵
∴
根据如下图形可知，
使直线与线段相交的斜率取值范围是
故选：D.
【变式6】过点的直线与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】
直线过定点，设直线的斜率为，
∵，，
∴要使直线与线段有交点，则的取值范围是或，
即.
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精品试卷·第
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