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两条直线的交点坐标与距离公式专题
知识点1
两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组的解是
例题1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
【解析】：(1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
知识点二
两点间距离
两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝.
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
例题2：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
【解析】(1)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．
法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，|BC|＝＝5.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
(2)由(1)中法一得|AB|＝2，|AC|＝.
又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5.
知识点三
点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0为d＝。
例题3．求点P(3，－2)到下列直线的距离：
①y＝x＋；②y＝6；③x＝4.
【解析】①把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
②把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
③因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
知识点四
两条平行线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝。
例题4.已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
【解析】当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
例题5（1）两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．4
B．
C．
D．
【答案】D　
【解析】∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2.
∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0.
根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝.
（2）若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　)
A．k＞－　　　
B．k＜2
C．－＜k＜2
D．k＜－或k＞2
【答案】C　
【解析】法一：由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C.
（3）已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
由得正方形的中心坐标为P(－1,0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.
（4）设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A【详解】
由已知两直线平行，∴,∴直线,
∴到l的距离的,当时取到最小值,
故选：
举一反三：
【变式1】．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（
）
A．(1，＋∞)
B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
【答案】B
【详解】
联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
【变式2】．已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且在y轴上的截距为．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【详解】
（1）由题意，直线和，
因为与相交于一点，故把点代入的方程，
可得，解得.
（2）当时，，不满足，
当时，由且过点，
【变式3】．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（
）
A．6
B．3
C．4
D．7
【答案】B
【详解】
由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
【变式4】（多选题）若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为（
）
A．3x－4y－5＝0
B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－23＝0
D．3x－4y－17＝0
【答案】AB
【详解】
设l1的方程为3x－4y＋m＝0.
由题意得＝3，
解得m＝－5或m＝－35，
所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0．
故选：AB.
【变式5】若动点．分别在直线和上移动，则线段的中点到原点的距离的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】
由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，故其方程为：，故到原点的距离的最小值为.
故选：C
例题6（1）已知点，，点在轴上，则的最小值为（
）
A．6
B．
C．
D．
【详解】点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
（2）已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，求点M到直线l1的距离d的最大值．
【解析】直线l1：3x＋4ay―2＝0(a＞0)过定点N，
又M，∴点M到直线l1的距离d的最大值为|MN|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)－\f(2,3)))＋1－02)＝.
（3）点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．
【答案】a>7或a<－3
【解析】根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.
（4）已知实数，满足，则的最小值为___________.
【详解】由题意得，
所表示的几何意义是点到原点的距离的平方，
又由原点到直线的距离为在该直线上
，
所以的最小值为，可得的最小值为.
故答案为：
举一反三：
【变式1】点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（
）
A．
B．2
C．
D．2
【答案】B
【详解】点到的距离为：，
所以的最小值为．故选：B.
【变式2】l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（
）
A．x＋2y－3＝0
B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y－3＝0
【答案】A
【详解】当两条平行直线与AB垂直时，两条平行直线的距离最大，
因为，所以
所以l1的方程为，即.故选：A.
【变式3】与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是（
）
A．直线3x＋2y＋2＝0
B．直线3x＋2y－2＝0
C．直线3x＋2y±2＝0
D．以上都不对
【答案】A【详解】
直线平行于直线到两平行直线距离相等的点的轨迹是与两直线平行的直线，可设该直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选：A.
【变式4】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线，交于点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为动直线过定点，动直线过定点，且两直线垂直，
所以，
设，
则，
因为，
所以，则，
所以，故选：D
【变式5】若实数：x，y满足关系式，则式子的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】
，表示点到点的距离.
点到直线的距离为.
故选：A
【变式6】已知满足，求的最小值__.
【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方，
转化的最小值为点到直线距离的平方，
由点到直线的距离公式，可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式7】已知，，则代数式的最小值为__________；
【详解】
由题意可得四个式子分别表示点到的距离和，
因为，，
所以点在4条直线所围成的正方形内部，
，
当为正方形的对角线的交点，即为正方形的中心时，三点共线且三点共线，即和同时取得最小值，此时取得最小值
即当点为该正方形的中心时，原式取得最小值，
把代入计算可得最小值为，故答案为：
例题7（1）若直线与直线l 关于点对称，则直线l 一定过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】
直线中，当x=1时y=1是与k无关的，故一定经过点(1,1)；
点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5),
由于直线与直线l 关于点(2,3)对称，
∴直线l 一定过定点(3,5),
故选：C.
（2）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．故选：A．
（3）直线关于对称的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
举一反三：
【变式1】．点关于直线的对称点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】设对称点为，则，解得．即对称点为．
故选：B．
【变式2】直线2y－x＋1＝0关于y－x＝0对称的直线方程是（
）
A．y－2x－1＝0
B．y＋2x－1＝0
C．.y＋2x＋1＝0
D．2y＋x＋1＝0
【详解】
在直线2y－x＋1＝0上任取一点，设关于y－x＝0的对称点为，
则，解得，代入直线2y－x＋1＝0，
得y－2x－1＝0，故选：A
【变式3】与直线关于轴对称的直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】直线关于轴对称的直线的方程为，即．
故选：B．
【变式4】已知，，点在直线上，若使取最小值，则点的坐标是___________.
【详解】
点关于直线的对称点为，又，
则直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以使取最小值的点的坐标是.
故答案为：.
例题8（1）已知两条直线，相交于点.
（1）求点的坐标；
（2）在上取点，过点作直线交直线于点（在的下方），若的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）将两直线方程联立得，
，解得，
所以点的坐标为；
（2）由题意可知点在直线上，设点坐标为，
根据两点间的距离公式可得，，
设点到直线的距离为，
则，，
所以，
根据点到直线的距离公式可得：，即，
所以或，
因为点在的下方，所以，点坐标为，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为即.
（2）已知点到直线：的距离为，求的取值范围.
【详解】点到直线的距离，
∴
，
又
∴
.
（3）求适合下列条件的直线的方程：
（1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为；
（2）直线经过点且与点和点的距离之比为.
【答案】（1）答案见解析；（2）或.
【详解】
（1）若直线过原点，可设直线的方程为，
由题意可得，解得；
若直线不过原点，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或.
综上所述，直线的方程为或或或；
（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为，
此时，点、到直线的距离分别为、，不合乎题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.
由已知条件可得，整理得，解得或.
综上所述，直线的方程为或，即或.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且的面积等于7，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）∵，采用点斜式设直线方程：
∴
（2）∵点在中线上，把点坐标代入，
点到直线的距离
∵
即或
所以，点的坐标为或
【变式2】已知直线l：，点．
（1）求过点A且与l垂直的直线方程；
（2）求点A关于直线l的对称点的坐标；
【答案】(1)；(2).
【详解】(1)依题意，直线l的斜率为1，则与l垂直的直线斜率为-1，于是得：，化简得：，
所以过点A且与l垂直的直线方程是；
(2)设，显然点A与的中点必在直线l上，且直线斜率为-1，
因此，，即，解得，则点，
所以点A关于直线l的对称点的坐标是.
【变式3】已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【答案】（1）或；（2）．
【详解】(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足原点到直线的距离为2，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
于是得，解得，直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
(2)设直线与直线交于点，与直线交于点
因被点平分，即，，则，，
因，则，解得，，
即，直线的斜率是，直线l方程为，即，
所以直线的方程为：.
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精品试卷·第
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