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直线的方程与位置关系专题
知识点1
直线的点斜式方程
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
适用条件
斜率存在
知识升华：求直线的点斜式方程的步骤
例题1.　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
【解析】(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.
知识点二
直线的斜截式方程
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
知识升华：求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．
(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．
例题2：根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】（1）因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan
150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2.
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan
60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
知识点三
斜截式在两直线平行与垂直中的应用
直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
符号：可正，可负，也可为零．
知识升华：已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直
设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；
(2)l1与l2重合 k1＝k2，且b1＝b2；
(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1.
例题3
.当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解析】由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，
解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
知识点四
直线的两点式方程
名称
两点式方程
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程
＝
适用范围
斜率存在且不为零
知识升华：当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
例题4．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
【解析】由直线方程的两点式得＝，即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
知识点五
直线的截距式方程
名称
截距式方程
已知条件
在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.
示意图
直线方程
＋＝1
适用范围
斜率存在且不为零，不过原点
知识升华：直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零
例5.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
【解析】　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
知识点六
直线的一般式方程与其他形式的互化
直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化
一般式
斜截式
截距式
Ax＋By＋C＝0
(A，B不同时为0)
y＝－x－(B≠0)
＋＝1(A、B、C≠0)
例6.已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
【解析】由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2.
截距式方程为：＋＝1.
由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2.
知识点七
直线的平行与垂直
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
例7.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．
【解析】　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
例题8.（1）（2021·新疆高一期末）不论为何值，直线恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】
恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
（2）．（2020·黑龙江牡丹江一中高二开学考试）求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】（1）（2）或
【详解】（1）已知，
直线方程为化简得
（2）由题意可知，所求直线的斜率为.
又过点，由点斜式得，
所求直线的方程为或
（3）．（2021·全国高二课时练习）（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（）
A．若，则m=-1或m=3
B．若，则m=3
C．若，则
D．若，则
【答案】BD【详解】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；，则，，C错，D正确．
故选：BD．
（4）．（2021·全国高二课时练习）直线的倾斜角的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】
∵直线斜率，又，∴，
设直线倾斜角为，∴，而，
故倾斜角的取值范围是，
故选：B．
（5）．（多选题）已知直线过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程可以是下列（
）选项.
A．2x-y=0
B．x+y=3
C．x-2y=0
D．x-y+1=0
【答案】ABD
【详解】由题意设所求直线的横截距为，
（1）当时，由题意可设直线的方程为，将代入可得，
∴直线的方程为；
（2）当时，由截距式方程可得直线的方程为（截距相等）或（截距相反），将代入可得或，
∴直线的方程为或；
故选：ABD．
(6)．已知三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）设线段的中点为．
因为，，所以的中点，
所以边上的中线所在直线的方程为，即．
（2）因为，，所以边所在直线的斜率，
所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，
即．
(7)．已知过定点作直线与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线有（
）条？
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由题意可得，即.
①当时，可得，即，；
②当时，可得，即，.
综上所述，符合条件的直线有条.故选：B.
举一反三：
【变式1】．（2021·浙江高二单元测试）已知直线经过点，且斜率为2，
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且在轴上的截距为3，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)解：直线的方程为：
即.
(2)因为直线与直线平行，所以直线斜率为2.
又因为直线在轴上的截距为3
所以直线方程为：.
【变式2】．（2021·全国高二课时练习）不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点
A．
B．(-2，0)
C．(-2，3)
D．(2，3)
【答案】C【详解】
直线(m 1)x y+2m+1=0可为变为m(x+2)+( x y+1)=0
令，解得.
故无论m为何实数，直线(m 1)x y+2m+1=0恒通过一个定点( 2,3)
故选C.
【变式3】．（2020·全国高二课时练习）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
【答案】
【分析】
根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】
解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
【变式4】．（2021·全国高二单元测试）已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【详解】
(1)
由化简得,
令
,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有
,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时,
化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
【变式5】．直线的倾斜角的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】由直线，所以直线的斜率为．
设直线的倾斜角为，则．又因为，即，
所以．
【变式6】.若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a的取值范围。
【答案】a∈R
，a≠±1，且a≠－2。
【解析】三条直线不平行，且不过同一点。
【变式7】．20．（2020·陕西师大附中高一期末）已知直线和直线．
（Ⅰ）与能否平行？为什么？（Ⅱ）时，求的值．
【答案】（Ⅰ）当时与平行（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）若与平行，则，解得
或.
当时，直线和直线．重合，
当时，直线和直线．平行，
所以当时与平行.
（Ⅱ）若，则，解得.
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精品试卷·第
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