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4.抛体运动的规律
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"基础认知·自主学习.TIF"
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一、平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为：
1．水平方向：vx＝v0。
2．竖直方向：vy＝gt。
3．合速度：
(1)大小：v＝
eq
\r(v＋v)
＝
eq
\r(v＋g2t2)
。
(2)方向：tan
θ＝＝。
说明：θ为速度方向与水平方向间的夹角。
二、平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向：x＝v0t。
2．竖直方向：y＝。
3．合位移：
(1)大小：s＝＝。
(2)方向：tan
α＝＝。
说明：α为位移方向与水平方向间的夹角。
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝gt2得y＝
eq
\f(g,2v)
x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
三、一般的抛体运动
1．定义：物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
2．运动性质：物体只受重力，抛体运动是匀变速曲线运动。
3．分析方法：
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cos__θ。
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sin__θ。
　某同学学习抛体运动后，总结出以下结论：
①水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。
②做平抛运动的物体下落时，速度与水平方向的夹角θ越来越大。
③平抛运动合位移的方向与合速度的方向一致。
④斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。
⑤做抛体运动的物体，加速度都随时间的增加而增大。
你的判断：正确的结论有②。
　在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图，不计乒乓球的旋转和空气阻力。
思考：(1)乒乓球自起跳到最高点的过程中，球1与球2的飞行时间相等吗？
(2)过网时球1与球2的速度哪个大？
提示：(1)由h＝gt2可得两球飞行时间相等。
(2)由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大。
一、平抛运动
平抛运动的特点和规律(科学思维——科学推理)
　如图，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
1．平抛运动的特点：
比较项目
平抛运动的特点
速度
大小和方向都不断改变，故它是变速运动
速度变化
物体任意相等时间内速度变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下
加速度
恒定不变，故它是匀变速曲线运动
理想化
把物体看成质点，初速度水平，只考虑重力作用，忽略空气阻力
2．平抛运动的规律：
比较项目
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝gt2
合运动
大小：v＝
eq
\r(v＋（gt）2)
，方向：与水平方向夹角为θ，tan
θ＝＝
大小：s＝＝
eq
\r(vt2＋（\f(1,2)gt2）2)
，方向：与水平方向夹角为α，tan
α＝＝
图示
提醒：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
【典例1】如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的速度为v1，它会落到坑内c点。c点与a点的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的速度为v2，该摩托车恰能越过坑到达b点。则等于(　　)
A．　　　B．3　　　C．2　　　D．3
程序
内容
提取信息
(1)从a点落到c点，水平位移为h，竖直位移为h(2)从a点落到b点，水平位移为3h，竖直位移为0.5h
情境转化
摩托车做平抛运动，可分解为水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动
选择规律
水平位移x＝v0t；竖直位移y＝gt2
【解析】选B。摩托车从a到c做平抛运动，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt，解得v1＝。摩托车从a到b做平抛运动，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt，解得v2＝3，所以＝3，故选项B正确，A、C、D错误。
平抛运动的两个推论(科学思维——科学论证)
1．平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan
θ＝2tan
α。
证明：因为tan
θ＝＝，tan
α＝＝，所以tan
θ＝2tan
α。
2．做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点。
则＝v0t，＝＝gt2·＝v0t。
可见＝。
【典例2】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力。则下列判断正确的是(　　)
A.只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【解析】选D。小球从A点抛出后做平抛运动，在竖直方向上会发生位移，所以无论v0多大，小球不可能到达B点，A错误；小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角的正切值tan
θ＝，所以v0不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角不会相同，B错误；小球撞击在圆弧左侧时，速度方向斜向右下方，不可能与半球壳垂直；当小球撞击在圆弧右侧时，根据“中点”结论：平抛运动速度的反向延长线交水平位移的中点，可知，由于圆心不在水平位移的中点，所以小球撞在半球壳上的速度反向延长线不可能通过圆心，也就不可能垂直撞击半球壳，故C错误，D正确。
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1．一个物体以初速度v0水平抛出，经过时间t，竖直方向速度大小为v0，则t为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【解析】选A。平抛运动竖直方向上的分运动是自由落体运动，则抛出后经过时间t，在竖直方向上分速度v0＝gt，即t＝，故A正确。
2．如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20
m/s，MP＝20
m，重力加速度g取10
m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A.QM的长度为10
m
B．质点从O到P的运动时间为1
s
C．质点在P点的速度v大小为40
m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【解析】选D。根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有：h＝gt2可得t＝
2
s；质点在水平方向的位移为：x＝v0t＝40
m，根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM＝20
m，故A错误，B错误；质点在P点的竖直速度vy＝gt＝10×2
m/s＝20
m/s；所以在P点的速度为v＝
eq
\r(v＋v)
＝
m/s＝20
m/s，故C错误；因为tan
θ＝＝1，所以质点在P点的速度方向与水平方向的夹角为45°，故D正确。
【拔高题组】
1．刀削面是山西最有代表性的面条，堪称天下一绝，已有数百年的历史。传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接削到开水锅里，其要诀是：“刀不离面，面不离刀，胳膊直硬手水平，手端一条线，一棱赶一棱，平刀是扁条，弯刀是三棱”。如图所示，面团与开水锅的高度差h＝0.80
m，与锅的水平距离L＝0.50
m，锅的半径R＝0.50
m。要削出的面条落入锅内，面条视为质点且不计空气阻力，g取10
m/s2，则面条的水平初速度v0可为(　　)
A．1
m/s　　B．3
m/s　　C．4
m/s　　D．5
m/s
【解析】选B。根据h＝gt2可知面条的飞行时间t＝＝0.4
s，面条的最远飞行距离x1＝L＋2R＝1.5
m，所以最大初速度v1＝＝
m/s＝3.75
m/s，面条的最近飞行距离x2＝L＝0.5
m，所以最小初速度v2＝＝
m/s＝
1.25
m/s，因此面条的水平初速度应满足的条件为1.25
m/sm/s，故选项B正确。
2．以v0＝20
m/s的速度水平抛出一石子，石子落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力，g取10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)石子落地时的速度大小；
(2)石子在空中运动的时间；
(3)题述过程中石子的位移方向与水平方向夹角的正切值tan
α。
【解析】(1)石子落地时的速度大小v＝
解得：v＝25
m/s。
(2)石子在竖直方向速度vy＝v0tan37°＝15
m/s，
石子在空中运动的时间t＝＝1.5
s。
(3)石子水平方向上的位移x＝v0t
石子竖直方向上的位移y＝gt2
石子的位移方向与水平方向夹角的正切值tan
α＝＝0.375。
答案：(1)25
m/s　(2)1.5
s　(3)0.375
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"独具B.TIF"
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"独具B.TIF"
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【拓展要点】平抛运动求时间的方法
(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向x＝v0t或竖直方向y＝gt2可求解时间。
(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据vy＝gt可求解时间。
(3)利用匀变速直线运动的推论Δy＝gT2可求解时间。
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"独具B.TIF"
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"独具B.TIF"
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【典例加练】
如图，一条小河两岸的高度差是h，河宽是高度差的4倍，一辆摩托车(可看作质点)以v0＝20
m/s的水平速度向河对岸飞出，恰好越过小河。若g取10
m/s2，求：
(1)摩托车在空中的飞行时间；
(2)小河的宽度。
【解析】(1)设河宽为x，运动时间为t，由平抛运动的规律得：
竖直方向上：h＝gt2
水平方向上：x＝v0t
且：x＝4h
联立以上几式解得：t＝＝1
s。
(2)小河的宽度为：x＝v0t＝20×1
m＝20
m。
答案：(1)1
s　(2)20
m
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"独具B.TIF"
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"独具B.TIF"
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"对点训练小.TIF"
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"对点训练小.TIF"
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如图，跳台滑雪时，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。设一位运动员由斜坡顶端A点沿水平方向飞出的速度v0＝20
m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力。(g取10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)A、B间的距离。
【解析】(1)运动员由A点到B点做平抛运动，
水平方向的位移x＝v0t，
竖直方向的位移y＝gt2，又＝tan37°，
联立以上三式得运动员在空中的飞行时间
t＝＝3
s。
(2)由题意知sin37°＝＝
得A、B间的距离s＝＝75
m。
答案：(1)3
s　(2)75
m
二、与斜面相关的平抛运动(科学思维——科学推理)
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"情境探究.TIF"
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"情境探究.TIF"
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　如图两个小球A和B以不同的水平初速度抛出后落到斜面上同一位置。
(1)两小球在落点的速度方向是否相同？
(2)小球在运动过程中，距斜面最远时的条件？
提示：(1)两个小球在落点的速度方向相同；(2)当小球的合速度方向与斜面平行时，小球距斜面最远。
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"能力形成.TIF"
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"能力形成.TIF"
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1．常见的两类问题：
(1)物体从斜面上某一点抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
说明：位移与水平方向的夹角为α。
(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。
说明：速度与竖直方向的夹角为θ。
2．基本求解思路：
题干信息
实例
处理方法或思路
速度方向
垂直打在斜面上的平抛运动
(1)会速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy(3)根据tan
θ＝列方程求解
位移方向
从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动
(1)确定位移与水平方向的夹角α，画位移分解图(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y(3)根据tan
α＝列方程求解
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"案例示范.TIF"
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"案例示范.TIF"
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【典例】如图，O为斜面的底端，在O点正上方的A、B两点分别以初速度vA、vB正对斜面抛出两个小球，结果两个小球都垂直击中斜面，击中的位置分别为P、Q(图中未标出)。OP＝3OQ，空气阻力忽略不计，则(　　)
A．2OB＝AB　　　　　
B．3OB＝AB
C．2vA＝vB
D．3vA＝vB
【解析】选A。设任一小球的初速度为v0，抛出点的高度为h，运动时间为t，斜面的倾角为θ。根据题意可知，小球垂直击中斜面，速度与斜面垂直，由速度分解可知vy
tan
θ＝v0，又vy＝gt，可得t＝，根据几何关系可得＝＝
eq
\f(v,v)
＝，所以＝；小球的抛出点距O点的距离为h＝gt2＋v0t·tan
θ＝v(＋)，所以＝
eq
\f(v,v)
＝，则AB＝2OB，选项A正确。
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"规律方法.TIF"
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解决与斜面结合的平抛运动问题的“三类突破口”
(1)若水平位移、水平速度已知，可应用x＝v0t列式，作为求解问题的突破口。
(2)若竖直高度或竖直分速度已知，可应用y＝gt2或vy＝gt列式，作为求解问题的突破口。
(3)若物体的末速度的方向或位移的方向已知，可应用tanθ＝(θ是物体速度与水平方向的夹角)或tan
α＝(α是物体的位移与水平方向的夹角)列式作为求解问题的突破口。
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1．如图，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球在空中运动时间为
B．小球的水平位移大小为
eq
\f(2v,g
tan
θ)
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
eq
\f(v,g
tan
θ)
【解析】选B。如图所示，过抛出点作斜面的垂线；当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：x＝v0t；竖直方向：y＝gt2。根据几何关系有＝tan
θ；联立解得t＝；小球的水平位移大小为x＝v0t＝
eq
\f(2v,g
tan
θ)
；竖直位移大小为y＝gt2＝
eq
\f(2v,g
tan2θ)
，由水平位移和竖直位移可求解位移的大小；故A、C、D错误，B正确。
2.如图，倾角为θ的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以水平速度v0抛出一小球，经过时间t0恰好落在斜面底端，速度是v，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间大于t0
B．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间小于t0
C．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v成角
D．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向
【解析】选D。若以速度2v0水平抛出小球，小球将落在水平面上，下落的高度与小球落在斜面底端时相等，而平抛运动的时间是由下落的高度决定的，所以落地时间等于t0，故A、B错误。以速度v0水平抛出小球，小球将落在斜面底端，则有tanθ＝＝＝；设撞击斜面时速度方向与水平方向的夹角为α，则得tan
α＝，可得tan
α＝2tan
θ，与小球的初速度无关，所以若以速度
v0水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与水平方向的夹角也为α，速度方向与v同向，故C错误，D正确。
三、一般的抛体运动(物理观念——运动观念)
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"情境探究.TIF"
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　体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上方。(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
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1．斜抛运动的规律：
(1)速度规律：
水平速度：vx＝v0x＝v0cos
θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin
θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝
eq
\r(v＋v)
。
(2)位移规律：
水平位移：x＝v0xt＝v0t
cos
θ。
竖直位移：y＝v0t
sin
θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan
α＝。
2．射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝
eq
\f(v,2g)
＝
eq
\f(vsin2θ,2g)
。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝
eq
\f(2vsin
θcos
θ,g)
＝
eq
\f(vsin
2θ,g)
，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝
eq
\f(v,g)
。
3．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
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【典例】如图，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有(　　)
A．tanα＝2　　　　　　B．tanα＝
C．tanα＝
D．tanα＝1
【解析】选D。运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝gt2，解得t＝，运动员通过最高点时的速度为v＝＝，则有tan
α＝＝1，选项D正确。
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"对点训练.TIF"
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1.如图，景观喷泉从同一位置喷出两水柱，在水柱中各取一小段水柱体A和B，A的质量大于B的质量，A、B上升的最大高度相同，落点位于同一水平地面上，空气阻力不计。则A、B从喷出到落地的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．A的加速度大小比B的大
B．A、B的空中运动时间一样长
C．A在最高点时速度大小比B的大
D．A、B落地时的速度大小一样大
【解析】选B。水柱在空中运动时，只受重力，故加速度均为g，A错误；斜抛运动可以分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向竖直上抛运动。根据竖直上抛运动特点上升高度相同则运动时间相同，B正确；在最高点时，竖直分速度为0，仅比较水平分速度。A、B运动时间相同，但落点水平距离B的较大，即B的水平分速度大于A的水平分速度，C错误；分析知A、B竖直分速度相同，水平分速度vBx>vAx，则喷出速度vB>vA。A、B喷出点、落地点离地高度相同，可知A、B落地点竖直速度相同。故落地速度v′B>v′A，故D错误。
2.如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24
m/s，落地时速度vt＝30
m/s，g取10
m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
【解析】(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30
m/s，
设与水平方向夹角为θ，则cos
θ＝＝，故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝
eq
\r(v－v2)
＝
m/s＝18
m/s
故飞行时间t＝2·＝2×
s＝3.6
s。
答案：(1)30
m/s　与水平方向夹角为37°　(2)3.6
s
【拓展例题】考查内容：平抛运动的临界问题
【典例】如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视为平抛运动，下列表述正确的是(　　)
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
【解析】选A。根据H＝gt2得，网球平抛运动的时间t＝，则球平抛运动的初速度v＝＝L，故A项正确，B项错误；击球点与落地点的水平位移为L，下落的高度为H，则球从击球点至落地点的位移为x＝＞L，故C项错误；球平抛运动的加速度为g，与球的质量无关，则球落地点与击球点的位移与球的质量无关，故D项错误。
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"独具b.TIF"
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"独具b.TIF"
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"拓展阅读.TIF"
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滑雪运动
滑雪运动是运动员把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动。滑雪板用木材、金属材料和塑料混合制成。高山滑雪由滑降、小回转和大回转(障碍滑雪)组成。高山滑雪混合项目，由上述三个项目组成。人们成站立姿态，手持滑雪杖、足踏滑雪板在雪面上滑行。“立”“板”“雪”“滑”是滑雪运动的关键要素。
问题：滑雪运动员在腾空运动过程，若忽略空气阻力，运动员的加速度如何变化？
提示：若忽略空气阻力，滑雪运动员腾空过程只受重力，加速度为重力加速度，大小和方向均不变。
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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1．(水平1)做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同　　　　
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
【解析】选A。在平抛运动中，速度的变化量Δv＝gΔt，所以每秒内的速度变化量大小都等于9.8
m/s，方向都是竖直向下，选项A正确。
2．(水平2)(2021·金华高一检测)对于做平抛运动的物体，若重力加速度g已知，再给出下列哪些条件，可以求出物体的初速度(　　)
A．水平位移
B.
下落高度
C．落地时速度大小
D.
水平位移和下落高度
【解析】选D。仅知道落地的水平位移，由于运动时间未知，无法求出物体的初速度，故A错误；仅知道下落的高度，只能求出运动的时间，由于水平位移未知，则无法求出物体的初速度，故B错误；知道落地的速度大小，不知道速度的方向不可以求出初速度，故C错误；根据下落的高度，可以求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间可以得出初速度，故D正确。
3．(水平2)如图，下面关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切值tan
θ随时间t的变化图像正确的是(　　)
【解析】选B。设物体平抛的初速度为v0，经过时间t，物体在竖直方向的速度vy＝gt，故tan
θ＝，故tan
θ与t成正比，选项B正确。
4．(水平2)在篮球比赛中，篮球的投出角度和速度，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，篮球出手时的速度与水平面成53°角，投球点比篮筐低0.35
m，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，如图所示。不考虑空气阻力，重力加速度g取10
m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
(1)篮球出手时的速度大小；
(2)投球点到篮筐的水平距离。
【解析】(1)由于篮球做斜上抛运动，所以篮球抛出时与落入篮筐时的水平速度相等，则
v0cos
53°＝v
cos
45°。
竖直方向做匀减速直线运动，由运动学公式得：
(v
sin
45°)2－(v0sin
53°)2＝－2gh，
联立解得v0＝5
m/s。
(2)设篮球从抛出到落入篮筐的时间为t，由运动学公式得
v0sin53°＋vsin45°＝gt
投球点到篮筐的水平距离：x＝v0cos53°t，
解得x＝2.1
m。
答案：(1)5
m/s　(2)2.1
m
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-4.抛体运动的规律
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"基础认知·自主学习.TIF"
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一、平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为：
1．水平方向：vx＝
。
2．竖直方向：vy＝
。
3．合速度：
(1)大小：v＝
eq
\r(v＋v)
＝
eq
\r(v＋g2t2)
。
(2)方向：tan
θ＝＝。
说明：θ为速度方向与水平方向间的夹角。
二、平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向：x＝
。
2．竖直方向：y＝
。
3．合位移：
(1)大小：s＝＝。
(2)方向：tan
α＝＝。
说明：α为位移方向与水平方向间的夹角。
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝gt2得y＝
eq
\f(g,2v)
x2，平抛运动的轨迹是一条
。
三、一般的抛体运动
1．定义：物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
2．运动性质：物体只受重力，抛体运动是匀变速曲线运动。
3．分析方法：
(1)水平方向：物体做
运动，初速度vx＝
__
。
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝
__
。
　某同学学习抛体运动后，总结出以下结论：
①水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。
②做平抛运动的物体下落时，速度与水平方向的夹角θ越来越大。
③平抛运动合位移的方向与合速度的方向一致。
④斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动。
⑤做抛体运动的物体，加速度都随时间的增加而增大。
你的判断：正确的结论有
。
　在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图，不计乒乓球的旋转和空气阻力。
思考：(1)乒乓球自起跳到最高点的过程中，球1与球2的飞行时间相等吗？
(2)过网时球1与球2的速度哪个大？
一、平抛运动
平抛运动的特点和规律(科学思维——科学推理)
　如图，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
1．平抛运动的特点：
比较项目
平抛运动的特点
速度
大小和方向都不断改变，故它是变速运动
速度变化
物体任意相等时间内速度变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下
加速度
恒定不变，故它是匀变速曲线运动
理想化
把物体看成质点，初速度水平，只考虑重力作用，忽略空气阻力
2．平抛运动的规律：
比较项目
速度
位移
水平分运动
水平速度vx＝v0
水平位移x＝v0t
竖直分运动
竖直速度vy＝gt
竖直位移y＝gt2
合运动
大小：v＝
eq
\r(v＋（gt）2)
，方向：与水平方向夹角为θ，tan
θ＝＝
大小：s＝＝
eq
\r(vt2＋（\f(1,2)gt2）2)
，方向：与水平方向夹角为α，tan
α＝＝
图示
提醒：研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
【典例1】如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的速度为v1，它会落到坑内c点。c点与a点的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的速度为v2，该摩托车恰能越过坑到达b点。则等于(　　)
A．　　　B．3　　　C．2　　　D．3
程序
内容
提取信息
(1)从a点落到c点，水平位移为h，竖直位移为h(2)从a点落到b点，水平位移为3h，竖直位移为0.5h
情境转化
摩托车做平抛运动，可分解为水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动
选择规律
水平位移x＝v0t；竖直位移y＝gt2
平抛运动的两个推论(科学思维——科学论证)
1．平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan
θ＝2tan
α。
证明：因为tan
θ＝＝，tan
α＝＝，所以tan
θ＝2tan
α。
2．做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点。
则＝v0t，＝＝gt2·＝v0t。
可见＝。
【典例2】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力。则下列判断正确的是(　　)
A.只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1．一个物体以初速度v0水平抛出，经过时间t，竖直方向速度大小为v0，则t为(不计空气阻力，重力加速度为g)(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点。质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线。M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点。已知平抛的初速度为20
m/s，MP＝20
m，重力加速度g取10
m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A.QM的长度为10
m
B．质点从O到P的运动时间为1
s
C．质点在P点的速度v大小为40
m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【拔高题组】
1．刀削面是山西最有代表性的面条，堪称天下一绝，已有数百年的历史。传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接削到开水锅里，其要诀是：“刀不离面，面不离刀，胳膊直硬手水平，手端一条线，一棱赶一棱，平刀是扁条，弯刀是三棱”。如图所示，面团与开水锅的高度差h＝0.80
m，与锅的水平距离L＝0.50
m，锅的半径R＝0.50
m。要削出的面条落入锅内，面条视为质点且不计空气阻力，g取10
m/s2，则面条的水平初速度v0可为(　　)
A．1
m/s　　B．3
m/s　　C．4
m/s　　D．5
m/s
2．以v0＝20
m/s的速度水平抛出一石子，石子落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力，g取10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)石子落地时的速度大小；
(2)石子在空中运动的时间；
(3)题述过程中石子的位移方向与水平方向夹角的正切值tan
α。
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"独具B.TIF"
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【拓展要点】平抛运动求时间的方法
(1)利用水平位移或竖直位移求解时间：根据水平方向x＝v0t或竖直方向y＝gt2可求解时间。
(2)利用竖直分速度可求解时间：先求出竖直分速度，再根据vy＝gt可求解时间。
(3)利用匀变速直线运动的推论Δy＝gT2可求解时间。
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"独具B.TIF"
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【典例加练】
如图，一条小河两岸的高度差是h，河宽是高度差的4倍，一辆摩托车(可看作质点)以v0＝20
m/s的水平速度向河对岸飞出，恰好越过小河。若g取10
m/s2，求：
(1)摩托车在空中的飞行时间；
(2)小河的宽度。
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"独具B.TIF"
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"对点训练小.TIF"
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"对点训练小.TIF"
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如图，跳台滑雪时，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。设一位运动员由斜坡顶端A点沿水平方向飞出的速度v0＝20
m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力。(g取10
m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)A、B间的距离。
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"能力形成.TIF"
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"能力形成.TIF"
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1．常见的两类问题：
(1)物体从斜面上某一点抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
说明：位移与水平方向的夹角为α。
(2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。
说明：速度与竖直方向的夹角为θ。
2．基本求解思路：
题干信息
实例
处理方法或思路
速度方向
垂直打在斜面上的平抛运动
(1)会速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy(3)根据tan
θ＝列方程求解
位移方向
从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动
(1)确定位移与水平方向的夹角α，画位移分解图(2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y(3)根据tan
α＝列方程求解
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"案例示范.TIF"
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"案例示范.TIF"
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【典例】如图，O为斜面的底端，在O点正上方的A、B两点分别以初速度vA、vB正对斜面抛出两个小球，结果两个小球都垂直击中斜面，击中的位置分别为P、Q(图中未标出)。OP＝3OQ，空气阻力忽略不计，则(　　)
A．2OB＝AB　　　　　
B．3OB＝AB
C．2vA＝vB
D．3vA＝vB
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"规律方法.TIF"
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"规律方法.TIF"
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解决与斜面结合的平抛运动问题的“三类突破口”
(1)若水平位移、水平速度已知，可应用x＝v0t列式，作为求解问题的突破口。
(2)若竖直高度或竖直分速度已知，可应用y＝gt2或vy＝gt列式，作为求解问题的突破口。
(3)若物体的末速度的方向或位移的方向已知，可应用tanθ＝(θ是物体速度与水平方向的夹角)或tan
α＝(α是物体的位移与水平方向的夹角)列式作为求解问题的突破口。
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"对点训练.TIF"
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"对点训练.TIF"
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1．如图，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.小球在空中运动时间为
B．小球的水平位移大小为
eq
\f(2v,g
tan
θ)
C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D．小球的竖直位移大小为
eq
\f(v,g
tan
θ)
2.如图，倾角为θ的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以水平速度v0抛出一小球，经过时间t0恰好落在斜面底端，速度是v，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间大于t0
B．若以速度2v0水平抛出小球，则落地时间小于t0
C．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v成角
D．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向
三、一般的抛体运动(物理观念——运动观念)
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"情境探究.TIF"
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"情境探究.TIF"
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　体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
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"能力形成.TIF"
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1．斜抛运动的规律：
(1)速度规律：
水平速度：vx＝v0x＝v0cos
θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin
θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝
eq
\r(v＋v)
。
(2)位移规律：
水平位移：x＝v0xt＝v0t
cos
θ。
竖直位移：y＝v0t
sin
θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan
α＝。
2．射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝
eq
\f(v,2g)
＝
eq
\f(vsin2θ,2g)
。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝
eq
\f(2vsin
θcos
θ,g)
＝
eq
\f(vsin
2θ,g)
，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝
eq
\f(v,g)
。
3．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
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"案例示范.TIF"
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【典例】如图，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有(　　)
A．tanα＝2　　　　　　B．tanα＝
C．tanα＝
D．tanα＝1
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"对点训练.TIF"
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1.如图，景观喷泉从同一位置喷出两水柱，在水柱中各取一小段水柱体A和B，A的质量大于B的质量，A、B上升的最大高度相同，落点位于同一水平地面上，空气阻力不计。则A、B从喷出到落地的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．A的加速度大小比B的大
B．A、B的空中运动时间一样长
C．A在最高点时速度大小比B的大
D．A、B落地时的速度大小一样大
2.如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24
m/s，落地时速度vt＝30
m/s，g取10
m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
【拓展例题】考查内容：平抛运动的临界问题
【典例】如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视为平抛运动，下列表述正确的是(　　)
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
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"独具b.TIF"
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"拓展阅读.TIF"
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滑雪运动
滑雪运动是运动员把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动。滑雪板用木材、金属材料和塑料混合制成。高山滑雪由滑降、小回转和大回转(障碍滑雪)组成。高山滑雪混合项目，由上述三个项目组成。人们成站立姿态，手持滑雪杖、足踏滑雪板在雪面上滑行。“立”“板”“雪”“滑”是滑雪运动的关键要素。
问题：滑雪运动员在腾空运动过程，若忽略空气阻力，运动员的加速度如何变化？
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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1．(水平1)做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是(　　)
A．大小相等，方向相同　　　　
B．大小不等，方向不同
C．大小相等，方向不同
D．大小不等，方向相同
2．(水平2)(2021·金华高一检测)对于做平抛运动的物体，若重力加速度g已知，再给出下列哪些条件，可以求出物体的初速度(　　)
A．水平位移
B.
下落高度
C．落地时速度大小
D.
水平位移和下落高度
3．(水平2)如图，下面关于物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切值tan
θ随时间t的变化图像正确的是(　　)
4．(水平2)在篮球比赛中，篮球的投出角度和速度，都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中，篮球出手时的速度与水平面成53°角，投球点比篮筐低0.35
m，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，如图所示。不考虑空气阻力，重力加速度g取10
m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
(1)篮球出手时的速度大小；
(2)投球点到篮筐的水平距离。
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