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函数的概念及其表示、分段函数专题
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数
映射
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x 1，g(t)＝2t 1，h(m)＝2m 1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
三、题型突破
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）．（2021·全国高一专题练习）（多选题）下列各图中，是函数图象的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD【详解】
根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
满足条件的只有BD.故选：BD
（2）．（2021·全国高一课时练习）（多选）集合，下列表示从到的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD【详解】
由题意，集合，
对于A中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于B中，，当时，则，可得表示从到的函数；
对于C中，，当时，则，可得不能表示从到的函数；
对于D中，，当时，则，可得表示从到的函数.
故选：ABD
（3）．（2021·全国高一课时练习）如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，
对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，
综上可知，
是函数的个数为.故选：A.
【变式训练1-1】．（2021·全国）下列各图中，不能表示是的函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】在A中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以是函数关系；在B中，存在，有两个的值与之对应，所以不是函数关系；
在C，D中，对每一个，都有唯一的与之对应，所以都是函数关系.
故选：B.
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
例2．（2020·全国高三专题练习）求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】
（1）由题得，所以，所以且，所以函数的定义域为.
（2）由题得，所以，所以函数的定义域为.
（3）由题得，解之得且，所以函数的定义域为.
（4）由题得，所以，所以函数的定义域为.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
例3．（1）．（2020·全国高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】的定义域为；
满足；解得；
的定义域为．故选A．
(2)．已知函数的定义域是，则的定义域是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
,
则，选D.
(3)．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】
由题意可知，对任意的，恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，.故选：C.
(4)．函数的定义域为,且,则的定义域是______.
【答案】
【详解】
函数的定义域为，所以，由，因此有，即；
的定义域应满足：，所以函数的定义域为.
【变式训练3-1】．已知函数定义域是，则的定义域
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】的定义域是，则，即函数的定义域为.令,解得.则的定义域为.故选D.
【变式训练3-2】．（2019·四川三台中学实验学校高一月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，即函数定义域为，故选B.
【变式训练3-3】．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（
）
A．a>1
B．0C．a<0
D．a<1
【答案】A【详解】因为函数的定义域为R，
所以的解为R，
即函数的图像与x轴没有交点，
，当时，函数与x轴有交点，故不成立；
，当时，要使函数的图像与x轴没有交点，
则，解得，故本题选A。
【变式训练3-4】．已知函数的定义域为，求的定义域_____________．
【答案】【详解】
由题意，函数的定义域为，
则函数满足，解得，即，
即函数的定义域为．
故答案为：.
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高一月考）下列函数中与函数为同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】
两个函数相等，则两个函数的定义域相同，对应法则相同，函数的定义域为，
对于A选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等；
对于B选项，函数的定义域为，该函数与函数不相等；
对于C选项，函数的定义域为，且，该函数与函数不相等；
对于D选项，函数的定义域为，且，该函数与函数相等.
故选：D.
（2）．（2020·四川省成都市第四十九中学校高一月考）下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（
）
A．，
B．
C．
D．
【答案】C【详解】
试题分析：A中定义域为，定义域为两个函数的定义域不一致,故A中两函数不表示同一函数；B中定义域为，,定义域为两个函数的定义域不一致,故B中两函数不表示同一函数；C中两个函数的定义域和解析式均一致,故C中两函数表示同一函数；D中定义域为，定义域为，两个函数的定义域不一致,故D中两函数不表示同一函数；所以C选项是正确的.
【变式训练4-1】．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）下列各组函数中表示同一个函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】
对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；故选：D.
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
例5．（1）（2020·新疆实验高三月考）根据条件，求函数解析式.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知是一元二次函数，且满足；.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【详解】（1）设，则，
得
所以；
（2）设，则，得，
则
所以；
（3）由均值不等式，，
，
所以；
（4）
设，
由，则，即
又，
即
得
则，解得所以.
（2）．（2020·河南洛阳一高）已知，则（　　）
A．
B．﹣3x
C．﹣3x+1
D．
【答案】A【详解】因为①，所以②，联立①②解得．故选：A
【变式训练5-1】．（2021·江苏高一专题练习）若，则的解析式为
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】
令，所以
所以
故选C.
【变式训练5-2】．（2020·重庆高一期中）已知函数，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】
令,则，所以
即
.
故选：B
【变式训练5-3】．（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
(五)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例6．（2021·全国高一课前预习）求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
（2）y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
（3）y＝；
（4）y＝x－.
【答案】（1）{3，5，7，9，11}；（2）[2，11)；（3）{y|y≠－5}；（4）{y|y≥－}．
【详解】
解
（1）∵x∈{1，2，3，4，5}，∴(2x＋1)∈{3，5，7，9，11}，即所求函数的值域为{3，5，7，9，11}．
（2）y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1，5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11
∴所求函数的值域为[2，11)．
（3）函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函数的值域为{y|y≠－5}．
（4）要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．
例7．（1）（2020·全国高一课时练习）函数的值域为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
（2）．若函数的值域为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】由题意，
当时，显然单调递增，则；
当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
又函数的值域为，
当，即时，，即，解得：，
当，即时，，，
综上，
故选：D.
【变式训练7-1】．（2020·安徽马鞍山二中高一月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】，
当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
故选：C.
【变式训练7-2】．（2021·全国高一单元测试）已知，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，，
当时，，，
当且仅当时取等号；
当时，，，
当且仅当时取等号，
则的取值范围为，
故选：A.
【变式训练7-3】．（2020·辽宁）函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
故选：C
【变式训练7-4】．（2020·江苏高一课时练习）函数的值域是（
）
A．，
B．
C．，
D．
【答案】D【详解】
因为
所以
所以，
即函数的值域为
故选：D
(六)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题.
分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例8．（1）（2020·全国高一课时练习）已知
，则的值为（
　）
A．5
B．2
C．-1
D．-2
【答案】A【详解】
由，
可得,
,
故选A.
（2）．（2020·邵阳市第十一中学）（多选题）已知，且，则（
）
A．
B．3
C．4
D．5
【答案】AD
【分析】
分与两种情况讨论，解方程即可，要注意的范围.
【详解】
当时，，解得或（舍），
当时，，解得.
综上，或5.故选：AD
(3)．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_____________.
【答案】
【详解】由解析式得大致图象如下图所示：
由图可知：当时且，则令，解得：，
，又，，
，
令，则，
，即.
故答案为：
(4)．（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（
）
A．的值域为B．的定义域为
C．D．任意一个非零有理数，
对任意恒成立
【答案】BCD【详解】
因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
【变式训练8-1】．（2021·全国高一课时练习）（多选题）设函数，若则实数a=（
）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
【答案】AD
【详解】因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
【变式训练8-2】．（2020·江苏南京·）（多选题）已知函数若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．-1
D．1
【答案】AB
【分析】
令，进而由得或，再根据时，可得或，解方程即可得答案.
【详解】
解：令，故，进而得或，
所以或，
由于时，，
所以或，解得或
故选：AB
【变式训练8-3】．设集合，，函数，若，则的取值范围是__________．
【答案】【详解】
令，则.
①若，则，，解得：，不满足，舍去；
②若，则，，解得：，即，
若，则，，解得：，；
若，则，，解得：，.
综上所述：的取值范围为.故答案为：.
【变式训练8-4】．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意，①时，，不等式无解；
②时，，解得；③时，，解得；
综上不等式的解集为．（2）①时，；②时，，所以；③时，；
所以
所以，因为对任意实数都成立
所以．
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