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陕西省陕西省西工大附中2021-2022学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分）
1．（2021九上·陕西开学考）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称.
2．（2019八下·碑林期末）若x＜y，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．x﹣3＜y﹣3 B．﹣5x＞﹣5y C．﹣ D．x2＜y2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式x＜y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＜y﹣3，故本选项错误；
B、不等式x＜y的两边同时乘以﹣5，不等号方向改变.即：﹣5x＞﹣5y，故本选项错误；
C、不等式x＜y的两边同时乘以﹣ ，不等号方向改变.即：﹣ x＞﹣ y，故本选项错误；
D、不等式x＜y的两边没有同时乘以相同的式子，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断求解。
3．（2019九上·宝坻月考）用配方法解方程 x2﹣6x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝41 B．（x﹣3）2＝14
C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝4
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2-6x=5，
∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14，
故答案为：B．
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．
4．（2021九上·陕西开学考）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移 BC的长度得到△DEF，DE交AC于点G，若AB＝6，BC＝8，则CG的长为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移4个单位得到△DEF，
∴BE＝4，DE∥AB，
∴CE＝BE＝4，
∵GE∥AB，
∴GE为△ABC的中位线，
∴GE＝ AB＝3.
∴CG＝ ＝ ＝5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得CE=BE＝4，DE∥AB，推出GE为△ABC的中位线，得到GE的值，然后根据勾股定理进行求解.
5．（2021九上·陕西开学考）若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（　　）
A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，
∴4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），
∵（2x﹣5）（2x+1）＝4x2﹣8x﹣5，
∴m＝﹣8.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得4x2+mx-5＝(2x-5)(2x+1)，然后根据多项式与多项式的乘法法则展开，据此可得m的值.
6．（2021九上·陕西开学考）顺次连接以下四边形的各边中点，能得到一个矩形的是（　　）
①平行四边形，②菱形，③对角线互相垂直的四边形，④对角线相等的四边形.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：因为对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以满足条件的四边形是②③.
故答案为：B.
【分析】根据对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形进行判断.
7．（2021九上·陕西开学考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2
C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0.
故答案为：C.
【分析】根据题意得a≠0且Δ＝(-4)2-4a×(-2)≥0，求解可得a的范围.
8．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝BC＝4，D为边BC上一动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】D
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠AFD＝∠EDF＝∠AED＝90°，
∴四边形AFDE为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝BC＝4，
∴AF＝ ＝2 ，
∴DE的最小值为2 .
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AE∥BC，故当DE⊥BC时，DE有最小值，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AFDE为矩形，由矩形的性质可得DE＝AF，求出AF的值，据此可得DE的最小值.
9．（2018·鄂尔多斯模拟）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　）
A． =15 B． =15
C． = D． =
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意得： ﹣ = ．故答案为：D．
【分析】由题意可得相等关系：走路线A时所用的时间-走路线B时所用的时间=走路线B的全程能比走路线A少用时间（15分钟），根据相等关系列方程即可。
10．（2021九上·陕西开学考）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°
∵EF∥BC，
∴∠BFE+∠ABC＝180°，
∴∠BFE＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：
∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形.
∴点N为FC的中点，BE＝FC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
又∵∠AFG＝90°，
∴△AFG为等腰直角三角形.
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
∴FM⊥AG，
∴△FMC为直角三角形，
∵点N为FC的中点，
∴MN＝ FC，
∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，
∴BC＝CD＝6，CE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝2 ，
∴FC＝2 ，
∴MN＝ FC＝ .
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得∠ABC＝∠BCD＝90°，由平行线的性质可得∠BFE+∠ABC＝180°，推出四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，则点N为FC的中点，BE＝FC，推出△AFG为等腰直角三角形，△FMC为直角三角形，由中点的概念可得MN＝FC，由正方形的性质可得BC＝CD＝6，CE＝4，由勾股定理求出BE的值，即FC的值，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.
二、填空题（每小题3分，计18分）
11．（2021九上·陕西开学考）因式分解：m3n﹣4m2n2+4mn3＝　 　.
【答案】mn（m﹣2n）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式＝mn（m2﹣4mn+4n2）
＝mn（m﹣2n）2.
故答案为：mn（m﹣2n）2.
【分析】首先提取公因式mn，然后根据完全平方公式进行分解.
12．（2021九上·陕西开学考）若直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则该直角三角形的面积是 　 　.
【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形的面积
【解析】【解答】解：设x1、x2是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴x1x2＝48，
∵直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴直角三角形的面积为： ＝ ＝24，
故答案为：24.
【分析】设x1、x2是方程x2-14x+48＝0的两根，根据根与系数的关系可得x1x2＝48，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．（2021九上·陕西开学考）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　 　cm.
【答案】48
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵OA＝OC，EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE＝24，
∴矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）＝48cm.
故答案为：48.
【分析】由矩形的性质可得OA=OC，结合EF⊥AC可得AE＝CE，由△CDE的周长为24可得DE+CD+CE＝24，然后根据矩形的性质即可求出其周长.
14．（2021九上·陕西开学考）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　.
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9.
故答案为：9.
【分析】当底边长为2时，根据△＝0求出m的值；当腰长为2时，将x=2代入方程中求出m的值，然后求出方程的根，得到三角形的三边长，然后根据三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.
15．（2021九上·陕西开学考）已知关于x的分式方程 ﹣1＝ 的解是非负数，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≥2且m≠3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1，得
m﹣x+1＝3，
解得x＝m﹣2，
∵方程的解是非负数，
∴m﹣2≥0，
∴m≥2，
∵x≠1，
∴m﹣2≠1，
∴m≠3，
故答案为：m≥2且m≠3.
【分析】求出分式方程的解，然后根据其解是非负数可得m的范围，根据分式有意义的条件可得x≠1，据此即可确定出m的范围.
16．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，沿DE将△BDE翻折得到△FDE，连接AF，BF，若EF∥AC，AC＝3 ，BE＝9，则CE的长为 　 　.
【答案】9﹣3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长BC，FA交于点H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵沿DE将△BDE翻折得到△FDE，
∴DB＝DF，EF＝BE＝9，
∴DB＝DF＝DE，∠EFB＝∠EBF，
∴∠AFB＝90°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH＝9，
∵AC∥EF，
∴∠HAC＝∠HFE，
∴∠HAC＝∠EHF，
∴CH＝AC＝3 ，
∴CE＝EH﹣CH＝9﹣3 ，
故答案为：9﹣3 .
【分析】延长BC，FA交于点H，由中点的概念可得AD＝BD，由折叠的性质可得DB＝DF，EF＝BE＝9，由等腰三角形的性质可得∠EFB＝∠EBF，由平行线的性质可得∠HAC＝∠HFE，推出∠HAC＝∠EHF，则CH＝AC，据此求解.
三、解答题
17．（2021九上·陕西开学考）解不等式组： .
【答案】解：解不等式x+6＞4，得：x＞﹣2，
解不等式 ﹣ ≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
18．（2021九上·陕西开学考）先化简，再求值：（ ﹣x﹣1） ，其中x＝ .
【答案】解：原式＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
当x＝ +2时，原式＝ ＝1+ .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
19．（2021九上·陕西开学考）解方程：
① ＝1；
②x2+3x﹣18＝0.
【答案】解：解：①两边都乘以x（x﹣1），得：x2﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝ ，
检验：当x＝ 时，x（x﹣1）＝ × ＝ ≠0，
∴分式方程的解为x＝ ；
②∵x2+3x﹣18＝0，
∴（x﹣3）（x+6）＝0，
则x﹣3＝0或x+6＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】①给方程两边都乘以x(x-1)，将分式方程化为整式方程，求出其解，然后进行检验；
②对原方程因式分解可得(x-3)(x+6)=0，据此求解.
20．（2021九上·陕西开学考）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P.
（1）
求证：AD＝BE；
（2）
若AD＝5，PE＝1，求点B到AD的距离.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，∠DAC＝∠ABE，
∴∠BPD＝∠ABP+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵AD＝5，PE＝1，
∴BP＝BE﹣PE＝4，
过点B作BH⊥AD于H，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝ BP＝2，
在△BPE中，由勾股定理得：
BH＝ ，
∴点B到AD的距离为2 .
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C，证明△ABE≌△CAD，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE，∠DAC＝∠ABE，然后根据三角形外角的性质可得∠BPD=60°，根据AD、PE的值可得BP，过点B作BH⊥AD于H，则∠PBH＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出PH，由勾股定理得到BH，据此解答.
21．（2021九上·陕西开学考）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，每天销售量（y件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表.
销售单价x（元/件） … 20 30 40 …
每天销售量（y件） … 500 400 300 …
（1）
把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
（2）
相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
【答案】（1）解：可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴ ，
解得 ，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700
（2）解：设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，
依题意得：（x﹣10）（﹣10x+700）＝8000，
解得，x1＝30，x2＝50（舍），
所以，当售价为30元时，利润为8000元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（20，500）、（30，400）代入可得k、b的值，据此可得函数关系式；
（2）设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，依题意得：(x-10)·(-10x+700)＝8000，求解即可.
22．（2021九上·陕西开学考）已知，如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝13cm，△ABF的周长为30cm，求△ABF的面积.
【答案】（1）证明：∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形
（2）解：∵AE＝13cm，四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝13cm，
∵△ABF的周长为30cm，
∴AB+BF＝17cm，
设AB＝xcm，则BF＝（17﹣x）cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，
∴x2+（17﹣x）2＝132，
∴x＝12或5，
∴AB＝12或5，BF＝5或12，
∴△ABF的面积为 ×12×5＝30.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由线段中点的概念可得AO＝CO，由矩形以及平行线的性质可得∠ACB＝∠CAD，由垂直的概念可得∠AOE＝∠COF＝90°，证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，推出四边形AFCE是平行四边形，然后结合菱形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得AF＝AE＝13cm，根据△ABF的周长可得AB+BF＝17cm，设AB＝xcm，则BF＝(17-x)cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理可得x的值，进而得到AB、BF，然后结合三角形的面积公式进行计算.
23．（2021九上·陕西开学考）
（1）问题提出
如图①，在△ABC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段DE、DF的数量关系是 　 　.
（2）问题探究
如图②，在△ABC，BC＝2+2 ，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∠ABC的平分线交AC于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，求线段DE的长.
（3）问题解决
如图③，是某小区在一片足够大的空地处修建的四边形活动区域示意图，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，∠BDC＝60°，连接AD，交BC于点P，过点P作PE⊥BD，PF⊥CD，垂足分别为E、F，按设计要求，四边形PEDF内部为活动区，阴影部分是绿化区，设BP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.
①求y与x之间的函数关系式；
②按设计要求绿化（阴影部分）的面积为500 m2，且BP＜CP，求BP的长为多少.
【答案】（1）DE＝DF
（2）解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DBF＝ ∠ABC＝30°，
∴BF＝ DF，
∵∠C＝45°，DF⊥BC，
∴∠C＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∵BC＝2+2 ＝BF+CF＝ DF+DF，
∴DF＝2，
∴DE＝2；
（3）解：如图③，过点A作AN⊥BC于N，在DF上截取FH＝BE，连接PH，过点H作HG⊥BC于G，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，AN⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BN＝CN＝30m，
∴BN＝ AN，
∴AN＝10 m，
∴S△ABC＝ BC×AN＝ ×60×10 ＝300 （m2），
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴点A，点B，点D，点C四点共圆，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°，∠ACB＝∠ADB＝30°，
∴∠ADC＝∠ADB＝30°，
又∵PE⊥BD，PF⊥CD，
∴PF＝PE，∠EPF＝120°，
又∵∠PEB＝∠PFH＝90°，BE＝FH，
∴△PBE≌△PHF（SAS），
∴BP＝PH＝x（m），∠BPE＝∠HPF，S△PBE＝S△PHF，
∴∠BPH＝∠EPF＝120°，
∴∠HPC＝60°，
∴∠PHG＝30°，
∴PG＝ PH＝ （m），GH＝ PG＝ x（m），
∴阴影部分的面积＝S△ABC+S△PHC，
∴y＝300 + ×（60﹣x）× x＝﹣ x2+15 x+300 ；
②当y＝500 m2，则500 ＝﹣ x2+15 x+300 ，
∴x1＝20，x2＝40，
∵BP＜CP，
∴x＝20，
∴BP＝20m.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
故答案为：DE＝DF；
【分析】（1）直接根据角平分线的性质进行解答；
（2） 根据角平分线的概念以及性质可得DE＝DF，∠DBF＝30°，则BF＝DF，易得∠C＝∠CDF＝45°，推出DF＝CF，表示出BC，据此解答；
（3）①过点A作AN⊥BC于N，在DF上截取FH＝BE，连接PH，过点H作HG⊥BC于G，易得∠ABC＝∠ACB＝30°，BN＝CN＝30m，求出△ABC的面积，得到∠ADC＝∠ADB＝30°，证明△PBE≌△PHF，则BP＝PH＝x（m），∠BPE＝∠HPF，S△PBE＝S△PHF，然后根据S阴影＝S△ABC+S△PHC就可得到y与x的关系式；
②将y=500代入①中的关系式中求出x的值，然后根据BP1 / 1陕西省陕西省西工大附中2021-2022学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分）
1．（2021九上·陕西开学考）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019八下·碑林期末）若x＜y，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．x﹣3＜y﹣3 B．﹣5x＞﹣5y C．﹣ D．x2＜y2
3．（2019九上·宝坻月考）用配方法解方程 x2﹣6x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝41 B．（x﹣3）2＝14
C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝4
4．（2021九上·陕西开学考）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移 BC的长度得到△DEF，DE交AC于点G，若AB＝6，BC＝8，则CG的长为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
5．（2021九上·陕西开学考）若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（　　）
A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
6．（2021九上·陕西开学考）顺次连接以下四边形的各边中点，能得到一个矩形的是（　　）
①平行四边形，②菱形，③对角线互相垂直的四边形，④对角线相等的四边形.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
7．（2021九上·陕西开学考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2
C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
8．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝BC＝4，D为边BC上一动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
9．（2018·鄂尔多斯模拟）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟．若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程（　　）
A． =15 B． =15
C． = D． =
10．（2021九上·陕西开学考）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．5
二、填空题（每小题3分，计18分）
11．（2021九上·陕西开学考）因式分解：m3n﹣4m2n2+4mn3＝　 　.
12．（2021九上·陕西开学考）若直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则该直角三角形的面积是 　 　.
13．（2021九上·陕西开学考）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是　 　cm.
14．（2021九上·陕西开学考）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为 　 　.
15．（2021九上·陕西开学考）已知关于x的分式方程 ﹣1＝ 的解是非负数，则m的取值范围是　 　.
16．（2021九上·陕西开学考）如图，在△ABC中，D是AB的中点，沿DE将△BDE翻折得到△FDE，连接AF，BF，若EF∥AC，AC＝3 ，BE＝9，则CE的长为 　 　.
三、解答题
17．（2021九上·陕西开学考）解不等式组： .
18．（2021九上·陕西开学考）先化简，再求值：（ ﹣x﹣1） ，其中x＝ .
19．（2021九上·陕西开学考）解方程：
① ＝1；
②x2+3x﹣18＝0.
20．（2021九上·陕西开学考）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P.
（1）
求证：AD＝BE；
（2）
若AD＝5，PE＝1，求点B到AD的距离.
21．（2021九上·陕西开学考）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，每天销售量（y件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表.
销售单价x（元/件） … 20 30 40 …
每天销售量（y件） … 500 400 300 …
（1）
把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
（2）
相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
22．（2021九上·陕西开学考）已知，如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝13cm，△ABF的周长为30cm，求△ABF的面积.
23．（2021九上·陕西开学考）
（1）问题提出
如图①，在△ABC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段DE、DF的数量关系是 　 　.
（2）问题探究
如图②，在△ABC，BC＝2+2 ，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∠ABC的平分线交AC于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，求线段DE的长.
（3）问题解决
如图③，是某小区在一片足够大的空地处修建的四边形活动区域示意图，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，∠BDC＝60°，连接AD，交BC于点P，过点P作PE⊥BD，PF⊥CD，垂足分别为E、F，按设计要求，四边形PEDF内部为活动区，阴影部分是绿化区，设BP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）.
①求y与x之间的函数关系式；
②按设计要求绿化（阴影部分）的面积为500 m2，且BP＜CP，求BP的长为多少.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式x＜y的两边同时减去3，不等号的方向不变，即x﹣3＜y﹣3，故本选项错误；
B、不等式x＜y的两边同时乘以﹣5，不等号方向改变.即：﹣5x＞﹣5y，故本选项错误；
C、不等式x＜y的两边同时乘以﹣ ，不等号方向改变.即：﹣ x＞﹣ y，故本选项错误；
D、不等式x＜y的两边没有同时乘以相同的式子，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断求解。
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2-6x=5，
∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14，
故答案为：B．
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移4个单位得到△DEF，
∴BE＝4，DE∥AB，
∴CE＝BE＝4，
∵GE∥AB，
∴GE为△ABC的中位线，
∴GE＝ AB＝3.
∴CG＝ ＝ ＝5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得CE=BE＝4，DE∥AB，推出GE为△ABC的中位线，得到GE的值，然后根据勾股定理进行求解.
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，
∴4x2+mx﹣5＝（2x﹣5）（2x+1），
∵（2x﹣5）（2x+1）＝4x2﹣8x﹣5，
∴m＝﹣8.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得4x2+mx-5＝(2x-5)(2x+1)，然后根据多项式与多项式的乘法法则展开，据此可得m的值.
6．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：因为对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以满足条件的四边形是②③.
故答案为：B.
【分析】根据对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形进行判断.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0.
故答案为：C.
【分析】根据题意得a≠0且Δ＝(-4)2-4a×(-2)≥0，求解可得a的范围.
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BC，
∴当DE⊥BC时，DE有最小值，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠AFD＝∠EDF＝∠AED＝90°，
∴四边形AFDE为矩形，
∴DE＝AF，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝BC＝4，
∴AF＝ ＝2 ，
∴DE的最小值为2 .
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得AE∥BC，故当DE⊥BC时，DE有最小值，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AFDE为矩形，由矩形的性质可得DE＝AF，求出AF的值，据此可得DE的最小值.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意得： ﹣ = ．故答案为：D．
【分析】由题意可得相等关系：走路线A时所用的时间-走路线B时所用的时间=走路线B的全程能比走路线A少用时间（15分钟），根据相等关系列方程即可。
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°
∵EF∥BC，
∴∠BFE+∠ABC＝180°，
∴∠BFE＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：
∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形.
∴点N为FC的中点，BE＝FC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
又∵∠AFG＝90°，
∴△AFG为等腰直角三角形.
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
∴FM⊥AG，
∴△FMC为直角三角形，
∵点N为FC的中点，
∴MN＝ FC，
∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，
∴BC＝CD＝6，CE＝4，
在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝2 ，
∴FC＝2 ，
∴MN＝ FC＝ .
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得∠ABC＝∠BCD＝90°，由平行线的性质可得∠BFE+∠ABC＝180°，推出四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，则点N为FC的中点，BE＝FC，推出△AFG为等腰直角三角形，△FMC为直角三角形，由中点的概念可得MN＝FC，由正方形的性质可得BC＝CD＝6，CE＝4，由勾股定理求出BE的值，即FC的值，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.
11．【答案】mn（m﹣2n）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式＝mn（m2﹣4mn+4n2）
＝mn（m﹣2n）2.
故答案为：mn（m﹣2n）2.
【分析】首先提取公因式mn，然后根据完全平方公式进行分解.
12．【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形的面积
【解析】【解答】解：设x1、x2是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴x1x2＝48，
∵直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴直角三角形的面积为： ＝ ＝24，
故答案为：24.
【分析】设x1、x2是方程x2-14x+48＝0的两根，根据根与系数的关系可得x1x2＝48，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】48
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵OA＝OC，EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE＝24，
∴矩形ABCD的周长＝2（AE+DE+CD）＝48cm.
故答案为：48.
【分析】由矩形的性质可得OA=OC，结合EF⊥AC可得AE＝CE，由△CDE的周长为24可得DE+CD+CE＝24，然后根据矩形的性质即可求出其周长.
14．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；
当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，
∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9.
故答案为：9.
【分析】当底边长为2时，根据△＝0求出m的值；当腰长为2时，将x=2代入方程中求出m的值，然后求出方程的根，得到三角形的三边长，然后根据三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.
15．【答案】m≥2且m≠3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1，得
m﹣x+1＝3，
解得x＝m﹣2，
∵方程的解是非负数，
∴m﹣2≥0，
∴m≥2，
∵x≠1，
∴m﹣2≠1，
∴m≠3，
故答案为：m≥2且m≠3.
【分析】求出分式方程的解，然后根据其解是非负数可得m的范围，根据分式有意义的条件可得x≠1，据此即可确定出m的范围.
16．【答案】9﹣3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长BC，FA交于点H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵沿DE将△BDE翻折得到△FDE，
∴DB＝DF，EF＝BE＝9，
∴DB＝DF＝DE，∠EFB＝∠EBF，
∴∠AFB＝90°，
∴∠EFH＝∠EHF，
∴EF＝EH＝9，
∵AC∥EF，
∴∠HAC＝∠HFE，
∴∠HAC＝∠EHF，
∴CH＝AC＝3 ，
∴CE＝EH﹣CH＝9﹣3 ，
故答案为：9﹣3 .
【分析】延长BC，FA交于点H，由中点的概念可得AD＝BD，由折叠的性质可得DB＝DF，EF＝BE＝9，由等腰三角形的性质可得∠EFB＝∠EBF，由平行线的性质可得∠HAC＝∠HFE，推出∠HAC＝∠EHF，则CH＝AC，据此求解.
17．【答案】解：解不等式x+6＞4，得：x＞﹣2，
解不等式 ﹣ ≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集.
18．【答案】解：原式＝（ ﹣ ）
＝
＝ ，
当x＝ +2时，原式＝ ＝1+ .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式减法法则以及分式的除法法则对原式进行化简，然后将x的值代入进行计算.
19．【答案】解：解：①两边都乘以x（x﹣1），得：x2﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝ ，
检验：当x＝ 时，x（x﹣1）＝ × ＝ ≠0，
∴分式方程的解为x＝ ；
②∵x2+3x﹣18＝0，
∴（x﹣3）（x+6）＝0，
则x﹣3＝0或x+6＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】①给方程两边都乘以x(x-1)，将分式方程化为整式方程，求出其解，然后进行检验；
②对原方程因式分解可得(x-3)(x+6)=0，据此求解.
20．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，∠DAC＝∠ABE，
∴∠BPD＝∠ABP+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵AD＝5，PE＝1，
∴BP＝BE﹣PE＝4，
过点B作BH⊥AD于H，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝ BP＝2，
在△BPE中，由勾股定理得：
BH＝ ，
∴点B到AD的距离为2 .
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C，证明△ABE≌△CAD，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AD＝BE，∠DAC＝∠ABE，然后根据三角形外角的性质可得∠BPD=60°，根据AD、PE的值可得BP，过点B作BH⊥AD于H，则∠PBH＝30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出PH，由勾股定理得到BH，据此解答.
21．【答案】（1）解：可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y＝kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴ ，
解得 ，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700
（2）解：设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，
依题意得：（x﹣10）（﹣10x+700）＝8000，
解得，x1＝30，x2＝50（舍），
所以，当售价为30元时，利润为8000元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（20，500）、（30，400）代入可得k、b的值，据此可得函数关系式；
（2）设工艺厂试销该工艺品实际售价为x元，依题意得：(x-10)·(-10x+700)＝8000，求解即可.
22．【答案】（1）证明：∵O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形
（2）解：∵AE＝13cm，四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝13cm，
∵△ABF的周长为30cm，
∴AB+BF＝17cm，
设AB＝xcm，则BF＝（17﹣x）cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB2+BF2＝AF2，
∴x2+（17﹣x）2＝132，
∴x＝12或5，
∴AB＝12或5，BF＝5或12，
∴△ABF的面积为 ×12×5＝30.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由线段中点的概念可得AO＝CO，由矩形以及平行线的性质可得∠ACB＝∠CAD，由垂直的概念可得∠AOE＝∠COF＝90°，证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，推出四边形AFCE是平行四边形，然后结合菱形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得AF＝AE＝13cm，根据△ABF的周长可得AB+BF＝17cm，设AB＝xcm，则BF＝(17-x)cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理可得x的值，进而得到AB、BF，然后结合三角形的面积公式进行计算.
23．【答案】（1）DE＝DF
（2）解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DBF＝ ∠ABC＝30°，
∴BF＝ DF，
∵∠C＝45°，DF⊥BC，
∴∠C＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∵BC＝2+2 ＝BF+CF＝ DF+DF，
∴DF＝2，
∴DE＝2；
（3）解：如图③，过点A作AN⊥BC于N，在DF上截取FH＝BE，连接PH，过点H作HG⊥BC于G，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝60m，AN⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BN＝CN＝30m，
∴BN＝ AN，
∴AN＝10 m，
∴S△ABC＝ BC×AN＝ ×60×10 ＝300 （m2），
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴点A，点B，点D，点C四点共圆，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°，∠ACB＝∠ADB＝30°，
∴∠ADC＝∠ADB＝30°，
又∵PE⊥BD，PF⊥CD，
∴PF＝PE，∠EPF＝120°，
又∵∠PEB＝∠PFH＝90°，BE＝FH，
∴△PBE≌△PHF（SAS），
∴BP＝PH＝x（m），∠BPE＝∠HPF，S△PBE＝S△PHF，
∴∠BPH＝∠EPF＝120°，
∴∠HPC＝60°，
∴∠PHG＝30°，
∴PG＝ PH＝ （m），GH＝ PG＝ x（m），
∴阴影部分的面积＝S△ABC+S△PHC，
∴y＝300 + ×（60﹣x）× x＝﹣ x2+15 x+300 ；
②当y＝500 m2，则500 ＝﹣ x2+15 x+300 ，
∴x1＝20，x2＝40，
∵BP＜CP，
∴x＝20，
∴BP＝20m.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
故答案为：DE＝DF；
【分析】（1）直接根据角平分线的性质进行解答；
（2） 根据角平分线的概念以及性质可得DE＝DF，∠DBF＝30°，则BF＝DF，易得∠C＝∠CDF＝45°，推出DF＝CF，表示出BC，据此解答；
（3）①过点A作AN⊥BC于N，在DF上截取FH＝BE，连接PH，过点H作HG⊥BC于G，易得∠ABC＝∠ACB＝30°，BN＝CN＝30m，求出△ABC的面积，得到∠ADC＝∠ADB＝30°，证明△PBE≌△PHF，则BP＝PH＝x（m），∠BPE＝∠HPF，S△PBE＝S△PHF，然后根据S阴影＝S△ABC+S△PHC就可得到y与x的关系式；
②将y=500代入①中的关系式中求出x的值，然后根据BP1 / 1

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