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函数单调性与最值专题
知识点1
函数单调性的定义
增函数
减函数
定义符号语言
设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数
当时，都
，那么就说函数在区间D上是减函数
图象语言
自左向右看图象逐渐上升
自左向右看图象逐渐下降
文字语言
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
【微点拨】（1）定义中的x1，x2有三个特征：①任意性，即不能用特殊值代替；②属于同一个区间；③有大小，一般令x1（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若是增函数，则；若是减函数，则．
单调性定义的两种变式：
设任意且，那么
上是增函数；
上是减函数．
②在上是增函数；
在上是减函数．
知识点2
函数的单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．
【微点拨】
（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．
（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，具有局部性，并且在某一点上不存在单调性．
（4）并非所有的函数都具有单调性．如函数就不具有单调性．
（5）写函数的单调区间或利用单调区间求解时，首先要关注函数的定义域，否则容易出错；
需注意单调区间与在区间上单调的区别；
【知识拓展1】常见函数的单调性
函数类型
单调性
一次函数
在上单调递增
在上单调递减
反比例函数
单调减区间是和
单调增区间是和
二次函数
单调减区间是，单调增区间是
单调减区间是，单调增区间是
知识点03
函数的最大（小）值
1．最大值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，我们称M是函数的最大值．函数的最大值对应图象最高点的纵坐标．
2．最小值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，我们称m是函数的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．
【知识拓展2】函数的最值与单调性的关系
如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值．
如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值．
如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值．
知识点04．
1.函数单调性的判断或证明
（1）判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤来证明.
（2）若判断复合函数的单调性，则需将函数解析式分解为一些简单的函数，然后判断外层函数和内层函数的单调性，外层函数和内层函数的单调性相同时，则复合函数单调递增；外层函数和内层函数的单调性相反时，则复合函数单调递减．可简记为“同增异减”，需要注意内层函数的值域在外层函数的定义域内．
（3）函数单调性的常用结论：
①若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；
②若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
③函数在公共定义域内与，的单调性相反；
④函数在公共定义域内与的单调性相同．
2、作差法判断单调性的步骤：
①设自变量：设给定区间上的且
②作差比较大小：计算；
③定号：判断差的符号；
④下结论.
二、例题解析
例1：判断函数单调性
(1)下列函数中，在上为增函数的是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为反比例函数，在上为增函数，符合题意；
对于当时，，函数在为减函数，不符合题意；
（2）已知函数，那么　　
A．当时，函数单调递增
B．当时，函数单调递减
C．当时，函数单调递增
D．当时，函数单调递减
【答案】A
【解析】解：因为函数的图象开口向上，关于对称，
所以其单调增区间为，单调减区间为．故选：．
（3）若与在都是增函数，则在上是　　
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【答案】A
【解析】解：根据函数与在都是增函数，可得，，
故函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
故函数在上是增函数，
(4)已知函数是上的减函数，，是其图象上的两点，那么不等式的解集是　　
A．
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【解析】解：，或，
又，是其图象上的两点，，，
函数是上的减函数，或，解得或，故选：．
(5)已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是　　　．
【答案】实数的取值范围是，．
（6）
设函数为单调函数，且时，均有，则（
）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
【答案】D
【详解】函数为单调函数，且，为常数，不妨设，
则，原式化为（a），即，解得或（舍去），故，
（1），故选：D．
举一反三：
【变式1】
下列四个函数中，在上是增函数的是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
在上是减函数．
【变式2】函数的单调递增区间是　　
A．
B．
C．，
D．
【答案】C
【变式3】已知函数的定义域为，则“”是“为偶函数”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】为偶函数，反之不成立，可能．
∴“”是“为偶函数”的必要不充分条件．
故选：B
【变式4】已知在，上递减，在，上递增，则（1）　　．
【答案】21
【解析】二次函数的对称轴为
解得，
，因此（1）
答案为21．
【变式5】函数的单调减区间是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【变式6】若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是　　．
【答案】．故答案为，．
【变式7】若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是　　．
【答案】
【解析】，即，解得，
故答案为：
例2：利用定义证明函数单调性
．利用定义判断函数求在区间，上的单调性，并求该函数在，上的最大值和最小值．
【答案】减函数，该函数在，上的最大值为，最小值为．
【解析】解：设，，，且，则：
；
由，，，得，，；
；
在区间，上单调递减；
该函数在，上的最大值为，最小值为
(2).
已知函数．
（1）证明在上是减函数；
（2）当，时，求的最小值和最大值．
【答案】（1）略
（2）（3），（5）．
【解析】（1）证明：设，则
，，，，，
，，在上是减函数．
（2）解：，，在，上是减函数，
（3），（5）．
举一反三：
【变式1】
已知函数（其中，为常数）的图象经过、两点．
求，的值
证明：函数在区间，上单调递增．
【答案】（Ⅰ），
（Ⅱ）略
【解析】（Ⅰ）函数的图象经过、两点，得，，
函数解析，定义域为：，，
设任意的，且，
，，且，
所以，即，
函数在区间上单调递增．
【变式2】已知函数．
（Ⅰ）证明：函数在区间上是增函数；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）设，则：；
；
，，；
；
；
在区间上是增函数；
（Ⅱ）在上是增函数；最小值为（1），最大值为．
例3：利用函数单调性解不等式
（1）已知是在，上的增函数，，则的范围是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】B
（2）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.故选:A
(3)已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，
且，
所以有，解得，
故a的取值范围为．
故答案为：．
（4）已知函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则得取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的对称轴为，此时，函数取得最小值1，当或时，函数值等于5．
又在区间，上的最大值为5，最小值为1，
实数的取值范围是，，故选D．
（5）已知函数有最小值，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当时，
，此时，
而当时，
①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为-1，
②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
只需
解得，
综上，满足题意的实数a的取值范围为：
，故选：A．
（6）如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)
A．16
B．18
C．25
D.
【答案】B
【解析】当m＝2时，一次函数
f(x)＝(n－8)x＋1在区间上单调递减，则n－8<0，即n<8，∴mn<16.
当时，函数为二次函数，当m∈[0，2)时，f(x)的图像开口向下，要使f(x)在区间上单调递减，需满足－≤，解得m＋2n≤18，即n≤9－.又m≥0，则mn≤m＝－m2＋9m.∵g(m)＝－m2＋9m在[0，2)上为增函数，∴m∈[0，2)时，g(m)当m∈(2，＋∞)时，f(x)的图像开口向上，要使f(x)在区间上单调递减，需满足－≥2，即2m＋n≤12，
而当n≠0时，2m＋n≥2，∴mn≤18，当且仅当即时等号成立，此时满足m>2；当n＝0时，mn＝0.综上，mn的最大值为18.故选B.
举一反三：
【变式1】
函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．，，
【答案】C
【解析】函数在上为增函数，，，解得，
【变式2】函数为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是　　
A．，，
B．，，
C．
D．
【答案】A
【解析】解：为上的减函数；
由得，；
解得，且；
实数的取值范围为，，．
故选：．
【变式3】已知为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是　　
A．
B．
C．，，
D．，，
【答案】D
【解析】解：为上的减函数；由得：；
解得，或；的取值范围是，，．故选：．
【变式4】已知在定义域（1，1）上是减函数，且，则a的取值范围是______________
【答案】
【详解】
试题分析：由单调性可将化为，解不等式得
【变式5】若函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
函数的单调递减区间是，
依题意得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
【变式6】．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是（
）
A．(0，3)
B．
C．(0，2]
D．(0，2)
【答案】C
【详解】因为对任意，都有成立，
所以函数在R上是减函数，
所以
，解得，
所以实数的取值范围是
(0，2].故选：C
【变式7】．已知函数在R上是单调的函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】
当时，，单调递增，
若要使函数在R上是单调的函数，则只能使该函数单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【变式8】函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______
.
【答案】
【解析】因为函数是上的单调递减函数，
所以满足
，解不等式组可得，即.
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